Batlamyus teoremi

Şablon:Ortala

Öklid geometrisinde, Batlamyus teoremi, bir kirişler dörtgeninin (köşeleri ortak bir daire üzerinde yer alan bir dörtgen) dört kenarı ile iki köşegeni arasındaki bir ilişkiyi gösteridir. Teorem, Yunan astronom ve matematikçi Batlamyus'un (Claudius Ptolemaeus) adını almıştır. Batlamyus, teoremi astronomiye uyguladığı trigonometrik bir tablo olan kirişler tablosunu oluşturmaya yardımcı olarak kullandı.

Kirişler dörtgenin köşeleri sırayla $A$, $B$, $C$ ve $D$ ise, teorem şunu belirtir:

$|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}|$

Burada dikey çizgiler (| |) ile gösterim, adlandırılmış köşeler arasındaki çizgi parçalarının uzunluklarını belirtmektedir. Geometri bağlamında, yukarıdaki eşitlik genellikle basitçe şöyle yazılır:

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$

Bu ilişki sözlü olarak şu şekilde ifade edilebilir:

Eğer bir dörtgen bir dairenin içine çizilebiliyorsa, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımı, karşıt kenarların çiftlerinin uzunluklarının çarpımlarının toplamına eşittir.

Dahası, Batlamyus teoreminin tersi de doğrudur:

Bir dörtgende, karşıt iki kenar çiftinin uzunluklarının çarpımlarının toplamı, köşegenlerinin uzunluklarının çarpımına eşitse, bu dörtgen bir daire içerisine çizilebilir, yani bir kirişler dörtgenidir.

Örnekler

Eşkenar üçgen

Şablon:Ortala

Batlamyus Teoremi, sonuç olarak daire içine çizilmiş bir eşkenar üçgene ilişkin güzel bir teoreme ulaşmamıza imkan verir.

Verilen: Bir daire üzerine çizilmiş bir eşkenar üçgen ve daire üzerinde bir nokta.

Noktadan üçgenin en uzak köşesine olan mesafe, noktadan daha yakın iki köşeye olan mesafelerin toplamıdır.

İspat: Hemen Batlamyus teoremini takip edersek:

$qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.$

Kare

Merkezi karenin merkezi olan bir daireye herhangi bir kare çizilebilir. Dört kenarının ortak uzunluğu $a$'ya eşitse daha sonra köşegenin uzunluğu $a\sqrt{2}$'ye eşittir. Pisagor teoremine göre ve bu ilişki açıkça geçerlidir.

Dikdörtgen

Şablon:Ortala

Daha genel olarak, eğer dörtgen, kenarları $a$ ve $b$ ve köşegenleri $d$ olan bir dikdörtgen verilirse, Batlamyus teoremi, Pisagor teoremine indirgenir. Bu durumda dairenin merkezi, köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Bu durumda, köşegenlerinin çarpımı $d^2$ olarak bulunur. Batlamyus eşitliğine göre sağ taraftaki toplam $a^2+b^2$'dir.

Trigonometrik çalışmasında Batlamyus'un teoremini yoğun bir şekilde kullanan Kopernik, bu sonuca bir 'Porizm' veya apaçık bir sonuç olarak atıfta bulunur:

Dahası, bir yayı oluşturan kiriş verildiğinde, yarım dairenin geri kalanını altta tutan kirişin de bulunabileceği açıktır (manifestum est).

Beşgen

Şablon:Ortala

Daha ilginç bir örnek, düzgün bir beşgendeki kenar uzunluğu $a$ ile 5 kirişin (ortak) uzunluğu $b$ arasındaki ilişkidir. Bu durumda $b^2=a^2+ab$ altın oranı veren ilişkidir:

$\phi =\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Ongenin kenarı

Şablon:Ortala

Şimdi çap $AF$, $DC$'yi ikiye bölerek çizilirse, böylece $DF$ ve $CF$, daire içine çizilen bir ongenin $c$ kenarlarıdır, Batlamyus teoremi tekrar uygulanırsa bu kez, köşegenlerinden biri olarak $d$ çapına sahip kirişler dörtgeni $ADFC$'ye:

$ad=2bc$

$\Rightarrow ad=2\phi ac$, burada $\phi$ altın orandır.

$\Rightarrow c=\frac{d}{2\phi }.$

böylece daire içine çizilen ongenin kenarı daire çapı cinsinden elde edilir. Dik üçgen $\mathrm{△}AFD$'ye uygulanan Pisagor teoremi, çap olarak $b$ uzunluğunu verir ve bundan sonra beşgenin kenarı $a$ olarak hesaplanır.

$a=\frac{b}{\phi }=b(\phi -1).$

Kopernik'in (Batlamyus'u izleyerek) yazdığı gibi,

"Verilen bir çemberin çapı, aynı çemberin çevrelediği üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen ve ongenin kenarları da verilmiştir."

İspatlar

Üçgenlerin benzerliği ile ispat

Şablon:Ortala

• $ABCD$ bir kirişler dörtgeni olsun.
• $BC$ kirişi üzerinde, çevre açıları $\mathrm{\angle }BAC$ = $\mathrm{\angle }BDC$ ve $AB$ üzerinde, $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }ACB$'dir.
• $AC$ üzerinde $K$ noktası $\mathrm{\angle }ABK=\mathrm{\angle }CBD$ olacak şekilde oluşturulursa; $\mathrm{\angle }ABK+\mathrm{\angle }CBK=\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }CBD+\mathrm{\angle }ABD$, $\mathrm{\angle }CBK=\mathrm{\angle }ABD$'dir.
• Şimdi, ortak açılardan $\mathrm{\Delta }ABK$, $\mathrm{\Delta }DBC$'ye benzer ve aynı şekilde $\mathrm{\Delta }ABD$ de $\mathrm{\Delta }KBC$'ye benzer.
• Böylece $\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{BD}$ ve $\frac{CK}{BC}=\frac{DA}{BD}$'dir; eşdeğer olarak, $AK\cdot BD=AB\cdot CD$ ve $CK\cdot BD=BC\cdot DA$'dır.
• İki eşitlik birbirine ekleyerek $AK\cdot BD+CK\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$ elde ederiz ve bunu çarpanlara ayırmak suretiyle $(AK+CK)\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$'yı elde ederiz.
• Ancak $AK+CK=AC$'dır, dolayısıyla $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$

QED

Yazıldığı şekliyle ispat yalnızca basit kirişler dörtgenleri için geçerlidir. Dörtgen kendi kendine kesişiyorsa $K$, $AC$ çizgi parçasının dışında yer alacaktır. Ancak bu durumda $AK-CK=\pm AC$, beklenen sonucu verir.

Trigonometrik özdeşliklerle ispat

$AB$, $BC$ ve $CD$ tarafından oluşturulan çevre açılar sırasıyla $\alpha$, $\beta$ ve $\gamma$ ve çemberin yarıçapı $R$ olsun. O zaman,

$AB=2R\sin \alpha$,

$BC=2R\sin \beta$,

$CD=2R\sin \gamma$,

$AD=2R\sin (180-(\alpha +\beta +\gamma ))$,

$AC=2R\sin (\alpha +\beta )$ ve

$BD=2R\sin (\beta +\gamma )$

olur ve kanıtlanacak orijinal eşitlik aşağıdaki hale dönüşür;

$\sin (\alpha +\beta )\sin (\beta +\gamma )=\sin \alpha \sin \gamma +\sin \beta \sin (\alpha +\beta +\gamma )$

denklemin her iki tarafı da $4R^2$ çarpanına bölünerek sadeleşti.

Şimdi toplam formüllerini kullanarak,

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ ve

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

Yukarıdaki denklemin her iki tarafının da eşit olduğunu göstermek basittir.

$\begin{array}{cc}& \sin \alpha \sin \beta \cos \beta \cos \gamma +\sin \alpha {\cos }^2\beta \sin \gamma \\ +& \cos \alpha {\sin }^2\beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \beta \sin \gamma .\end{array}$

Q.E.D

Evirtim ile ispat

Şablon:Ortala

$ABCD$'nin çevrel çemberi bir doğruya evirtildiğine (şekle bakın) göre merkezi $D$ olan yardımcı bir $\mathrm{\Gamma }$ dairesi seçin. Sonra $A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }$ olur. Genelliği kaybetmeden $\mathrm{\Gamma }$'nin yarıçapını $1$ alalım. Sonra $A^{\prime }{B}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$ ve $A^{\prime }{C}^{\prime }$ sırasıyla aşağıdaki şekilde ifade edilebilir;

$\frac{AB\cdot D{B}^{\prime }}{DA}$, $\frac{BC\cdot D{B}^{\prime }}{DC}$, $\frac{AC\cdot D{C}^{\prime }}{DA}$

Önceki ilişkiyi $\frac{DA\cdot DC}{D{B}^{\prime }}$ ile çarpar ve $\frac{D{C}^{\prime }}{D{B}^{\prime }}=\frac{DB}{DC}$ eşitliğini kullanırsak Batlamyus'un eşitliğini elde ederiz.

Q.E.D.

Dörtgen kirişler dörtgeni değilse, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ ve $C^{\prime }$'nün bir üçgen oluşturduğuna ve dolayısıyla $A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }>A^{\prime }{C}^{\prime }$ olduğuna dikkat edin, bize aşağıda sunulan Batlamyus Eşitsizliğinin çok basit bir kanıtı verir.

Karmaşık sayılar kullanarak ispat

ABCD $ℂ$'de bir daire etrafında saat yönünde $A\mapsto z_A,\dots ,D\mapsto z_D$ $z_A,\dots ,z_D\in ℂ$ olacak şekilde düzenlensin. Karmaşık bir sayının kutupsal formundan $z=|z|e^{i\arg (z)}$ yazılabilir. Buradan da,

$\mathrm{\angle }ABC=\arg (z_C-z_B)-\arg (z_A-z_B)(\mathrm{mod}2\pi ),$ ve

$\mathrm{\angle }CDA=\arg (z_A-z_D)-\arg (z_C-z_D)(\mathrm{mod}2\pi )$ elde edilir.

Kirişler dörtgeni içindeki zıt açılar toplamı $\pi$ olduğundan,

$\begin{array}{cc}0& =\pi +\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }CDA(\mathrm{mod}2\pi )\\ & =\arg (-1)+[\arg (z_C-z_B)-\arg (z_A-z_B)]+[\arg (z_A-z_D)-\arg (z_C-z_D)](\mathrm{mod}2\pi )\\ & =\arg [(z_A-z_D)(z_B-z_C)]-\arg [(z_A-z_B)(z_C-z_D)].\end{array}$

Bu nedenle, $\phi =-\arg [(z_A-z_B)(z_C-z_D)]=-\arg [(z_A-z_D)(z_B-z_C)],$ Böylece

$|(z_A-z_B)(z_C-z_D)|=(z_A-z_B)(z_C-z_D)e^{i\phi },$ ve

$|(z_A-z_D)(z_B-z_C)|=(z_A-z_D)(z_B-z_C)e^{i\phi }$ olur.

Dolayısıyla,

$\begin{array}{cc}\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{AD}\cdot \overline{BC}& =|z_A-z_B||z_C-z_D|+|z_A-z_D||z_B-z_C|\\ & =|(z_A-z_B)(z_C-z_D)|+|(z_A-z_D)(z_B-z_C)|\\ & =(z_A-z_B)(z_C-z_D)e^{i\phi }+(z_A-z_D)(z_B-z_C)e^{i\phi }\\ & =(z_A-z_C)(z_B-z_D)e^{i\phi }\\ & =|(z_A-z_C)(z_B-z_D)e^{i\phi }|\\ & =|z_A-z_C\left|\right|z_B-z_D|\left|e^{i\phi }\right|\\ & =\overline{AC}\cdot \overline{BD}\end{array}$'dir.

Burada üçüncü ila son eşitlik, niceliğin zaten gerçek ve pozitif olduğu gerçeğinden kaynaklanır. Q.E.D.

Sonuçlar

Şablon:Ortala

Şablon:Ortala

Birim çaplı bir dairede olması durumunda, herhangi bir $ABCD$ kirişler dörtgeninin kenarları $S_1,S_2,S_3,S_4$, bu kenarlar tarafından oluşturulan ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ ve ${\theta }_4$ açıların sinüslerine sayısal olarak eşittir. Benzer şekilde, köşegenler, hangi açı çiftini oluşturursa oluştursunlar, sinüslerinin toplamının eşittir. Daha sonra Batlamyus Teoremini aşağıdaki trigonometrik biçimde yazabiliriz:

$\sin {\theta }_1\sin {\theta }_3+\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4=\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\sin ({\theta }_1+{\theta }_4)$

Oluşturulan ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$ ve ${\theta }_4$açılarına belirli koşulları uyguladığımızda, yukarıdakileri başlangıç noktamız olarak kullanarak bir dizi önemli sonuç çıkarmak mümkündür. Aşağıdakilerde, açıların toplamının ${\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3+{\theta }_4=180^{\circ }$ olduğunu akılda bulundurmak faydalı olacaktır.

Sonuç 1. Pisagor teoremi

${\theta }_1={\theta }_3$ ve ${\theta }_2={\theta }_4$ olsun. Sonra ${\theta }_1+{\theta }_2={\theta }_3+{\theta }_4=90^{\circ }$ (çünkü kirişler dörtgeninin zıt açıları bütünlerdir). Ardından: $\sin {\theta }_1\sin {\theta }_3+\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4=\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\sin ({\theta }_1+{\theta }_4)$

${\sin }^2{\theta }_1+{\sin }^2{\theta }_2={\sin }^2({\theta }_1+{\theta }_2)$

${\sin }^2{\theta }_1+{\cos }^2{\theta }_1=1$

Sonuç 2. Kosinüs yasası

Şablon:Ortala

${\theta }_2={\theta }_4$ olsun. Sonuç 1'in dikdörtgeni şimdi eşit köşegenlere ve bir çift eşit kenara sahip simetrik bir yamuktur. Paralel kenarların uzunlukları $2x$ birim farklılık gösterir. Burada:

$x=S_2\cos ({\theta }_2+{\theta }_3)$

olup, bu durumda Batlamyus teoreminin standart ifadesine dönmek daha kolay olacaktır:

$\begin{array}{c}{S}_1{S}_3+S_2{S}_4=\overline{AC}\cdot \overline{BD}\\ \Rightarrow S_1{S}_3+{S_2}^2={\overline{AC}}^2\\ \Rightarrow S_1[S_1-2S_2\cos ({\theta }_2+{\theta }_3)]+{S_2}^2={\overline{AC}}^2\\ \Rightarrow {S_1}^2+{S_2}^2-2S_1{S}_2\cos ({\theta }_2+{\theta }_3)={\overline{AC}}^2\end{array}$

ABC üçgeninin kosinüs kuralı.

Sonuç 3. Sinüs toplam formülü

${\theta }_1+{\theta }_2={\theta }_3+{\theta }_4=90^{\circ }$ olsun.

Sonra

$\sin {\theta }_1\sin {\theta }_3+\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4=\sin ({\theta }_3+{\theta }_2)\sin ({\theta }_3+{\theta }_4)$

Bu nedenle,

$\cos {\theta }_2\sin {\theta }_3+\sin {\theta }_2\cos {\theta }_3=\sin ({\theta }_3+{\theta }_2)\times 1$

Sinüs toplam formülü elde edilir.

Sonuç 4. Sinüs fark formülü

${\theta }_1=90^{\circ }$ olsun. Sonra,

${\theta }_2+({\theta }_3+{\theta }_4)=90^{\circ }$.

Dolayısıyla,

$\sin {\theta }_1\sin {\theta }_3+\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4=\sin ({\theta }_3+{\theta }_2)\sin ({\theta }_3+{\theta }_4)$

$\sin {\theta }_3+\sin {\theta }_2\cos ({\theta }_2+{\theta }_3)=\sin ({\theta }_3+{\theta }_2)\cos {\theta }_2$

$\sin {\theta }_3=\sin ({\theta }_3+{\theta }_2)\cos {\theta }_2-\cos ({\theta }_2+{\theta }_3)\sin {\theta }_2$

Sinüs fark formülü elde edilir.

Bu türetme, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Üçüncü Teoreme karşılık gelir. Özellikle, bir beşgenin (çevresindeki dairede 36° ile oluşturulan) ve bir altıgenin (çevresindeki dairede 30° ile oluşturulan) kenarları verilirse, 6° ile oluşturulan bir kiriş hesaplanabilir. Bu, kiriş tablolarını hesaplamanın eski yönteminde kritik bir adımdı.

Sonuç 5. Kosinüs toplam formülü

Bu sonuç, Batlamyus'un Almagest'te ardından Kopernik tarafından tarihte kayıt altına alınan Beşinci Teoremin özüdür.

${\theta }_3=90^{\circ }$ olsun. Sonra${\theta }_1+({\theta }_2+{\theta }_4)=90^{\circ }$. Bu nedenle

$\sin {\theta }_1\sin {\theta }_3+\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4=\sin ({\theta }_3+{\theta }_2)\sin ({\theta }_3+{\theta }_4)$

$\cos ({\theta }_2+{\theta }_4)+\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4=\cos {\theta }_2\cos {\theta }_4$

$\cos ({\theta }_2+{\theta }_4)=\cos {\theta }_2\cos {\theta }_4-\sin {\theta }_2\sin {\theta }_4$

Kosinüs toplam formülü elde edilir.

Modern trigonometrik notasyonumuzun becerisinden yoksun olmasına rağmen, yukarıdaki sonuçlardan, Batlamyus teoreminde (veya daha basitçe İkinci Teoremde) antik dünyanın emrinde son derece esnek ve güçlü bir trigonometrik araca sahip olduğu anlaşılmalıdır. Doğru kiriş tabloları (sinüs tablolarına karşılık gelen) hazırlamak ve bunları kozmosu gördükleri gibi anlama ve haritalama girişimlerinde kullanmak için. Kiriş tabloları Hipparchus tarafından Batlamyus'tan üç yüzyıl önce hazırlandığı için, 'İkinci Teorem'i ve türevlerini bildiğini varsaymalıyız. Eski gök bilimcilerin izinden giden tarih, İskenderiyeli Timocharis'in yıldız kataloğunu kaydeder. Muhtemel göründüğü gibi, bu tür katalogların derlenmesi 'İkinci Teorem'in anlaşılmasını gerektiriyorsa, o zaman ikincisinin gerçek kökenleri daha sonra antik çağın sisleri arasında kaybolur, ancak eski Mısırın gök bilimcilerin, mimarların ve inşaat mühendislerinin bu konuda biraz bilgi sahibi olduğunu varsaymak mantıksız olamaz.

Batlamyus eşitsizliği

Şablon:Ortala

Batlamyus teoremindeki denklem, kirişler dörtgeni olmayan dörtgenlerde asla doğru değildir. Batlamyus eşitsizliği bu gerçeğin bir uzantısıdır ve Batlamyus teoreminin daha genel bir biçimidir. Bir $ABCD$ dörtgeni verildiğinde,

$\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA}\ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}$

burada eşitlik, ancak ve ancak dörtgen kirişler dörtgeni ise geçerlidir. Bu özel durum, Batlamyus teoremine eşdeğerdir.

İkinci Batlamyus teoremi

$\frac{AC}{BD}=\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}$

Batlamyus teoremi, kenarları bilinen bir kirişler dörtgeninin köşegenlerin çarpımını verir. Yukarıdaki özdeşlik ise oranlarını verir.

İspat : Bir çevrel çember içine çizilen $ABC$ üçgenin alanı, $R$ çap olmak üzere:$𝒜=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}$'dir.

Dörtgenin alanını aynı çevrel çemberi paylaşan iki üçgenin toplamı olarak yazdığımızda, her ayrışma için iki ilişki elde ederiz.

${𝒜}_{\text{top}}=\frac{AB\cdot BC\cdot CA}{4R}+\frac{CD\cdot DA\cdot AC}{4R}=\frac{AC\cdot (AB\cdot BC+CD\cdot DA)}{4R}$

${𝒜}_{\text{top}}=\frac{AB\cdot BD\cdot DA}{4R}+\frac{BC\cdot CD\cdot DB}{4R}=\frac{BD\cdot (AB\cdot DA+BC\cdot CD)}{4R}$

Denkleştirerek, açıklanan formülü elde ederiz.

Sonuç : Köşegenlerin hem çarpımını hem de oranını bildiğimizde, bunların anlık ifadelerini çıkarıyoruz:

$\begin{array}{cc}A{C}^2& =AC\cdot BD\cdot \frac{AC}{BD}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA)\frac{AB\cdot DA+BC\cdot CD}{AB\cdot BC+DA\cdot CD}\\ B{D}^2& =\frac{AC\cdot BD}{\frac{AC}{BD}}=(AB\cdot CD+BC\cdot DA)\frac{AB\cdot BC+DA\cdot CD}{AB\cdot DA+BC\cdot CD}\end{array}$

Ayrıca bakınız

• Casey teoremi
• Yunan matematiği

Kaynakça

• Coxeter, HSM ve SL Greitzer (1967) "Ptolemy Teoremi ve Uzantıları." Geometry Revisited içinde §2.6, Mathematical Association of America s. 42–43.
• Copernicus (1543) De Revolutionibus Orbium Coelestium, Stephen Hawking, Penguin Books tarafından düzenlenen On the Shoulders of Giants'da (2002) bulunan İngilizce çevirisiŞablon:ISBN
• Şablon:Kaynak

Dış bağlantılar

• Şablon:Kaynak
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:MathWorld
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı

Konuyla ilgili yayınlar

• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak