AO-GO eşitsizliği

Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliği (veya daha sık kullanılan adıyla AGO eşitsizliği), cebirin eşitsizlikler alt dalında sıkça kullanılan bir eşitsizliktir.

AGO eşitsizliğinin n=2 için geometrik bir ispatı.

Eşitsizliğin formu

Klasik Form

AGO eşitsizliğinin en bilinen formu şudur:

$a_1,a_2,\cdots ,a_n$ pozitif reel sayıları için $\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}\ge \sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{a}_i}$ ............(1) olur.

Ağırlıklı AGO

Öte yandan bu eşitsizlikte i=1,2,...,n için $a_i=x_i{y}_i$ konulursa (her şey pozitifliğini koruyor) eşitsizlik

$\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i}{\sum _{i=1}^n{y}_i}\ge \sqrt[\sum _{i=1}^n{y}_i]{\prod _{i=1}^n{x}_i^{y_i}}$ .........(2) formunu alır.

İspatlar

Kuvvet Ortalaması

i=1,2,....,n için $x_1,...,x_n$ pozitif reel sayılar olsun. Bu reel sayılar için ise $K(p)=(\frac{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}{n}{)}^{1/p}$ fonksiyonu tanımlı olsun. Bu fonksiyonun p cinsinden türevinin pozitif olduğu temel düzey türev ile gösterilebilir. O halde $K(p)$ artandır, yani $p,q\in R$ için $p\ge q$ için $K(p)\ge K(q)$ olur ve eşitsizlik p=q durumunda veya dizideki tüm sayılar eşit olduğunda sağlanır.

p=1 için (1) eşitsizliğinin sol tarafı (yani aritmetik ortalama) elde edilir. Öte yandan q=0 için (1) denkleminin sağ tarafı (yani geometrik ortalama) elde edildiğini göstermek için ise ileri düzey kalkülüs teknikleri gerekir. Tüm bunlardan dolayı (1) eşitsizliği ispatlanmış olur ve eşitsizlik sadece $a_1=a_2=...=a_n$ için sağlanır.

Jensen eşitsizliği

Eşitsizliğin tanımı (sonlu biçim)

f gerçel değerli konveks bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun tanım kümesindeki $x_1,...,x_n$ noktaları ve toplamları bir olan pozitif $a_i$ için

$f(\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i)\le \sum _{i=1}^n{a}_{i}f(x_i)$

olur (ve konkav fonksiyonlar için işaret ters döner). Bu eşitsizlik Jensen eşitsizliğidir.

Eşitsizliğin kullanımı

$f(x)=lnx$ fonksiyonunu ele alalım.$f^{″}(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ olduğu için f(x) konkavdır, yani işaret ters döner.$a_i=1/n$ alınırsa

$ln(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n})\ge \frac{\sum _{i=1}^{n}ln(x_i)}{n}$

eşitsizliği elde edilir. Bir takım manipülasyonla ise (1) eşitsizliği elde edilir.

Dış bağlantılar

• https://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/161/articles/Riasat_BasicsOlympiadInequalities.pdf
• https://www.isinj.com/mt-usamo/Inequalities%20-%20Theorems,%20Techniques,%20and%20Selected%20Problems%20-%20Cvetkovski%20%20(Springer,%202011).pdf
• https://artofproblemsolving.com/articles/files/MildorfInequalities.pdf