Kirişler dörtgeni

Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeniŞablon:Efn veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen,Şablon:Efn köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere çevrel çemberŞablon:Efn denir ve köşelerin aynı çember içindeŞablon:Efn olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla çevrel merkezŞablon:Efn ve çevrel yarıçapŞablon:Efn olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeniŞablon:Efn ve kordal dörtgenŞablon:Efndir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.

ÇemberselŞablon:Efn kelimesi Antik Yunancadan gelmektedir. Şablon:Dil (kuklos), "çember" veya "tekerlek" anlamına gelir.

Tüm üçgenler bir çevrel çembere sahiptir, ancak tüm dörtgenler sahip değildir. Çembersel olamayan bir dörtgen örneği kare olmayan bir eşkenar dörtgendir. Aşağıdaki tanımlamalar bölümü, bir dörtgenin bir çevrel çembere sahip olması için hangi gerek ve yeter koşulları sağlaması gerektiğini belirtir.

Özel durumlar

Herhangi bir kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk veya antiparalelkenar Şablon:Efn çevrimseldir. Bir uçurtma ancak ve ancak iki dik açıya sahipse - bir dik uçurtma Şablon:Efn ise- çevrimseldir. Bir çift merkezli dörtgen,Şablon:Efn aynı zamanda teğetsel Şablon:Efn olan çevrimsel bir dörtgendir ve bir dış-çift merkezli dörtgen,Şablon:Efn aynı zamanda dış-teğetsel Şablon:Efn olan çevrimsel bir dörtgendir. Bir harmonik dörtgen, karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımının eşit olduğu bir çevrimsel dörtgendir.

Tanımlamalar

Çevrel merkez

Dışbükey bir dörtgen ancak ve ancak kenarlara dik dört açıortay tek noktada kesişirse Şablon:Efn çevrimseldir. Bu ortak nokta çevrel merkez yani çevrel çemberin merkezidir.^[1]

Tamamlayıcı açılar

Bir dışbükey Şablon:Math dörtgeni ancak ve ancak karşıt açıları tamamlayıcı ise çevrimseldir,^[1]^[2] yani:

α + γ = β + δ = π radyan (= 18 0^{\circ}) .

Doğrudan teorem, Öklid'in Elementler adlı eserinin 3. kitabındaki 22. önermedir.^[3] Eşit bir şekilde, bir dışbükey dörtgen ancak ve ancak her dış açı karşıt iç açıya eşitse çevrimseldir.

1836 yılında Duncan Gregory, bu sonucu aşağıdaki şekilde genelleştirmiştir: Herhangi bir dışbükey çevrimsel 2n-geni verildiğinde, iç "ters" açılarınŞablon:Efn ikişerli toplamının her biri $(n - 1) π$ 'ye eşittir.^[4] Bu sonuç, aşağıdaki şekilde daha da genelleştirilebilir: Eğer A1A2... A2n (n > 1), tepe noktası Ai->Ai+k (tepe noktası Ai, Ai+k ile birleştirilir) olan herhangi bir çevrimsel 2n-geni ise, iç ters açıların ikişerli toplamının her biri $m π$ 'ye eşittir (burada m = n-k ve k = 1, 2, 3, ... toplam dönüştür).^[5]

Her bir açının stereografik izdüşümü (yarım açı tanjantı) alındığında, bu yeniden ifade edilebilir,

\frac{\tan \frac{α}{2} + \tan \frac{γ}{2}}{1 - \tan \frac{α}{2} \tan \frac{γ}{2}} = \frac{\tan \frac{β}{2} + \tan \frac{δ}{2}}{1 - \tan \frac{β}{2} \tan \frac{δ}{2}} = \infty .

Bu da şu anlama gelir:^[6]

\tan \frac{α}{2} \tan \frac{γ}{2} = \tan \frac{β}{2} \tan \frac{δ}{2} = 1

Kenarlar ve köşegenler arasındaki açılar

Bir dışbükey Şablon:Math dörtgeni ancak ve ancak bir kenar ile bir köşegen arasındaki açı, karşı kenar ile diğer köşegen arasındaki açıya eşitse çevrimseldir.^[7]

Yani, örneğin,

∠ A C B = ∠ A D B .

Pascal noktaları

Dışbükey bir Şablon:Math dörtgenin çevrimsel olması için gerek ve yeter diğer koşullar şunlardır: Şablon:Math köşegenlerin kesişme noktası olsun, Şablon:Math ise Şablon:Math ve Şablon:Math kenarlarının uzantılarının kesişme noktası olsun, $ω$ , çapı Şablon:Math doğru parçası olan bir çember olsun ve Şablon:Math ile Şablon:Math, $ω$ çemberinin oluşturduğu Şablon:Math ve Şablon:Math kenarları üzerindeki Pascal noktaları olsun.
(1) Şablon:Math ancak ve ancak Şablon:Math ile Şablon:Math noktaları $ω$ çemberinin merkezi Şablon:Math ile aynı hizada ise çevrimsel bir dörtgendir.
(2) Şablon:Math ancak ve ancak Şablon:Math ile Şablon:Math noktaları Şablon:Math ve Şablon:Math kenarlarının orta noktaları ise çevrimsel bir dörtgendir.^[2]

Köşegenlerin kesişimi

Biri Şablon:Math doğru parçasını, diğeri Şablon:Math doğru parçasını içeren iki doğru Şablon:Math noktasında kesişiyorsa, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math dört noktası ancak ve ancak şu koşullarda aynı çember içinde olur:^[8]

A E \cdot E C = B E \cdot E D .

Kesişim noktası Şablon:Math, çemberin içinde ya da dışında olabilir. İlk durumda çevrimsel dörtgen Şablon:Math, ikinci durumda ise çevrimsel dörtgen Şablon:Math olur. Kesişim iç tarafta olduğunda eşitlik, Şablon:Math'nin bir köşegeni böldüğü parça uzunluklarının çarpımının diğer köşegeninkine eşit olduğunu belirtir. Bu kesişen kirişler teoremiŞablon:Efn olarak bilinir çünkü çevrimsel dörtgenin köşegenleri çemberin kirişleridir.

Batlamyus teoremi

Batlamyus teoremi, çevrimsel bir dörtgenin Şablon:Math ve Şablon:Math köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamına eşit olduğunu ifade eder:^[2]^[9]Şablon:Rp

e f = a c + b d,

burada a, b, c, d sırasıyla kenar uzunluklarıdır. Bunun tersi de doğrudur. Yani, bu denklem dışbükey bir dörtgende sağlanırsa, çevrimsel bir dörtgen oluşur.

Köşegen üçgen

Dışbükey bir Şablon:Math dörtgeninde Şablon:Math, Şablon:Math'nin köşegen üçgeni olsun ve $ω$ Şablon:Math'nin dokuz nokta çemberi olsun. Şablon:Math ancak ve ancak Şablon:Math bimedyanlarının kesişim noktası dokuz nokta çemberi $ω$ 'ya aitse çevrimseldir.^[2]^[10]^[11]

Alan

Kenarları Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math olan çevrimsel bir dörtgenin alanı Şablon:Math, Brahmagupta formülü ile aşağıdaki gibi hesaplanabilir.^[9]Şablon:Rp

K = \sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}

burada Şablon:Math, yarı çevreyi göstermekte olup, Şablon:Math şeklinde bulunur. Bu, Bretschneider formülünün genel dörtgen için bir sonucudur, çünkü karşıt açılar çevrimsel olması durumunda tamamlayıcıdır. Eğer ayrıca Şablon:Math ise, çevrimsel dörtgen bir üçgene dönüşür ve formül Heron formülüne indirgenir.

Çevrimsel dörtgen, aynı kenar uzunluklarına sahip tüm dörtgenler arasında (sıralamaya bakılmaksızın) maksimum alana sahiptir. Bu, Bretschneider formülünün bir başka sonucudur. Ayrıca kalkülüs kullanılarak da kanıtlanabilir.^[12]

Her biri diğer üçünün toplamından daha az olan ve eşit olmayan dört uzunluk, Brahmagupta formülüne göre hepsi aynı alana sahip üç eşlenik olmayan çevrimsel dörtgenin^[13] her birinin kenarlarıdır. Özellikle, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math ve Şablon:Math kenarları için, Şablon:Math kenarı Şablon:Math, Şablon:Math veya Şablon:Math kenarlarından herhangi birinin karşısında olabilir.

Ardışık kenarları Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math olan çevrimsel bir dörtgenin alanı, Şablon:Math ve Şablon:Math kenarları arasındaki Şablon:Math açısı ve Şablon:Math ve Şablon:Math kenarları arasındaki Şablon:Math açısı şu şekilde ifade edilebilir:^[9]Şablon:Rp

K = \frac{1}{2} (a b + c d) \sin B

veya

K = \frac{1}{2} (a d + b c) \sin A

veya^[9]Şablon:Rp

K = \frac{1}{2} (a c + b d) \sin θ

burada Şablon:Math, köşegenler arasındaki herhangi bir açıdır. Eğer Şablon:Math bir dik açı değilse, alan şu şekilde de ifade edilebilir:^[9]Şablon:Rp

K = \frac{1}{4} (a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2}) \tan A .

Bir diğer formül ise,^[14]Şablon:Rp

K = 2 R^{2} \sin A \sin B \sin θ

burada Şablon:Math çevrel çemberin yarıçapıdır. Doğrudan bir sonuç olarak,^[15]

K \leq 2 R^{2}

burada ancak ve ancak dörtgen bir kare ise eşitlik söz konusudur.

Köşegenler

Ardışık köşeleri Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math ve kenarları Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math ve Şablon:Math olan çevrimsel bir dörtgende, köşegenlerin uzunlukları Şablon:Math ve Şablon:Math taraflar cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:^[9]Şablon:Rp^[16]^[17]Şablon:Rp

p = \sqrt{\frac{(a c + b d) (a d + b c)}{a b + c d}}

ve

q = \sqrt{\frac{(a c + b d) (a b + c d)}{a d + b c}}

böylece Batlamyus teoremi gösterilmiş olur:

p q = a c + b d .

Batlamyus'un ikinci teoremiŞablon:'ne göre,^[9]Şablon:Rp^[16]

\frac{p}{q} = \frac{a d + b c}{a b + c d}

yukarıdaki gibi aynı notasyonları kullanır.

Köşegenlerin toplamı için şu eşitsizliğe sahibiz:^[18]Şablon:Rp

p + q \geq 2 \sqrt{a c + b d} .

Eşitlik, ancak ve ancak köşegenlerin eşit uzunlukta olması durumunda geçerlidir, bu da AO-GO eşitsizliği kullanılarak kanıtlanabilir.

Ayrıca,^[18]Şablon:Rp

(p + q)^{2} \leq (a + c)^{2} + (b + d)^{2} .

Herhangi bir dışbükey dörtgende, iki köşegen birlikte dörtgeni dört üçgene böler; çevrimsel bir dörtgende, bu dört üçgenin zıt çiftleri birbirlerine benzerdir.

Eğer Şablon:Math, Şablon:Math ile Şablon:Math'nin Şablon:Math'de kesiştiği çevrimsel bir dörtgen ise^[19]

\frac{A E}{C E} = \frac{A B}{C B} \cdot \frac{A D}{C D} .

Bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek kenarlar kümesi, her biri aynı çemberde aynı alana sahip bir çevrimsel dörtgen oluşturabilecek üç farklı diziden herhangi birinde düzenlenebilir (Brahmagupta'nın alan formülüne göre alanlar aynıdır). Bu çevrimsel dörtgenlerden herhangi ikisinin ortak bir köşegen uzunluğu vardır.^[17]Şablon:Rp

Açı formülleri

Ardışık kenarları Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math olan çevrimsel bir dörtgen için yarı çevre Şablon:Math ve Şablon:Math ve Şablon:Math kenarları arasındaki Şablon:Math ise, Şablon:Math açısının trigonometrik fonksiyonları şu şekilde verilir:^[20]

\cos A = \frac{a^{2} - b^{2} - c^{2} + d^{2}}{2 (a d + b c)},

\sin A = \frac{2 \sqrt{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}}{(a d + b c)},

\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s - a) (s - d)}{(s - b) (s - c)}} .

Karşılıklı kenarları Şablon:Math ve Şablon:Math olan köşegenler arasındaki Şablon:Math açısı aşağıdaki ifadeyi sağlar^[9]Şablon:Rp

\tan \frac{θ}{2} = \sqrt{\frac{(s - b) (s - d)}{(s - a) (s - c)}} .

Karşılıklı kenarlar Şablon:Math ve Şablon:Math'nin uzantıları Şablon:Math açısıyla kesişiyorsa,

\cos \frac{φ}{2} = \sqrt{\frac{(s - b) (s - d) (b + d)^{2}}{(a b + c d) (a d + b c)}}

burada Şablon:Math, yarı çevredir.^[9]Şablon:Rp

$B$ $a$ ve $b$ kenarları arasındaki açıyı, $C$ $b$ ve $c$ arasındaki açıyı ve $D$ $c$ ve $d$ arasındaki açıyı göstersin:^[21]

\begin{matrix} \frac{a + c}{b + d} & = \frac{\sin \frac{1}{2} (A + B)}{\cos \frac{1}{2} (C - D)} \tan \frac{1}{2} θ, \\ \frac{a - c}{b - d} & = \frac{\cos \frac{1}{2} (A + B)}{\sin \frac{1}{2} (D - C)} \cot \frac{1}{2} θ . \end{matrix}

Parameshvara çevrel yarıçap formülü

Kirişler dörtgeni, tüm köşeleri bir çember üzerinde bulunan dörtgendir. Hintli matematikçi Parameshvara, bu tür dörtgenlerin kenar uzunlukları ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki ilişkileri incelemiştir.

Ardışık kenarları Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math ve yarı çevresi Şablon:Math olan çevrimsel bir dörtgen, aşağıdaki şekilde verilen çevrel yarıçapa (çevrel çemberin yarıçapı) sahiptir^[16]^[22]

R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(a b + c d) (a c + b d) (a d + b c)}{(s - a) (s - b) (s - c) (s - d)}} .

Bu ifade, 15. yüzyılda Hint matematikçi Vatasseri Parameshvara tarafından türetilmiştir (Yarıçapın herhangi bir kenar uzunluğunun değişimi altında değişmez olduğunu unutmayın).

Brahmagupta formülünü kullanarak, Parameshvara formülü şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

4 K R = \sqrt{(a b + c d) (a c + b d) (a d + b c)}

burada Şablon:Math çevrimsel dörtgenin alanıdır.

Karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar

Her biri çevrimsel bir dörtgenin bir kenarına dik olan ve karşı kenarın orta noktasından geçen dört doğru parçası, aynı noktada kesişir.^[23]Şablon:Rp^[24] Bu doğru parçalarına orta nokta rakımının kısaltması olan maltitüdlerŞablon:Efn adı verilir.^[25] Ortak noktalarına karşıt merkezŞablon:Efn adı verilir. Çevrel merkezin "tepe merkezi"ndeki Şablon:Efn yansıması olma özelliğine sahiptir. Dolayısıyla, çevrimsel bir dörtgende, çevrel merkez, "tepe merkezi" ve karşıt merkez doğrudaştır.^[24]

Eğer bir çevrimsel dörtgenin köşegenleri Şablon:Math noktasında kesişiyorsa ve köşegenlerin orta noktaları Şablon:Math ve Şablon:Math ise, o zaman dörtgenin karşıt merkezi Şablon:Math üçgeninin ortosentr Şablon:Efnıdır.

Bir çevrimsel dörtgenin karşıt merkezi, köşelerinin Poncelet noktasıdır.

Diğer özellikler

Çevrimsel bir Şablon:Math dörtgeninde, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math ve Şablon:Math üçgenlerindeki iç merkezler M₁, M₂, M₃, M₄ (sağdaki şekle bakın) bir dikdörtgenin köşeleridir. Bu, Japon teoremi olarak bilinen teoremlerden biridir. Aynı dört üçgenin ortosentrları Şablon:Math'ye eşleşik bir dörtgenin köşeleridir ve bu dört üçgendeki geometrik merkezler Şablon:Efn başka bir çevrimsel dörtgenin köşeleridir.^[7]
Merkez noktası Şablon:Math olan Şablon:Math çevrimsel dörtgeninde Şablon:Math, Şablon:Math ve Şablon:Math köşegenlerinin kesiştiği nokta olsun. O zaman Şablon:Math açısı Şablon:Math ve Şablon:Math açılarının aritmetik ortalamasıdır. Bu, iç açı teoremi Şablon:Efn ve dış açı teoreminin Şablon:Efn doğrudan bir sonucudur.
Ne aritmetik ne de geometrik dizide rasyonel alana ve eşit olmayan rasyonel kenarlara sahip çevrimsel dörtgenler yoktur.^[26]
Eğer bir çevrimsel dörtgenin kenar uzunlukları bir aritmetik dizi oluşturuyorsa, bu dörtgen aynı zamanda dış-çift merkezlidir.
Bir çevrimsel dörtgenin karşılıklı kenarları Şablon:Math ve Şablon:Math noktalarında kesişecek şekilde uzatılırsa, Şablon:Math ve Şablon:Math noktalarındaki açıların iç açıortayları diktir.^[13]

Brahmagupta dörtgenleri

Bir Brahmagupta dörtgeni^[27] kenarları, köşegenleri ve alanı tam sayı olan çevrimsel bir dörtgendir. Kenarları Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math, köşegenleri Şablon:Math, Şablon:Math, alanı Şablon:Math olan tüm Brahmagupta dörtgenleri ve çevresel yarıçapı Şablon:Math, Şablon:Math, Şablon:Math ve Şablon:Math rasyonel parametrelerini içeren aşağıdaki ifadelerden paydadan kurtarmayla elde edilebilir:

a = [t (u + v) + (1 - u v)] [u + v - t (1 - u v)]

b = (1 + u^{2}) (v - t) (1 + t v)

c = t (1 + u^{2}) (1 + v^{2})

d = (1 + v^{2}) (u - t) (1 + t u)

e = u (1 + t^{2}) (1 + v^{2})

f = v (1 + t^{2}) (1 + u^{2})

K = u v [2 t (1 - u v) - (u + v) (1 - t^{2})] [2 (u + v) t + (1 - u v) (1 - t^{2})]

4 R = (1 + u^{2}) (1 + v^{2}) (1 + t^{2}) .

Ortodiyagonal durum

Çevrel yarıçap ve alan

Aynı zamanda ortodiyagonal olan (dik köşegenlere sahip) bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişiminin bir köşegeni Şablon:Math ile Şablon:Math uzunluğundaki parçalara böldüğünü ve diğer köşegeni Şablon:Math ile Şablon:Math uzunluğundaki parçalara böldüğünü varsayalım. O zaman,^[28] (ilk eşitlik Archimedes'in Book of Lemmas kitabındaki 11. önermedir)

D^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2} = a^{2} + c^{2} = b^{2} + d^{2}

burada Şablon:Math çemberin çapıdır. Bu geçerlidir çünkü köşegenler bir çemberin kirişlerine diktir. Bu denklemler çevrel yarıçap Şablon:Math'nin,

R = \frac{1}{2} \sqrt{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2}}

olarak veya dörtgenin kenarları cinsinden^[23]

R = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + c^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{b^{2} + d^{2}} .

şeklinde ifade edilebileceğini gösterir. Aynı zamanda şu sonucu da doğurur:^[23]

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 8 R^{2} .

Böylece, Euler dörtgen teoremine göre çevrel yarıçapı, Şablon:Math ve Şablon:Math köşegenleri ve köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe Şablon:Math cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

R = \sqrt{\frac{p^{2} + q^{2} + 4 x^{2}}{8}} .

Alan Şablon:Math için bir formül, çevrimsel ortodiyagonal dörtgenin dört kenarı cinsinden Batlamyus teoremi ve ortodiyagonal dörtgenin alanı formülü birleştirildiğinde doğrudan elde edilir. Sonuç şudur;^[29]Şablon:Rp

K = \frac{1}{2} (a c + b d) .

Diğer özellikler

Çevrimsel ortodiyagonal bir dörtgende, karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar köşegenlerin kesiştiği nokta ile çakışır.^[23]
Brahmagupta teoremi, aynı zamanda ortodiyagonal olan bir çevrimsel dörtgen için, köşegenlerin kesişme noktasından geçen herhangi bir kenardan gelen dikmenin karşı kenarı ikiye böldüğünü belirtir.^[23]
Eğer bir çevrimsel dörtgen aynı zamanda ortodiyagonal ise, çevrel merkez ile herhangi bir kenar arasındaki mesafe karşı kenarın uzunluğunun yarısına eşittir.^[23]
Çevrimsel bir ortodiyagonal dörtgende, köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafe, çevrel merkez ile köşegenlerin kesiştiği nokta arasındaki mesafeye eşittir.^[23]

Çevrimsel küresel dörtgenler

Küresel geometride, kesişen dört büyük çemberden oluşan küresel bir dörtgen, ancak ve ancak karşıt açıların toplamları eşitse, yani dörtgenin α, β, γ, δ ardışık açıları için α + γ = β + δ ise çevrimseldir.^[30] Bu teoremin bir yönü 1782 yılında Anders Johan Lexell tarafından kanıtlanmıştır.^[31] Lexell, bir kürenin küçük bir çemberi içine yerleştirilmiş küresel bir dörtgende karşıt açıların toplamlarının eşit olduğunu ve çevrel dörtgende karşıt kenarların toplamlarının eşit olduğunu göstermiştir. Bu teoremlerden ilki, bir düzlem teoreminin küresel benzeşimidir ve ikinci teorem onun dualitesidir, yani büyük çemberler ile kutuplarının yer değiştirmesinin sonucudur.^[32] Kiper ve diğ.^[33] teoremin tersini kanıtladılar: Eğer küresel bir dörtgende karşılıklı kenarların toplamları eşitse, o zaman bu dörtgen için bir iç teğet çember vardır.

Notlar

Şablon:Div sütunu

Şablon:Div sütunu-son

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Şablon:Kaynakça

Konuyla ilgili okumalar

Şablon:Kaynak

Dış bağlantılar

Şablon:Çokgenler

↑ ^1,0 ^1,1 Şablon:Kaynak
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Kaynak.
↑ Şablon:Kaynak.
↑ Şablon:Kaynak
↑ ^7,0 ^7,1 Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Kaynak
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 ^9,4 ^9,5 ^9,6 ^9,7 ^9,8 Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Dergi kaynağı
↑ Şablon:Dergi kaynağı
↑ Şablon:Kaynak
↑ ^13,0 ^13,1 Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Kaynak
↑ ^16,0 ^16,1 ^16,2 Şablon:Kaynak
↑ ^17,0 ^17,1 Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
↑ ^18,0 ^18,1 Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", 2007, [1] Şablon:Webarşiv.
↑ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2] Şablon:Webarşiv, Accessed 18 March 2014.
↑ Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Kaynak
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 ^23,6 Şablon:Kaynak
↑ ^24,0 ^24,1 Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Mathworld
↑ Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Dergi kaynağı
↑ Şablon:Kaynak
↑ Şablon:Kaynak.
↑ Şablon:Dergi kaynağı
↑ Şablon:Dergi kaynağı
↑ Şablon:Kitap kaynağı
↑ Şablon:Dergi kaynağı

[Usiskin-1] 1,0 ^1,1 Şablon:Kaynak

[Fraivert-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Şablon:Kaynak

[3] Şablon:Kaynak

[4] Şablon:Kaynak.

[5] Şablon:Kaynak.

[6] Şablon:Kaynak

[Andreescu-7] 7,0 ^7,1 Şablon:Kaynak

[8] Şablon:Kaynak

[Durell-9] 9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 ^9,4 ^9,5 ^9,6 ^9,7 ^9,8 Şablon:Kaynak

[10] Şablon:Dergi kaynağı

[11] Şablon:Dergi kaynağı

[12] Şablon:Kaynak

[Coxeter-13] 13,0 ^13,1 Şablon:Kaynak

[14] Şablon:Kaynak

[Alsina-15] Şablon:Kaynak

[Alsina2-16] 16,0 ^16,1 ^16,2 Şablon:Kaynak

[Johnson-17] 17,0 ^17,1 Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[Crux-18] 18,0 ^18,1 Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", 2007, [1] Şablon:Webarşiv.

[19] A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2] Şablon:Webarşiv, Accessed 18 March 2014.

[20] Şablon:Kaynak

[21] Şablon:Kaynak

[22] Şablon:Kaynak

[Altshiller-Court-23] 23,0 ^23,1 ^23,2 ^23,3 ^23,4 ^23,5 ^23,6 Şablon:Kaynak

[Honsberger-24] 24,0 ^24,1 Şablon:Kaynak

[25] Şablon:Mathworld

[Buchholz-26] Şablon:Kaynak

[27] Şablon:Dergi kaynağı

[28] Şablon:Kaynak

[29] Şablon:Kaynak.

[30] Şablon:Dergi kaynağı

[31] Şablon:Dergi kaynağı

[32] Şablon:Kitap kaynağı

[33] Şablon:Dergi kaynağı

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

Kirişler dörtgeni

İçindekiler

Özel durumlar

Tanımlamalar

Çevrel merkez

Tamamlayıcı açılar

Kenarlar ve köşegenler arasındaki açılar

Pascal noktaları

Köşegenlerin kesişimi

Batlamyus teoremi

Köşegen üçgen

Alan

Köşegenler

Açı formülleri

Parameshvara çevrel yarıçap formülü

Karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar

Diğer özellikler

Brahmagupta dörtgenleri

Ortodiyagonal durum

Çevrel yarıçap ve alan

Diğer özellikler

Çevrimsel küresel dörtgenler

Notlar

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Konuyla ilgili okumalar

Dış bağlantılar

Gezinti menüsü

Kirişler dörtgeni

Özel durumlar

Tanımlamalar

Çevrel merkez

Tamamlayıcı açılar

Kenarlar ve köşegenler arasındaki açılar

Pascal noktaları

Köşegenlerin kesişimi

Batlamyus teoremi

Köşegen üçgen

Alan

Köşegenler

Açı formülleri

Parameshvara çevrel yarıçap formülü

Karşıt merkez ve eşdoğrusallıklar

Diğer özellikler

Brahmagupta dörtgenleri

Ortodiyagonal durum

Çevrel yarıçap ve alan

Diğer özellikler

Çevrimsel küresel dörtgenler

Notlar

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Konuyla ilgili okumalar

Dış bağlantılar

Gezinti menüsü

Ara