Batlamyus kirişler tablosu

MS 2. yüzyılda Mısır'da Yunan astronom, coğrafyacı ve jeolog Batlamyus tarafından oluşturulan kirişler tablosu, matematiksel astronomi üzerine bir inceleme olan Batlamyus'un Almagest adlı eserinin Kitap I, bölüm 11'inde yer alan bir trigonometrik tablodur. Esasen sinüs fonksiyonunun değer tablosuna eşdeğerdir. Astronomi de dahil olmak üzere birçok pratik amaç için yeterince kapsamlı olan en eski trigonometrik tablodur (Hipparchus tarafından hazırlanan daha eski bir kiriş tablosu yalnızca Şablon:Kaymaın katları olan yaylar için kirişler vermiştir). 8. ve 9. yüzyıllardan beri sinüs ve diğer trigonometrik fonksiyonlar, İslam matematiği ve astronomisinde kullanılmış ve sinüs tablolarının üretiminde reformlar yapılmıştır. Daha sonra Muhammed ibn Musa el-Harezmi ve Habeş el-Hâsib bir dizi trigonometrik tablo üretmiştir.

Kiriş fonksiyonu ve tablo

Şablon:Ortala

Bir çemberin kirşi, uç noktaları çember üzerinde olan bir doğru parçasıdır. Batlamyus, çapı 120 parça olan bir çember kullanmıştır. Uç noktaları n derecelik bir yay ile ayrılan bir kirişin uzunluğunu, Şablon:Sfrac ile 180 arasında değişen n için Şablon:Sfrac'lik artışlarla tablolaştırmıştır. Modern gösterimde, θ derecelik bir yaya karşılık gelen kirişin uzunluğu:

$\begin{array}{cc}& \text{kiriş}(\theta )=120\sin \left(\frac{{\theta }^{\circ }}{2}\right)\\ =& 60\cdot (2\sin \left(\frac{\pi \theta }{360}\text{ radyan}\right)).\end{array}$

θ 0'dan 180'e giderken, bir θ ° yayının kirişi 0'dan  120'ye gider. Küçük yaylar için kiriş, Şablon:Pi'nin 3'e olduğu gibi derece cinsinden yay açısına eşittir veya daha doğrusu, θ yeterince küçük yapılarak oran Şablon:Sfrac ≈ Şablon:Val'e istenildiği kadar yakın hale getirilebilir. Böylece, Şablon:Kayma yayı için, kiriş uzunluğu derece cinsinden yay açısından biraz daha fazladır. Yay arttıkça, kirişin yaya oranı azalır. Yay Şablon:Kayma değerine ulaştığında, kiriş uzunluğu tam olarak yaydaki derece sayısına eşit olur, yani kiriş 60° = 60. 60°'den fazla yaylar için, kiriş sadece 120 olduğunda 180°'lik bir yaya ulaşılana kadar kiriş yaydan daha azdır.

Kiriş uzunluklarının kesirli kısımları sexagesimal (taban 60) rakamlarıyla ifade edilmiştir. Örneğin, 112°'lik bir yay tarafından kesilen bir kirişin uzunluğu 99,29,5 olarak bildirildiğinde, uzunluğu;

$99+\frac{29}{60}+\frac{5}{60^2}=99,4847\bar{2},$

en yakın Şablon:Sfrac'a yuvarlanır.

Yay ve kiriş sütunlarından sonra üçüncü bir sütun "altmışlık" olarak etiketlenir. Bir θ° yayı için, "altmışlık" sütunundaki giriş şöyledir:

$\frac{\text{kiriş}(\theta +{\frac{1}{2}}^{\circ })-\text{kiriş}\left({\theta }^{\circ }\right)}{30}.$

Bu, θ° girişi ile (θ + Şablon:Sfrac)° girişi arasında, açı her bir yay dakikası arttığında kirişe (θ°) eklenmesi gereken sayı, bir birimin ortalama altmışta biri kadardır. Böylece doğrusal interpolasyon için kullanılır. Glowatzki ve Göttsche, Batlamyus'un “altmışlık” sütununda bulunan doğruluk derecesine ulaşmak için kirişleri beş seksagesimal basamağa kadar hesaplamış olması gerektiğini göstermiştir.

$\begin{array}{ccccccc}{\text{yay}}^{\circ }& \text{kiriş}& & & \text{altmışlık}& & \\ \frac{1}{2}& 0& 31& 25& 01& 2& 50\\ 1& 1& 2& 50& 01& 2& 50\\ 1\frac{1}{2}& 1& 34& 15& 01& 2& 50\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 109& 97& 41& 38& 00& 36& 23\\ 109\frac{1}{2}& 97& 59& 49& 00& 36& 9\\ 110& 98& 17& 54& 00& 35& 56\\ 110\frac{1}{2}& 98& 35& 52& 00& 35& 42\\ 111& 98& 53& 43& 00& 35& 29\\ 111\frac{1}{2}& 99& 11& 27& 00& 35& 15\\ 112& 99& 29& 5& 00& 35& 1\\ 112\frac{1}{2}& 99& 46& 35& 00& 34& 48\\ 113& 100& 3& 59& 00& 34& 34\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 179& 119& 59& 44& 00& 0& 25\\ 179\frac{1}{2}& 119& 59& 56& 00& 0& 9\\ 180& 120& 0& 0& 00& 0& 0\end{array}$

Batlamyus kirişleri nasıl hesapladı

AlmagestŞablon:'in I. Kitabının 10. Bölümü, kirişleri hesaplamak için kullanılan geometrik teoremleri sunar. Batlamyus, 72° ve 36° kirişlerini bulmak için Öklid'in Elementleri'nin Kitap XIII'ünün Önerme 10'una dayanan geometrik akıl yürütmeyi kullanmıştır. Bu önermesi, bir çember içine eşkenar bir beşgen yerleştirilirse, beşgenin kenarındaki karenin alanının, aynı çember içine yerleştirilmiş altıgen ve ongen kenarlarındaki karelerin alanlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.

Bir çemberin içine yerleştirilmiş dörtgenler üzerine Batlamyus teoremini kullanarak yarım yay, iki yayın toplamı ve iki yayın farkı için formüller türetmiştir. Teorem, bir çember içine yerleştirilmiş bir dörtgen için, köşegenlerin uzunluklarının çarpımının, karşılıklı kenarların uzunluklarının iki çiftinin çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir. Trigonometrik özdeşliklerin türetilmesinde, bir kenarı dairenin çapı olan bir kirişler dörtgenini temel alınır.

1° ve Şablon:Sfrac°'lik yayların kirişlerini bulmak için Aristarchus eşitsizliğine dayanan yaklaşımları kullandı. Bu eşitsizlik, α ve β yayları için, eğer 0 < β < α < 90° ise, o zaman

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }<\frac{\alpha }{\beta }<\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }.$

Batlamyus, 1° ve Şablon:Sfrac°'lik yaylar için, yaklaşımların tam sayı kısmından sonraki ilk iki seksagesimal basamağı doğru olarak verdiğini göstermiştir.

Doğruluk

Gerald J. Toomer, Almagest'in çevirisinde, bazı el yazmalarında bir "basamak" (bir harf, aşağıya bakınız) değiştirilerek yazım hatalarının yapıldığı yedi giriş vermektedir. Glenn Elert, Batlamyus'un değerleri ile gerçek değerler (açının yarısının sinüsünün 120 katı) arasında bir karşılaştırma yapmış ve karekök ortalama hatasının 0,000136 olduğunu bulmuştur. Ancak bunun büyük bir kısmı en yakın 1/3600'e yuvarlamadan kaynaklanmaktadır, çünkü bu 0,0002777'ye eşittir... Bununla birlikte, son basamağın en iyi yuvarlanmış değerden 1 (çok yüksek veya çok düşük) eksik olduğu birçok giriş vardır. Batlamyus'un değerleri genellikle son yerde 1 fazla yüksektir ve daha yüksek açılara doğru daha da fazladır. En büyük hatalar, yaklaşık 0,0004'tür ve bu da son sexagesimal basamakta yalnızca 1'lik bir hataya karşılık gelir.

Rakam sistemi ve çevrilmemiş tablonun görünümü

Çember yaylarının derece cinsinden uzunlukları ve kiriş uzunluklarının tam sayı kısımları, 10 tabanı ile ifade edilmiştir. Aşağıdaki tabloda anlamları verilen Yunan alfabesi harflerinden 21'ini ve Şablon:Sfrac anlamına gelen "∠′Şablon:Sp" sembolünü ve boş bir alanı dolduran (etkili bir şekilde sıfırı temsil eden) yükseltilmiş bir çember "○" kullanan sayı sistemi. Aşağıdaki tabloda "arkaik" olarak etiketlenen harflerden üçü, Almagest yazılmadan birkaç yüzyıl önce Yunan dilinde kullanılmıyordu, ancak rakamlar ve müzik notaları olarak hala kullanılıyordu.

$\begin{array}{ccccccccc}\alpha & \mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{a}& 1& \iota & \mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}& 10& \rho & \mathrm{r}\mathrm{h}\mathrm{o}& 100\\ \beta & \mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}& 2& \kappa & \mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{a}& 20& \sigma & \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}& 200\\ \gamma & \mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{m}\mathrm{a}& 3& \lambda & \mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{d}\mathrm{a}& 30& \tau & \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{u}& 300\\ \delta & \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{a}& 4& \mu & \mathrm{m}\mathrm{u}& 40& \upsilon & \mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}& 400\\ \epsilon & \mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{n}& 5& \nu & \mathrm{n}\mathrm{u}& 50& \phi & \mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}& 500\\ ϛ& \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{)}& 6& \xi & \mathrm{x}\mathrm{i}& 60& \chi & \mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}& 600\\ \zeta & \mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}& 7& o& \mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{n}& 70& \psi & \mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}& 700\\ \eta & \mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}& 8& \pi & \mathrm{p}\mathrm{i}& 80& \omega & \mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{a}& 800\\ \theta & \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{a}& 9& ϟ& \mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{)}& 90& ϡ& \mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{)}& 900\end{array}$

Böylece, örneğin, Şablon:Sfrac°'lik bir yay ρμγ∠′ olarak ifade edilir. (Tablo sadece 180°'ye ulaştığından, 200 ve üzeri için Yunan rakamları kullanılmamıştır).

Kiriş uzunluklarının kesirli kısımları büyük doğruluk gerektiriyordu ve tablodaki iki sütunda sexagesimal gösteriminde veriliyordu: İlk sütun 0-59 aralığında Şablon:Sfrac'ın tam sayı katını, ikincisi ise yine 0-59 aralığında Şablon:Sfrac = Şablon:Sfrac'in tam sayı katını verir.

Böylece Heiberg'in Şablon:Url, Şablon:Kayma'den Şablon:Kayma'ye kadar olan yaylara karşılık gelen tablonun başlangıcı şöyle görünür:

$\begin{array}{ccc}\pi \epsilon \rho \iota \phi \epsilon \rho \epsilon \iota \tilde{\omega }\nu & \epsilon \stackrel{\text{'}}{\nu }\theta \epsilon \iota \tilde{\omega }\nu & \stackrel{\text{`}}{\epsilon }\xi \eta \kappa o\sigma \tau \tilde{\omega }\nu \\ \begin{array}{c}{\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \alpha \\ \alpha {\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \beta \\ \beta {\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \gamma \\ \gamma {\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \delta \\ \delta {\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \epsilon \\ \epsilon {\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ ϛ\\ ϛ{\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \zeta \\ \zeta {\mathrm{\angle }}^{\prime }\end{array}& \begin{array}{ccc}\circ & \lambda \alpha & \kappa \epsilon \\ \alpha & \beta & \nu \\ \alpha & \lambda \delta & \iota \epsilon \\ \beta & \epsilon & \mu \\ \beta & \lambda \zeta & \delta \\ \gamma & \eta & \kappa \eta \\ \gamma & \lambda \theta & \nu \beta \\ \delta & \iota \alpha & \iota ϛ\\ \delta & \mu \beta & \mu \\ \epsilon & \iota \delta & \delta \\ \epsilon & \mu \epsilon & \kappa \zeta \\ ϛ& \iota ϛ& \mu \theta \\ ϛ& \mu \eta & \iota \alpha \\ \zeta & \iota \theta & \lambda \gamma \\ \zeta & \nu & \nu \delta \end{array}& \begin{array}{cccc}\circ & \alpha & \beta & \nu \\ \circ & \alpha & \beta & \nu \\ \circ & \alpha & \beta & \nu \\ \circ & \alpha & \beta & \nu \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \eta \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \eta \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \eta \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \zeta \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \zeta \\ \circ & \alpha & \beta & \mu ϛ\\ \circ & \alpha & \beta & \mu \epsilon \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \delta \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \gamma \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \beta \\ \circ & \alpha & \beta & \mu \alpha \end{array}\end{array}$

Tablonun ilerleyen kısımlarında, yay ve kiriş uzunluğunun tam sayı kısımlarını ifade eden rakamların 10 tabanı doğası görülebilir. Böylece 85°'lik bir yay πε (80 için π ve 5 için ε) olarak yazılır ve 60 + 25'e bölünmez. Karşılık gelen kiriş uzunluğu 81 artı kesirli bir kısımdır. Tam sayı kısmı πα ile başlar, aynı şekilde 60 + 21'e bölünmez. Ancak kesirli kısım, Şablon:Sfrac + Şablon:Sfrac, Şablon:Sfrac sütununda 4 için δ, ardından Şablon:Sfrac sütununda 15 için ιε olarak yazılır.

$\begin{array}{ccc}\pi \epsilon \rho \iota \phi \epsilon \rho \epsilon \iota \tilde{\omega }\nu & \epsilon \stackrel{\text{'}}{\nu }\theta \epsilon \iota \tilde{\omega }\nu & \stackrel{\text{`}}{\epsilon }\xi \eta \kappa o\sigma \tau \tilde{\omega }\nu \\ \begin{array}{c}\pi \delta {\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \pi \epsilon \\ \pi \epsilon {\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \pi ϛ\\ \pi ϛ{\mathrm{\angle }}^{\prime }\\ \pi \zeta \end{array}& \begin{array}{ccc}\pi & \mu \alpha & \gamma \\ \pi \alpha & \delta & \iota \epsilon \\ \pi \alpha & \kappa \zeta & \kappa \beta \\ \pi \alpha & \nu & \kappa \delta \\ \pi \beta & \iota \gamma & \iota \theta \\ \pi \beta & \lambda ϛ& \theta \end{array}& \begin{array}{cccc}\circ & \circ & \mu ϛ& \kappa \epsilon \\ \circ & \circ & \mu ϛ& \iota \delta \\ \circ & \circ & \mu ϛ& \gamma \\ \circ & \circ & \mu \epsilon & \nu \beta \\ \circ & \circ & \mu \epsilon & \mu \\ \circ & \circ & \mu \epsilon & \kappa \theta \end{array}\end{array}$

Tablo, sekiz sayfanın her birinde 45 satır olmak üzere toplam 360 satırdan oluşmaktadır.

Ayrıca bakınız

• Aryabhata sinüs tablosu
• Ekssekant
• Fundamentum Astronomiae, sinüslerin hassas hesaplanması için bir algoritma ortaya koyan bir kitap, 1500'lerin sonunda yayımlandı.
• Yunan matematiği
• Madhava sinüs tablosu
• Batlamyus
• Kirişler ölçeği
• Versinüs

Konuyla ilgili okumalar

• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Olaf Pedersen (1974) A Survey of the Almagest, Odense University Press Şablon:ISBN
• Şablon:Kaynak

Dış bağlantılar

• J. L. Heiberg Almagest, Table of chords on pages 48–63.
• Glenn Elert Ptolemy's Table of Chords: Trigonometry in the Second Century
• Almageste in Greek and French, at the internet archive.