Aristarkus eşitsizliği

Aristarchus eşitsizliği (Yunan gökbilimci ve matematikçi Sisamlı Aristarkus'tan sonra; MÖ 310 - MÖ 230), eğer $\alpha$ ile $\beta$ dar açılar (0 ile dik açı arasında) ve $\alpha <\beta$ ise,

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }<\frac{\alpha }{\beta }<\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }$.

olduğunu belirten bir trigonometri yasasıdır. Batlamyus, kiriş tablosunu oluştururken bu eşitsizliklerden ilkini kullandı.

İspat

Kanıt, daha bilinen eşitsizliklerin bir sonucudur: $0<\sin (\alpha )<\alpha <\tan (\alpha )$, $0<\sin (\beta )<\sin (\alpha )<1$ ve $1>\cos (\beta )>\cos (\alpha )>0$.

İlk eşitsizliğin kanıtı

Yukarıda belirtilen temel eşitsizlikleri kullanarak önce bunu kanıtlayabiliriz

$\frac{\sin (\alpha )}{\sin (\beta )}<\frac{\alpha }{\beta }$.

İlk önce eşitsizliğin $\frac{\sin (\alpha )}{\alpha }<\frac{\sin (\beta )}{\beta }$'a eşdeğer olduğunu not ediyoruz, bu eşitsizlik; $\frac{\sin (\alpha )-\sin (\beta )}{\alpha -\beta }<\frac{\sin (\beta )}{\beta }$ olarak yeniden yazılabilir.

Şimdi bunu göstermek istiyoruz

$\frac{\sin (\alpha )-\sin (\beta )}{\alpha -\beta }<\cos (\beta )<\frac{\sin (\beta )}{\beta }$.

İkinci eşitsizlik basitçe $\beta <\tan \beta$'dir. İlki doğrudur çünkü:

$\frac{\sin (\alpha )-\sin (\beta )}{\alpha -\beta }=\frac{2\cdot \sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}{\alpha -\beta }<\frac{2\cdot \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cdot \cos (\beta )}{\alpha -\beta }=\cos (\beta )$.

İkinci eşitsizliğin kanıtı

Şimdi ikinci eşitsizliği göstermek istiyoruz, yani:

$\frac{\alpha }{\beta }<\frac{\tan (\alpha )}{\tan (\beta )}$.

İlk olarak, temel eşitsizlikler nedeniyle şunlara sahip olduğumuzu not ediyoruz:

$\beta <\tan (\beta )=\frac{\sin (\beta )}{\cos (\beta )}<\frac{\sin (\beta )}{\cos (\alpha )}$

Sonuç olarak, önceki denklemde $0<\alpha -\beta <\alpha$ eşitsizliğini kullanarak ($\beta$ ile $\alpha -\beta <\alpha$ ile değiştirerek) aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$\alpha -\beta <\frac{\sin (\alpha -\beta )}{\cos (\alpha )}=\tan (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\beta )$.

Nihayetinde aşağıdaki sonuca varıyoruz:

$\frac{\alpha }{\beta }=\frac{\alpha -\beta }{\beta }+1<\frac{\tan (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\beta )}{\sin (\beta )}+1=\frac{\tan (\alpha )}{\tan (\beta )}.$

Ayrıca bakınız

• Samoslu Aristarkus
• Eratosthenes
• Posidonius
• Trigonometri tarihi

Konuyla ilgili yayınlar

• Neugebauer, O. “Archimedes and Aristarchus.” Isis, vol. 34, no. 1, 1942, ss. 4–6. JSTOR, www.jstor.org/stable/225990.
• Howard L. Resnikoff, Raymond O. Wells, Jr., (2015), Mathematics in Civilization, 3rd Edition, s. 103, Dover Publications, Şablon:ISBN
• Alexander Toller, Freya Edholm, Dennis Chen, (2019), Proofs in Competition Math: Volume 1, s. 268, Şablon:ISBN

Dış bağlantılar

• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı