Kelebek teoremi

Şablon:Ortala

Kelebek teoremi, Öklid geometrisinin klasik bir sonucudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir: Şablon:Rp

Şablon:Matematik, bir çemberin başka iki Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik kirişi üzerinden geçen Şablon:Matematik kirişinin orta noktası olsun, buna bağlı olarak Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik, Şablon:Matematik kirişini Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik noktalarında keser. O halde Şablon:Matematik, Şablon:Matematik'nin orta noktasıdır.

Teoremin ispatı

Şablon:Ortala

Teoremin biçimsel bir ispatı aşağıdaki gibidir: Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik dikmeleri Şablon:Matematik noktasından sırasıyla Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik düz çizgileri üzerine indirilsin. Benzer şekilde, Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik, Şablon:Matematik noktasından sırasıyla Şablon:Matematik ve Şablon:Matematik düz çizgilerine dik indirilsin.

$\mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime },$ olduğundan

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }},$

$\mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″},$

$\frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$\mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″},$

$\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY},$

$\mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime },$

$\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{\prime }}=\frac{DX}{BY}.$

Önceki denklemlerden ve kesişen kirişler teoreminden,

${\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}},$

$=\frac{AX\cdot DX}{CY\cdot BY},$

$=\frac{PX\cdot QX}{PY\cdot QY},$

$=\frac{(PM-XM)\cdot (MQ+XM)}{(PM+MY)\cdot (QM-MY)},$

$=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2},$

Şablon:Matematik olduğundan,

Böylece

$\frac{(MX{)}^2}{(MY{)}^2}=\frac{(PM{)}^2-(MX{)}^2}{(PM{)}^2-(MY{)}^2}.$

İkinci denklemde içler dışlar çarpımı yapılırsa,

$(MX{)}^2\cdot (PM{)}^2-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2=(MY{)}^2\cdot (PM{)}^2-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2.$

Ortak terim olan

$-(MX{)}^2\cdot (MY{)}^2$

ifadesi elde edilen denklemin her iki tarafından sadeleştirilirse,

$(MX{)}^2\cdot (PM{)}^2=(MY{)}^2\cdot (PM{)}^2,$

elde edilir, dolayısıyla Şablon:Matematik, çünkü MX, MY ve PM hepsi pozitif, gerçek sayılardır.

Bu nedenle, Şablon:Matematik, Şablon:Matematik'nin orta noktasıdır.

Projektif geometri kullanan biri de dahil olmak üzere başka ispatlar da mevcuttur.

Tarihçe

Kelebek teoremini kanıtlamak William Wallace tarafından The Gentlemen's Mathematical Companionda (1803) bir problem olarak ortaya atıldı. 1804'te üç çözüm yayınlandı ve 1805'te Sir William Herschel, Wallace'a yazdığı bir mektupta soruyu tekrar sordu. Thomas Scurr, aynı soruyu 1814'te Gentlemen's Diary veya Mathematical Repositoryde tekrar sordu.

Dış bağlantılar

• Geogebra - Butterfly Theorem
• Cut-the-knot'da Kelebek Teoremi Şablon:Webarşiv
• Cut-the-knot'da Daha İyi Bir Kelebek Teoremi Şablon:Webarşiv
• PlanetMath'te Kelebek Teoreminin Kanıtı Şablon:Webarşiv
• Wolfram Gösterimleri Projesi, Jay Warendorff'un Kelebek Teoremi Şablon:Webarşiv.
• Weisstein, Eric W., MathWorld - Kelebek Teoremi Şablon:Webarşiv.

Konuyla ilgili yayınlar

• Volenec, V. (2000). A generalization of the butterfly theorem. Mathematical Communications, 5(2), ss. 157-160.
• Čerin, Z. (2001). A generalization of the butterfly theorem from circles to conics. Mathematical Communications, 6(2), ss. 161-164.
• Sliepcevic, A. (2002). A new generalization of the butterfly theorem. Journal for Geometry and Graphics, 6(1), ss. 61-68.
• Volenec, V. (2002). The butterfly theorem for conics. Mathematical Communications, 7(1), ss. 35-38.
• Kung, S. (2005). A butterfly theorem for quadrilaterals. Mathematics Magazine, 78(4), ss. 314-316.
• Čerin, Z., & Gianella, G. M. (2006). On improvements of the butterfly theorem. Far east journal of mathematical sciences: FJMS, 20(1), 69.
• Jun-lin, Y. A. N. G. (2009). Version of butterfly theorem under projective transformation. Journal of Fuyang Teachers College (Natural Science), 4.
• Markowsky, G. (2011). Pascal's Hexagon Theorem Implies the Butterfly Theorem. Mathematics Magazine, 84(1), ss. 56-62.
• Dergiades, N., & Lim, S. H. (2012). The Butterfly Theorem Revisited. In Forum Geometricorum (Vol. 12, ss. 301-304).
• Donolato, C. (2016). A proof of the butterfly theorem using Ceva’s theorem. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 185-186).
• Celli, M. (2016). A proof of the butterfly theorem using the similarity factor of the two wings. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 337-338).
• Hung, T. Q. (2016). Another synthetic proof of the butterfly theorem using the midline in triangle. In Forum Geometricorum (Vol. 16, ss. 345-346).
• Krishna, Dasari. (2017). Another New Proof of the Butterfly Theorem. International journal of mathematics and its applications. 5. ss. 1-55.
• Nguyen, N. P. (2020). On Generalizations of the Butterfly Theorem. arXiv preprint arXiv:2001.07201.