Brahmagupta teoremi

Şablon:Ortala

Geometride, Brahmagupta teoremi, eğer bir kirişler dörtgeni ortodiyagonal ise (yani, dik köşegenlere sahipse), o zaman köşegenlerin kesişme noktasından bir kenara çizilen dikmenin karşı kenarı daima ikiye böldüğünü belirtir. Adını Hint matematikçi Brahmagupta'dan (598-668) almıştır.

Teoremin açıklaması

Daha spesifik olarak, $A$, $B$, $C$ ve $D$, $AC$ ve $BD$ doğrularının dik olacağı şekilde bir daire üzerinde dört nokta olsun. $AC$ ve $BD$'nin kesişme noktasını $M$ ile gösterilsin. '$M$den $BC$ doğrusuna dik çizilsin ve $E$ kesişme noktasına gelsin. $F$, $EM$ doğrusu ile $AD$ kenarının kesişim noktası olsun. Daha sonra teorem, $F$'nin $AD$ doğru parçasının orta noktası olduğunu belirtir.

Teoremin ispatı

Şablon:Ortala

$AF=FD$ olduğunu kanıtlamamız gerekiyor. Biz $AF$ ve $FD$'nin aslında $FM$'ye eşit olduklarını ispat edeceğiz.

$AF=FM$ olduğunu kanıtlamak için, önce $\mathrm{\angle }FAM$ ve $\mathrm{\angle }CBM$ açılarının eşit olduğuna dikkat edin, çünkü bunlar dairenin aynı yayını gören çevre açılardır. Ayrıca, $\mathrm{\angle }CBM$ ve $\mathrm{\angle }CME$ açılarının her ikisi de $\mathrm{\angle }BCM$ açısına tamamlayıcıdır (yani toplamları 90°'ye eşittir) ve bu nedenle her iki açı eşittirler. Son olarak, $\mathrm{\angle }CME$ ve $\mathrm{\angle }FMA$ açıları aynıdır. Dolayısıyla, $\mathrm{△}AFM$ bir ikizkenar üçgendir ve dolayısıyla $AF$ ve $FM$ kenarları eşittir.

$FD=FM$'nin benzer şekilde gittiğinin kanıtı: $\mathrm{\angle }FDM$, $\mathrm{\angle }BCM$, $\mathrm{\angle }BME$ ve $\mathrm{\angle }DMF$ açılarının tümü eşittir, bu nedenle $\mathrm{△}DFM$ bir ikizkenar üçgendir, dolayısıyla $FD=FM$'dir. Buradan teoremin iddia ettiği gibi $AF=FD$ olduğu görülebilir.

Ayrıca bakınız

• Kirişler dörtgeninin alanı için Brahmagupta formülü

Dış bağlantılar ve ilave okumalar

• Brahmagupta teoremi Şablon:Webarşiv @ Proofwiki
• Brahmagupta Teoremi Şablon:Webarşiv @ Cut-the-Knot
• Şablon:MathWorld
• Murthy, M. N. (2019). Brahmagupta’s theorem. At Right Angles, (5), 27.
• Kaye, G. R. (1919). Indian mathematics. Isis, 2(2), ss. 326-356.
• Dvorožňák, Marek & Pech, Pavel. (2009), Brahmagupta’s Theorem Automatic Computer Proof
• Askey R. (2010) Completing Brahmagupta’s Extension of Ptolemy’s Theorem. In: Alladi K., Klauder J., Rao C. (eds) The Legacy of Alladi Ramakrishnan in the Mathematical Sciences. Springer, New York, NY. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-6263-8_11
• Dashrath Kumar & Dr. Mrityunjay JhaA, (2019), Critical Study of Brahmagupta’s Theorems on Cyclic Quadrilateral Şablon:Webarşiv, JETIR, March 2019, Volume 6, Issue 3, Şablon:ISSN, ss. 383-384
• Richeson, A. (1930). An Extension of Brahmagupta's Theorem. American Journal of Mathematics, 52(2), ss. 425-438. doi:10.2307/2370695