Determinant

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$ matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: $\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$.

Basit bir örnek olarak,

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

matrisinin determinantı şudur:

$\det A=ad-bc.$

Determinantın açık tanımı

Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:

$\det (A)=\sum _{j=1}^n{A}_{i,j}{C}_{i,j}=\sum _{j=1}^n{A}_{i,j}(-1{)}^{i+j}{M}_{i,j}$.

Determinant ve geometri

Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d) ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

Determinantın temel özellikleri

• Birim matrisin determinantı birdir:

$\left|\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|=1.$

• Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:

$\mathsf{det}\mathsf{(}𝖠𝖡\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖠\mathsf{)}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖡\mathsf{)}$.

• det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A⁻¹ tanımlıdır. Bu durumda:

$\mathsf{det}\mathsf{(}{𝖠}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}\mathsf{)}\mathsf{=}{(\det (A))}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}$.

• A ve B benzer matrisler olsun: $𝖠\mathsf{=}{𝖷}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}𝖡𝖷$ ve dönüşüm matrisi X in tersi ${𝖷}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}$ tanımlı olsun. Bu durumda:

$\mathsf{det}\mathsf{(}𝖠\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖷{\mathsf{)}}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖡𝖷\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖷{\mathsf{)}}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖡\mathsf{)}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖷\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖡\mathsf{)}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖷{\mathsf{)}}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖷\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖡\mathsf{)}$.

• Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:

$\mathsf{det}\mathsf{(}{𝖠}^{\mathrm{T}}\mathsf{)}\mathsf{=}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖠\mathsf{)}$.

• Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:

$\mathsf{det}\mathsf{(}\mathsf{\alpha }𝖠\mathsf{)}\mathsf{=}{\mathsf{\alpha }}^{𝗇}𝖽𝖾𝗍\mathsf{(}𝖠\mathsf{)}$.

Kalıp Matrisler (Blok matrisler)

Boyutları n×n, n×m, m×n ve m×m olan A, B, C ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, M'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

$\det \left(\begin{array}{cc}𝖠& 0\\ 𝖢& 𝖣\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cc}𝖠& 𝖡\\ 0& 𝖣\end{array}\right)=\mathsf{det}\mathsf{(}𝖠\mathsf{)}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖣\mathsf{)}.$

Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

$\left(\begin{array}{cc}𝖠& 𝖡\\ 𝖢& 𝖣\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}𝖠& 0\\ 𝖢& 𝖨\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}𝖨& {𝖠}^{-1}𝖡\\ 0& 𝖣\mathsf{-}𝖢{𝖠}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}𝖡\end{array}\right)$

denkliği yazılabilir ve buradan determinant

$\det \left(\begin{array}{cc}𝖠& 𝖡\\ 𝖢& 𝖣\end{array}\right)=\mathsf{det}\mathsf{(}𝖠\mathsf{)}\mathsf{det}\mathsf{(}𝖣\mathsf{-}𝖢{𝖠}^{\mathsf{-}\mathrm{𝟣}}𝖡\mathsf{)}.$

şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etmiş oluruz.

Ayrıca,

C ve D'nin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, $\det \left(\begin{array}{cc}𝖠& 𝖡\\ 𝖢& 𝖣\end{array}\right)=\mathsf{det}\mathsf{(}𝖠𝖣\mathsf{-}𝖡𝖢\mathsf{)}$.

A ve C'nin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, $\det \left(\begin{array}{cc}𝖠& 𝖡\\ 𝖢& 𝖣\end{array}\right)=\mathsf{det}\mathsf{(}𝖠𝖣\mathsf{-}𝖢𝖡\mathsf{)}$.

B ve D'nin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, $\det \left(\begin{array}{cc}𝖠& 𝖡\\ 𝖢& 𝖣\end{array}\right)=\mathsf{det}\mathsf{(}𝖣𝖠\mathsf{-}𝖡𝖢\mathsf{)}$.

A ve B'nin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, $\det \left(\begin{array}{cc}𝖠& 𝖡\\ 𝖢& 𝖣\end{array}\right)=\mathsf{det}\mathsf{(}𝖣𝖠\mathsf{-}𝖢𝖡\mathsf{)}$.

Notlar

• Bu sayfanın içeriği aynı adlı İngilizce makaleden alınmıştır: en:Wikipedia:Determinant