Euler sayıları sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]]te '''Euler sayıları''', [[Taylor serisi]] açılımıyla tanımlanan bir ''E<sub>n</sub>'' tam sayı [[dizi]]sidir. {{OEIS|id=A122045}}.

:<math>\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n</math>

Burada <math>\cosh(t)</math>, [[Hiperbolik kosinüs|hiperbolik kosinüs fonksiyonudur]]. Euler sayıları, Euler [[polinom]]larının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:
:<math>E_n=2^nE_n(\tfrac 12)</math>

Euler sayıları, [[sekant]] ve [[Hiperbolik sekant|hiperbolik sekant fonksiyonlarının]] [[Taylor serisi]] açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki [[fonksiyon]]dur. Ayrıca [[kombinatorik]]lerde, özellikle [[Çift sayılar|çift sayıda]] elemanlı bir kümenin alternatif [[permütasyon]]larının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.

== Örnekler ==
[[Tek sayı|Tek]] indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. [[Çift sayı|Çift]] indeksli olanlar, {{OEIS|id=A028296}} değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:
:{|
|''E''<sub>0</sub> ||=||align=right| 1
|-
|''E''<sub>2</sub> ||=||align=right| −1
|-
|''E''<sub>4</sub> ||=||align=right| 5
|-
|''E''<sub>6</sub> ||=||align=right| −61
|-
|''E''<sub>8</sub> ||=||align=right| {{val|1385|fmt=gaps}}
|-
|''E''<sub>10</sub> ||=||align=right| -50 521
|-
|''E''<sub>12</sub> ||=||align=right| {{val|2,702,765}}
|-
|''E''<sub>14</sub> ||=||align=right| -199 360 981
|-
|''E''<sub>16</sub> ||=||align=right| {{val|19,391,512,145}}
|-
|''E''<sub>18</sub> ||=||align=right| -2 404 879 675 441
|}
Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip [[Tek sayılar|tek sayılı]] Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için [[dizi]]yi yeniden indekslemektedir {{OEIS|id=A000364}}. Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.

==Açık formüller==

=== İkinci tür Stirling sayıları ===
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür [[Stirling sayıları]] cinsinden ifade etmektedir.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |ad1=Sumit Kumar |soyadı1=Jha |başlık=A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number |dergi=Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory |cilt=8 |sayı=4 |sayfalar=385-387|yıl=2019 |url=https://projecteuclid.org/euclid.moscow/1572314455 |doi=10.2140/moscow.2019.8.389 |erişimtarihi=13 Temmuz 2021 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20200831003252/https://www.projecteuclid.org/euclid.moscow/1572314455 |arşivtarihi=31 Ağustos 2020 |ölüurl=hayır }}</ref><ref>{{Web kaynağı | url = https://osf.io/smw7h/ | başlık = A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind | soyadı = Jha | ad = Sumit Kumar | tarih = 15 Kasım 2019 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20191116074225/https://osf.io/smw7h/ | arşivtarihi = 16 Kasım 2019}}</ref>

:<math> E_{r}=2^{2r-1}\sum_{k=1}^{r}\frac{(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}\left(3\left(\frac{1}{4}\right)^{(k)}-\left(\frac{3}{4}\right)^{(k)}\right), </math>
:<math> E_{2l}=-4^{2l}\sum_{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot \frac{S(2l,k)}{k+1}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{(k)},</math>

Burada <math> S(r,k) </math> ikinci türden [[Stirling sayıları]]nı göstermektedir ve <math> x^{(n)}=(x)(x+1)\cdots (x+n-1) </math> yükselen [[faktöriyel]]ini ifade etmektedir.

===Çift toplam===
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.
:<math>E_{2k}=(2 k+1)\sum_{\ell=1}^{2k} (-1)^{\ell}\frac{1}{2^{\ell}(\ell +1)}\binom{2 k}{\ell}\sum _{q=0}^{\ell}\binom{\ell}{q}(2q-\ell)^{2k}, </math>
:<math>E_{2k}=\sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i} \frac{1}{2^{i}}\sum_{\ell=0}^{2i}(-1)^{\ell } \binom{2i}{\ell}(i-\ell)^{2k}. </math>

===Yinelemeli toplam===
Euler sayıları için açık bir [[formül]]:<ref>{{Web kaynağı | url = https://oeis.org/A000111/a000111.pdf | başlık = An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series | soyadı = Tang | ad = Ross | tarih = 11 Mayıs 2012 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20140409060145/https://oeis.org/A000111/a000111.pdf | arşivtarihi = 9 Nisan 2014}}
</ref>

:<math>E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k \binom{k}{j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k},</math>

Burada {{mvar|i}}, {{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}} ile hayali birimi göstermektedir.

===Bölümlerin toplamı===
Euler sayısı {{math|''E''<sub>2''n''</sub>}}, {{math|2''n''}}'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |ad1=David C. |soyadı1=Vella |başlık=Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers |dergi=Integers |cilt=8 |sayı=1 |sayfalar=A1|yıl=2008 |url=http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html |erişimtarihi=13 Temmuz 2021 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20090501150001/http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html |arşivtarihi=1 Mayıs 2009 |ölüurl=hayır }}</ref>

:<math>  E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n} \binom K {k_1, \ldots, k_n}
	\delta_{n,\sum mk_m}  \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2}
	\cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} ,</math>

{{math|2''n'' − 1}}'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,<ref>{{arXiv kaynağı | eprint=1103.1585 | first1= J. | last1=Malenfant | title=Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers| class= math.NT | year= 2011 }}</ref>

:<math> 	 E_{2n} =  (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
    \binom K {k_1, \ldots, k_n}
    \delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }   \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1}  \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
    \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n}  , </math>

Her iki durumda da {{math|''K'' {{=}} ''k''<sub>1</sub> + ··· + ''k<sub>n</sub>''}} ve
:<math> \binom K {k_1, \ldots, k_n}
          \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}</math>
çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki [[Kronecker deltası|Kronecker deltaları]], {{mvar|k}}s üzerindeki toplamları sırasıyla {{math|2''k''<sub>1</sub> + 4''k''<sub>2</sub> + ··· + 2''nk<sub>n</sub>'' {{=}} 2''n''}} ve {{math|''k''<sub>1</sub> + 3''k''<sub>2</sub> + ··· + (2''n'' − 1)''k<sub>n</sub>'' {{=}} 2''n'' − 1}}.

Örnek olarak,
:<math>
\begin{align}
E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!}
	- \frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\[6pt]
& = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!}
	+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\[6pt]
& = -50\,521.
\end{align}
</math>

===Determinant===
{{math|''E''<sub>2''n''</sub>}} [[determinant]] tarafından verilmektedir.

:<math>
\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}   \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                                                             \frac{1}{4!}&  \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                                                 \vdots & ~  &  \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                                               \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} &  1\\
                                                               \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots &  \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}
 </math>

===İntegral===
{{math|''E''<sub>2''n''</sub>}} ayrıca aşağıdaki [[integral]]lerle verilmektedir:
:<math>
\begin{align}
(-1)^n E_{2n} & = \int_0^\infty \frac{t^{2n}}{\cosh\frac{\pi t}2}\; dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1} \int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh x}\; dx\\[8pt]
&=\left(\frac2\pi\right)^{2n} \int_0^1\log^{2n}\left(\tan \frac{\pi t}{4} \right)\,dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1}\int_0^{\pi/2} \log^{2n}\left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx\\[8pt]
&= \frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \int_0^{\pi/2} x \log^{2n} (\tan x)\,dx = \left(\frac2\pi\right)^{2n+2} \int_0^\pi \frac{x}{2} \log^{2n} \left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx.\end{align}
 </math>

== Kongrüanslar ==
W. Zhang,<ref>{{Akademik dergi kaynağı |ad1=W.P. |soyadı1=Zhang |başlık=Some identities involving the Euler and the central factorial numbers |dergi=Fibonacci Quarterly |cilt=36 |sayı=4 |sayfalar=154-157|yıl=1998 |url=https://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/36-2/zhang.pdf |erişimtarihi=13 Temmuz 2021 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20210713115845/https://www.mathstat.dal.ca/FQ/Scanned/36-2/zhang.pdf |arşivtarihi=13 Temmuz 2021 |ölüurl=hayır }}</ref> herhangi bir [[Asal sayı|asal]] <math> p </math> için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.
:<math>
(-1)^{\frac{p-1}{2}} E_{p-1} \equiv \textstyle\begin{cases} 0 \mod p &\text{eğer }p\equiv 1\bmod 4; \\ -2 \mod p & \text{eğer }p\equiv 3\bmod 4. \end{cases}
</math>
W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir <math> p \equiv 1 \pmod{4} </math> asal ve <math> \alpha\geq 1 </math> tam sayı için,
:<math>  E_{\phi(p^{\alpha})/2}\not \equiv 0 \pmod{p^{\alpha}} </math>
burada <math>\phi(n)</math>, Euler'in [[totient]] işlevidir.

== Asimptotik yaklaşım ==

Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.

: <math> |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. </math>

== Euler zikzak sayıları ==
[[Taylor serisi]] <math>\sec x + \tan x = \tan\left(\frac\pi4 + \frac x2\right)</math>

:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_n}{n!}x^n</math>

{{mvar|A<sub>n</sub>}} ile başlayan Euler zikzak sayıları
:1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... {{OEIS|id=A000111}}

Hepsi için {{mvar|n}},
:<math>A_n = (-1)^\frac{n}{2} E_n</math>
burada {{mvar|''E<sub>n</sub>''}} Euler sayısıdır; ve tüm tek {{mvar|n}} için,
:<math>A_n = (-1)^\frac{n-1}{2}\frac{2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}</math>
{{mvar|''B<sub>n</sub>''}} [[Bernoulli sayısı]]dır.

Her ''n için'',
:<math>\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}+\sum_{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\sin{\left(\frac{m\pi}{2}\right)}=\frac{1}{(n-1)!}</math>

==Kaynakça==
{{Kaynakça}}

==Dış bağlantılar==
* {{springer|title=Euler numbers|id=p/e036540}}
* {{MathWorld|urlname=EulerNumber|title=Euler number}}

{{Leonhard Euler}}
{{Otorite kontrolü}}

{{DEFAULTSORT:Euler Number}}
[[Kategori:Leonhard Euler]]
[[Kategori:Tamsayı dizileri]]