Casey teoremi

Matematikte, genelleştirilmiş Batlamyus teoremi olarak da bilinen Casey teoremi, adını İrlandalı matematikçi John Casey^[1]'den alan Öklid geometrisindeki bir teoremdir.

Teoremin formülasyonu

$O$ , yarıçapı $R$ olan bir çember olsun. $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ (sırasıyla) $O$ içinde yer alan kesişmeyen ve $O$ 'ya teğet olan dört çember olsun. $t_{i j}$ , $O_{i}, O_{j}$ $O_{i}, O_{j}$ çemberlerin dış ortak çifte teğet (bitanjant)'inin uzunluğunu göstersin. Buna göre:^[2] $t_{12} \cdot t_{34} + t_{14} \cdot t_{23} = t_{13} \cdot t_{24}$ .

Dört çemberin hepsinin noktalara indirgendiği dejenere durumda, bunun tam olarak Batlamyus teoremi olduğuna dikkat edin.

İspat

Aşağıdaki kanıt Zacharias'a^[3] atfedilebilir.^[4] $O_{i}$ çemberinin yarıçapını $R_{i}$ ile belirtelim ve çember ile teğet noktasını da $K_{i}$ ile gösterelim. Çemberlerinin merkezleri için $O, O_{i}$ gösterimini kullanacağız. Pisagor teoreminden,

t_{i j}^{2} = \overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} - (R_{i} - R_{j})^{2} .

Bu uzunluğu, $K_{i}, K_{j}$ türünden ifade etmeye çalışacağız . $O_{i} O O_{j}$ üçgende kosinüs yasasına göre,

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = \overset{2}{\overline{O O_{i}}} + \overset{2}{\overline{O O_{j}}} - 2 \overline{O O_{i}} \cdot \overline{O O_{j}} \cdot \cos ∠ O_{i} O O_{j}

$O, O_{i}$ çemberleri birbirine teğet olduğundan:

\overline{O O_{i}} = R - R_{i}, ∠ O_{i} O O_{j} = ∠ K_{i} O K_{j}

$C$ , $O$ çemberinin üzerindeki bir nokta olsun. $K_{i} C K_{j}$ üçgeninde sinüs yasasına göre:

\overline{K_{i} K_{j}} = 2 R \cdot \sin ∠ K_{i} C K_{j} = 2 R \cdot \sin \frac{∠ K_{i} O K_{j}}{2}

Bu nedenle,

\cos ∠ K_{i} O K_{j} = 1 - 2 \sin^{2} \frac{∠ K_{i} O K_{j}}{2} = 1 - 2 \cdot {(\frac{\overline{K_{i} K_{j}}}{2 R})}^{2} = 1 - \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{2 R^{2}}

ve bunları yukarıdaki formülde yerine koyarsak:

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = (R - R_{i})^{2} + (R - R_{j})^{2} - 2 (R - R_{i}) (R - R_{j}) (1 - \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{2 R^{2}})

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = (R - R_{i})^{2} + (R - R_{j})^{2} - 2 (R - R_{i}) (R - R_{j}) + (R - R_{i}) (R - R_{j}) \cdot \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{R^{2}}

\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} = ((R - R_{i}) - (R - R_{j}))^{2} + (R - R_{i}) (R - R_{j}) \cdot \frac{\overset{2}{\overline{K_{i} K_{j}}}}{R^{2}}

Ve son olarak, aradığımız uzunluk;

t_{i j} = \sqrt{\overset{2}{\overline{O_{i} O_{j}}} - (R_{i} - R_{j})^{2}} = \frac{\sqrt{R - R_{i}} \cdot \sqrt{R - R_{j}} \cdot \overline{K_{i} K_{j}}}{R}

$K_{1} K_{2} K_{3} K_{4}$ kirişler dörtgenine uygulanan orijinal Batlamyus teoreminin yardımıyla artık sol tarafı hesaplayabiliriz:

\begin{matrix} t_{12} t_{34} + t_{14} t_{23} \\ = & \frac{1}{R^{2}} \cdot \sqrt{R - R_{1}} \sqrt{R - R_{2}} \sqrt{R - R_{3}} \sqrt{R - R_{4}} (\overline{K_{1} K_{2}} \cdot \overline{K_{3} K_{4}} + \overline{K_{1} K_{4}} \cdot \overline{K_{2} K_{3}}) \\ = & \frac{1}{R^{2}} \cdot \sqrt{R - R_{1}} \sqrt{R - R_{2}} \sqrt{R - R_{3}} \sqrt{R - R_{4}} (\overline{K_{1} K_{3}} \cdot \overline{K_{2} K_{4}}) \\ = & t_{13} t_{24} \end{matrix}

Diğer genellemeler

Görülebileceği gibi, dört çemberin büyük çemberin içinde olması gerekmiyor. Aslında, ona dışarıdan da teğet olabilirler. Bu durumda aşağıdaki değişiklik yapılmalıdır:^[5]

Eğer $O_{i}, O_{j}$ , ikisi de $O$ 'nun aynı tarafından teğetse (her ikisi de içeriden veya her ikisi de dışarıdan), $t_{i j}$ dış ortak teğetin uzunluğudur.

Eğer $O_{i}, O_{j}$ , $O$ 'ya farklı yönlerden teğetse (biri içeriden ve biri dışarıdan), $t_{i j}$ iç ortak teğetin uzunluğudur.

Casey teoreminin tersi de doğrudur.^[5] Yani, eşitlik geçerliyse, çemberler ortak bir çembere teğettir.

Uygulamalar

Casey teoremi ve tersi, Öklid geometrisindeki çeşitli ifadeleri kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, Feuerbach teoreminin bilinen en kısa kanıtı^[2] Şablon:Rp Casey teoreminin tersini kullanır.

Notlar

Şablon:Kaynakça

Dış bağlantılar

İlave okumalar

Şablon:Web kaynağı
Şablon:Web kaynağı
Abrosimov, Nikolay & Mikaiylova, Liudmila. (2015). Casey's theorem in hyperbolic geometry. Siberian Electronic Mathematical Reports. 12. ss. 354-360. 10.17377/semi.2015.12.029.
Abrosimov, N.V., Aseev, V.V. Generalizations of Casey’s Theorem for Higher Dimensions. Lobachevskii J Math 39, 1–12 (2018). https://doi.org/10.1134/S199508021801002X
Şablon:Web kaynağı

Kaynakça

[1] Şablon:MacTutor Biography

[Cas-2] 2,0 ^2,1 Şablon:Akademik dergi kaynağı

[Zach-3] Şablon:Akademik dergi kaynağı

[Bot-4] Şablon:Kitap kaynağı

[John-5] 5,0 ^5,1 Şablon:Kitap kaynağı

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Casey teoremi

İçindekiler

Teoremin formülasyonu

İspat

Diğer genellemeler

Uygulamalar

Notlar

Dış bağlantılar

İlave okumalar

Kaynakça

Gezinti menüsü

Casey teoremi

Teoremin formülasyonu

İspat

Diğer genellemeler

Uygulamalar

Notlar

Dış bağlantılar

İlave okumalar

Kaynakça

Gezinti menüsü

Ara