Euler sayıları

Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir E_n tam sayı dizisidir. Şablon:OEIS.

$\frac{1}{\cosh t}=\frac{2}{e^t+e^{-t}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_n}{n!}\cdot t^n$

Burada $\cosh (t)$, hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:

$E_n=2^n{E}_n(\frac{1}{2})$

Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.

Örnekler

Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar, Şablon:OEIS değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	Şablon:Val
E10	=	-50 521
E12	=	Şablon:Val
E14	=	-199 360 981
E16	=	Şablon:Val
E18	=	-2 404 879 675 441

Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir Şablon:OEIS. Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.

Açık formüller

İkinci tür Stirling sayıları

Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.

$E_r=2^{2r-1}\sum _{k=1}^r\frac{(-1{)}^{k}S(r,k)}{k+1}(3{\left(\frac{1}{4}\right)}^{(k)}-{\left(\frac{3}{4}\right)}^{(k)}),$

$E_{2l}=-4^{2l}\sum _{k=1}^{2l}(-1{)}^k\cdot \frac{S(2l,k)}{k+1}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{(k)},$

Burada $S(r,k)$ ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve $x^{(n)}=(x)(x+1)\cdots (x+n-1)$ yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.

Çift toplam

Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.

$E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1{)}^{\ell }\frac{1}{2^{\ell }(\ell +1)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{\ell })\sum _{q=0}^{\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{\ell }{q})(2q-\ell {)}^{2k},$

$E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(-1{)}^i\frac{1}{2^i}\sum _{\ell =0}^{2i}(-1{)}^{\ell }(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{\ell })(i-\ell {)}^{2k}.$

Yinelemeli toplam

Euler sayıları için açık bir formül:

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})\frac{(-1{)}^j(k-2j{)}^{2n+1}}{2^k{i}^{k}k},$

Burada Şablon:Mvar, Şablon:Math ile hayali birimi göstermektedir.

Bölümlerin toplamı

Euler sayısı Şablon:Math, Şablon:Math'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.

$E_{2n}=(2n)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n}){\delta }_{n,\sum m{k}_m}{(-\frac{1}{2!})}^{k_1}{(-\frac{1}{4!})}^{k_2}\cdots {(-\frac{1}{(2n)!})}^{k_n},$

Şablon:Math'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,

$E_{2n}=(-1{)}^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\le k_1,\dots ,k_n\le 2n-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n}){\delta }_{2n-1,\sum (2m-1)k_m}{(-\frac{1}{1!})}^{k_1}{\left(\frac{1}{3!}\right)}^{k_2}\cdots {\left(\frac{(-1{)}^n}{(2n-1)!}\right)}^{k_n},$

Her iki durumda da Şablon:Math ve

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k_1,\dots ,k_n})\equiv \frac{K!}{k_1!\cdots k_n!}$

çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, Şablon:Mvars üzerindeki toplamları sırasıyla Şablon:Math ve Şablon:Math.

Örnek olarak,

$\begin{array}{cc}{E}_{10}& =10!(-\frac{1}{10!}+\frac{2}{2!8!}+\frac{2}{4!6!}-\frac{3}{2{!}^{2}6!}-\frac{3}{2!4{!}^2}+\frac{4}{2{!}^{3}4!}-\frac{1}{2{!}^5})\\ & =9!(-\frac{1}{9!}+\frac{3}{1{!}^{2}7!}+\frac{6}{1!3!5!}+\frac{1}{3{!}^3}-\frac{5}{1{!}^{4}5!}-\frac{10}{1{!}^{3}3{!}^2}+\frac{7}{1{!}^{6}3!}-\frac{1}{1{!}^9})\\ & =-50521.\end{array}$

Determinant

Şablon:Math determinant tarafından verilmektedir.

$\begin{array}{cc}{E}_{2n}& =(-1{)}^n(2n)!\left|\begin{array}{ccccc}\frac{1}{2!}& 1& & & \\ \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}& 1& & \\ ⋮& & \ddots & \ddots & \\ \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& & \frac{1}{2!}& 1\\ \frac{1}{(2n)!}& \frac{1}{(2n-2)!}& \cdots & \frac{1}{4!}& \frac{1}{2!}\end{array}\right|.\end{array}$

İntegral

Şablon:Math ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:

$\begin{array}{cc}(-1{)}^n{E}_{2n}& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{2n}}{\cosh \frac{\pi t}{2}}dt={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{2n}}{\cosh x}dx\\ & ={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\log }^{2n}(\tan \frac{\pi t}{4})dt={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+1}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\log }^{2n}(\tan \frac{x}{2})dx\\ & =\frac{2^{2n+3}}{{\pi }^{2n+2}}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}x{\log }^{2n}(\tan x)dx={\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{2n+2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{x}{2}{\log }^{2n}(\tan \frac{x}{2})dx.\end{array}$

Kongrüanslar

W. Zhang, herhangi bir asal $p$ için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.

$(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}{E}_{p-1}\equiv \{\begin{array}{cc}0modp& \text{eğer }p\equiv 1mod4;\\ -2modp& \text{eğer }p\equiv 3mod4.\end{array}$

W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ asal ve $\alpha \ge 1$ tam sayı için,

$E_{\varphi (p^{\alpha })/2}\equiv ̸0(\mathrm{mod}{p}^{\alpha })$

burada $\varphi (n)$, Euler'in totient işlevidir.

Asimptotik yaklaşım

Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.

$|E_{2n}|>8\sqrt{\frac{n}{\pi }}{\left(\frac{4n}{\pi e}\right)}^{2n}.$

Euler zikzak sayıları

Taylor serisi $\sec x+\tan x=\tan (\frac{\pi }{4}+\frac{x}{2})$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_n}{n!}{x}^n$

Şablon:Mvar ile başlayan Euler zikzak sayıları

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... Şablon:OEIS

Hepsi için Şablon:Mvar,

$A_n=(-1{)}^{\frac{n}{2}}{E}_n$

burada Şablon:Mvar Euler sayısıdır; ve tüm tek Şablon:Mvar için,

$A_n=(-1{)}^{\frac{n-1}{2}}\frac{2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}$

Şablon:Mvar Bernoulli sayısıdır.

Her n için,

$\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\sin \left(\frac{n\pi }{2}\right)+\sum _{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\sin \left(\frac{m\pi }{2}\right)=\frac{1}{(n-1)!}$

Dış bağlantılar

• Şablon:Springer
• Şablon:MathWorld