Kesişen kirişler teoremi

Kesişen kirişler teoremi veya sadece kiriş teoremi, bir çember içinde kesişen iki kiriş tarafından oluşturulan dört doğru parçasının ilişkisini tanımlayan temel geometrideki bir ifadedir. Her bir kirişteki doğru parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu belirtir. Öklid'in Unsurlarının 3. kitabının 35. önermesidir.

Açıklama

Daha net olarak, bir $S$ noktasında kesişen iki kiriş $A C$ ve $B D$ için aşağıdaki denklem geçerlidir:

| A S | \cdot | S C | = | B S | \cdot | S D |

Bunun tersi de doğrudur, yani $S$ 'de kesişen iki doğru parçası $A C$ ve $B D$ için yukarıdaki denklem doğruysa, bu durumda dört uç nokta $A$ , $B$ , $C$ ve $D$ ortak bir çember üzerinde yer alır. Ya da başka bir deyişle, $A B C D$ dörtgeninin köşegenleri $S$ 'de kesişir ve yukarıdaki denklemi sağlanırsa bu bir kirişler dörtgenidir.

Kiriş teoremindeki iki çarpımın değeri sadece kesişme noktası $S$ 'nin çember merkezinden uzaklığına bağlıdır ve $S$ 'nin kuvvetinin mutlak değeri olarak adlandırılır, daha net olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

| A S | \cdot | S C | = | B S | \cdot | S D | = r^{2} - d^{2}

burada $r$ , çemberin yarıçapı ve $d$ , çemberin merkezi ile kesişme noktası $S$ arasındaki mesafedir. Bu özellik, doğrudan kiriş teoremini $S$ ve çemberin merkezi $M$ 'den geçen üçüncü bir kirişe uygulamaktan kaynaklanır (çizime bakın).

Teorem, benzer üçgenler kullanılarak (çevre açı teoremi aracılığıyla) kanıtlanabilir. $△ A S D$ ve $△ B S C$ üçgenlerinin açılarını düşünün:

\begin{matrix} ∠ A D S & = ∠ B C S (AB yayını gören çevre açılar) \\ ∠ D A S & = ∠ C B S (CD yayını gören çevre açılar) \\ ∠ A S D & = ∠ B S C (zıt açılar) \end{matrix}

Bu, $△ A S D$ ve $△ B S C$ üçgenlerinin benzer olduğu ve dolayısıyla,

\frac{A S}{S D} = \frac{B S}{S C} \Leftrightarrow | A S | \cdot | S C | = | B S | \cdot | S D |

Teğet-kesen teoremi ve kesişen sekantlar teoreminin yanında, kesişen kiriş teoremi, iki kesişen doğru ve bir çember hakkında daha genel bir teoremin üç temel durumundan birini temsil eder - noktanın kuvveti teoremini.

Kaynakça

Dış bağlantılar

Intersecting Chords Theorem Şablon:Webarşiv @ cut-the-knot.org
Intersecting Chords Theorem Şablon:Webarşiv @ proofwiki.org
Şablon:MathWorld
Geogebra'da iki etkileşimli animasyon: "Intersecting chord theorem" Şablon:Webarşiv ve "Intersecting Chords Theorem" Şablon:Webarşiv

Kesişen kirişler teoremi

Açıklama

Kaynakça

Dış bağlantılar

Gezinti menüsü

Ara