Kesişen kesenler teoremi

Şablon:Ortala

Kesişen kesen (sekant) teoremi veya sadece kesen (sekant) teoremi, kesişen iki sekant ve ilişkili çember tarafından oluşturulan doğru parçalarının ilişkisini açıklayan temel bir geometri teoremidir.

Açıklama

$P$'de birbiriyle kesişen iki $AD$ ve $BC$ doğrusu ve $B$ ile $C$'dekine karşılık gelen $A$ ile $D$'deki çember parçası (segment) için aşağıdaki denklem geçerlidir:

$|PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$

Teorem, $\mathrm{△}PAC$ ve $\mathrm{△}PBD$ üçgenlerinin benzer olduğu gerçeğini doğrudan takip eder. $AB$ yayını gören çevre açılar olduğundan $\mathrm{\angle }DPC$ ve $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }ACB$ açısını paylaşırlar. Benzerlik, yukarıda verilen teoremin denklemine eşdeğer olan oranlar için aşağıdaki gibi bir denklem verir:

$\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PD}\iff |PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$

Kesişen kirişler teoremi ve teğet-kesen teoreminin yanında, kesişen sekantlar teoremi, iki kesişen doğru ve bir çember hakkında daha genel bir teoremin üç temel durumundan birini temsil eder - noktanın kuvveti teoremini.

İspat

Kesişen Sekant Teoreminin Kanıtı:

(1) $\mathrm{\angle }EDC\cong \mathrm{\angle }CDE$ // Her iki üçgen için ortak açı, eşitliğin yansıma özelliği

(2) $\mathrm{\angle }PDB\cong \mathrm{\angle }PCA$ // Aynı yayı oluşturan (gören) çevre açılar eşittir

(3) $\mathrm{\angle }DBP\cong \mathrm{\angle }CAP$ // (1), (2), Üçgendeki açıların toplamı

(4) $\mathrm{△}PDB\sim \mathrm{△}PCA$ // AAA benzerliğinden

(5) $|PA|\cdot |PD|=|PB|\cdot |PC|$ // (4), benzer üçgenlerin özelliğinden oranlar içler dışlar çarpımı yapılarak nihai sonuç elde edilir.

Kaynakça

• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak

Dış bağlantılar

• Secant Secant Theorem Şablon:Webarşiv @ proofwiki.org
• Power of a Point Theorem Şablon:Webarşiv @ cut-the-knot.org
• Şablon:MathWorld