Küme sayfasının kaynağını görüntüle

{{dipnotsuz|tarih=Aralık 2020}}
'''Küme''', [[matematik]]te farklı nesnelerin topluluğu veya yığını olarak tanımlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırt edilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.

Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin [[öge]]leri veya [[eleman]]ları adı verilir. [[Güneş]], evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan nesne o kümenin içinde veya kümeye aittir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içinde ya da içinde değildir.

[[Dosya:Venn A intersect B.svg|sağ|küçükresim|İki kümenin ''kesişimi'' her iki kümede bulunan ortak ögelerden oluşur. [[Venn diyagramı]]nda gösterimi.]]

== Küme Kavramının Kökeni ==
[[Dosya:Passage with the set definition of Georg Cantor.png|küçükresim|Georg Cantor, küme teorisinin kurucularından biri olarak, ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre'' adlı eserinin başında şu tanımı vermiştir: Bir küme, algımızın veya düşüncemizin belirli, ayrık nesnelerini bir araya getirme - ki bunlara kümenin elemanları denir - işlemidir. Bu çeviride, Almancada "''Menge''" kelimesi "küme"(''aggregate'') olarak çevrilmiştir.]]

Küme kavramının matematiğe [[Georg Cantor]] (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. [[Georg Cantor]] kümeyi ''iyi tanımlanmış'' ve ''birbirinden farklı'' nesneler topluluğu olarak tanımlamaktadır.<ref>{{Kitap kaynağı|url=https://archive.org/details/georgcantorhisma0000daub|başlık=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite|yer=Boston|yayıncı=[[Harvard University Press]]|yıl=1979|ad=Joseph W.|soyadı=Dauben|isbn=0-691-02447-2}}</ref>  ''İyi tanımlanmış'' ile kastedilen, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan bir tanımdır.

Cantor'dan öncede, adına küme denilmese bile matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanırdı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Bu gelişmeler, matematiğe ve özellikle formalist akıma  20. yüzyılın ilk yarısında katkı verdi.

Almanca küme kelimesi "Menge", [[Bernard Bolzano]] tarafından ''[[Paradoxes of the Infinite]]'' adlı çalışmasında ortaya atıldı.<ref name="Ferreirós2007">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=TXRBwwEACAAJ|başlık=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics|tarih=16 Ağustos 2007|yayıncı=Birkhäuser Basel|isbn=978-3-7643-8349-7|author=José Ferreirós}}</ref><ref name="Russ2004">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=zp7cLQn0x3gC&pg=PR28|başlık=The Mathematical Works of Bernard Bolzano|tarih=9 Aralık 2004|yayıncı=OUP Oxford|isbn=978-0-19-151370-1|author=Steve Russ}}</ref><ref name="EwaldEwald1996">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=rykSDAAAQBAJ&pg=PA249|başlık=From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics|sayfa=249|yayıncı=OUP Oxford|yıl=1996|isbn=978-0-19-850535-8|yazar1=William Ewald|yazar2=William Bragg Ewald}}</ref><ref name="RusnockSebestík2019">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=-hqJDwAAQBAJ&pg=PA430|başlık=Bernard Bolzano: His Life and Work|tarih=25 Nisan 2019|sayfa=430|yayıncı=OUP Oxford|isbn=978-0-19-255683-7|yazar1=Paul Rusnock|yazar2=Jan Sebestík}}</ref>

Küme teorisinin kurucularından Georg Cantor, transfinit küme teorisi üzerine yazdığı ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre'' adlı çalışmasının başında şu tanımı verdi: {{Blockquote|Bir küme, algı veya düşüncemizin belirli, ayırt edilebilir nesnelerinin bir araya toplanmasıdır — ve bu nesnelere kümenin elemanları denir.}}

[[Bertrand Russell]], küme ve sınıf arasındaki ayrımı (bir küme bir sınıftır, ancak tüm kümelerin sınıfı gibi bazı sınıflar küme değildir; bkz. [[Russel paradoksu|Russell paradoksu]]) tanıttı:<ref>[[Bertrand Russell]] (1903) ''[[The Principles of Mathematics]]'', chapter VI: Classes</ref>{{Blockquote|Matematikçiler bir manifold, aggregate, Menge, ensemble veya benzeri bir isimle uğraştıklarında, özellikle ilgili terimlerin sayısı sonlu olduğunda, ilgili nesneyi (ki aslında bir sınıftır) terimlerinin numaralandırılmasıyla tanımlanmış olarak kabul etmek ve bu durumda bir tek terimden oluşabileceği göz önünde bulundurulur, bu durumda o tek terim sınıftır.}}

=== Sezgisel kümeler kuramı ===
Bir kümenin en önemli özelliği, elemanlara sahip olabilmesidir; bu elemanlar aynı zamanda üyeler olarak da adlandırılır. İki küme, aynı elemanlara sahip olduklarında eşittir. Daha kesin bir ifadeyle, ''A'' ve ''B'' kümeleri, ''A''<nowiki/>'nın her elemanı ''B''<nowiki/>'nin bir elemanıysa ve ''B''<nowiki/>'nin her elemanı da ''A''<nowiki/>'nın bir elemanıysa eşittir; bu özellik kümelerin genişletilebilirliği olarak adlandırılır.{{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/2/mode/2up 2]}}

Basit bir küme kavramı matematikte son derece faydalı olmuştur, ancak setlerin nasıl oluşturulabileceği konusunda herhangi bir kısıtlama olmadığında [[paradoks]]lar ortaya çıkar:

* [[Russel paradoksu|Russell paradoksu]], "kendilerini içermeyen tüm kümelerin kümesi"nin, yani {x | x bir küme ve x ∉ x}, var olamayacağını gösterir. 
* [[Cantor paradoksu]], "tüm kümelerin kümesi"nin var olamayacağını gösterir.

Sezgisel kümeler kuramı, bir kümenin [[iyi tanımlanmış]] farklı elemanların bir koleksiyonu olarak tanımlar, ancak "''iyi tanımlanmış''" teriminin belirsizliği nedeniyle sorunlar ortaya çıkar.

=== Aksiyomatik küme kuramı ===
Sezgisel küme teorisinin orijinal formülasyonundan bu yana, bu paradoksları çözmek için yapılan çabalarda, setlerin(küme) özellikleri [[aksiyom]]larla tanımlanmıştır. [[Aksiyomatik küme teorisi]], bir küme kavramını [[Ilkel kavram|ilkel bir kavram]] olarak ele alır.<ref name="Ferreiros2001">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=DITy0nsYQQoC|başlık=Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics|tarih=1 Kasım 2001|yayıncı=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-7643-5749-8|author=Jose Ferreiros}}</ref> Aksiyomların amacı, birinci dereceden mantığı kullanarak setlerle ilgili belirli [[Önerme|matematiksel önermelerin]] (ifadelerin) doğruluğunu veya yanlışlığını çıkarmak için temel bir çerçeve sağlamaktır. Ancak, [[Kurt Gödel|Gödel]]'in [[Eksiklik teoremi|eksiklik teoremlerine]] göre, [[birinci dereceden mantığı]] kullanarak herhangi bir aksiyomatik küme teorisinin paradoks içermeyen olduğunu kanıtlamak mümkün değildir.

== Kümeler nasıl tanımlanır ve küme gösterimi ==
Matematik metinlerinde, kümeler genellikle ''A, B, C'' gibi [[Büyük ve küçük harf|büyük harfl]]erle italik olarak gösterilir.<ref name="LipschutzLipson1997">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=6A5g3RiYiBUC&pg=PA1|başlık=Schaum's Outline of Discrete Mathematics|tarih=22 Haziran 1997|sayfa=1|yayıncı=McGraw Hill Professional|isbn=978-0-07-136841-4|yazar1=Seymor Lipschutz|yazar2=Marc Lipson}}</ref>{{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/n11/mode/2up 1]}} Bir küme, özellikle elemanları da set olan durumlarda, bir ''koleksiyon'' veya ''aile'' olarak da adlandırılabilir.<ref name=":1">{{Web kaynağı | url = https://www.mathsisfun.com/sets/sets-introduction.html | başlık = Introduction to Sets | erişimtarihi = 19 Ağustos 2020 | website = www.mathsisfun.com | arşivurl = https://web.archive.org/web/20060716000900/https://www.mathsisfun.com/sets/sets-introduction.html | arşivtarihi = 16 Temmuz 2006}}</ref>

=== Sıralı gösterim ===
'''Sıralı''' veya '''numaralı''' '''gösterim''', bir kümenin elemanlarını [[süslü parantez]]ler arasında virgülle ayrılarak listelemek suretiyle bir küme tanımlar:<ref name="Roberts2009">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=NjBLnLyE4jAC&pg=PA45|başlık=Introduction to Mathematical Proofs: A Transition|tarih=24 Haziran 2009|sayfa=45|yayıncı=CRC Press|isbn=978-1-4200-6956-3|author=Charles Roberts}}</ref><ref name="JohnsonJohnson2004">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=ZQAqzxLFXhoC&pg=PA220|başlık=Finite Mathematics: Practical Applications (Docutech Version)|tarih=June 2004|sayfa=220|yayıncı=W. H. Freeman|isbn=978-0-7167-6297-3|yazar1=David Johnson|yazar2=David B. Johnson|yazar3=Thomas A. Mowry}}</ref><ref name="BelloKaul2013">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=d8Se_8DWTQ4C&pg=PA47|başlık=Topics in Contemporary Mathematics|tarih=29 Ocak 2013|sayfa=47|yayıncı=Cengage Learning|isbn=978-1-133-10742-2|yazar1=Ignacio Bello|yazar2=Anton Kaul|yazar3=Jack R. Britton}}</ref><ref name="Epp2010">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=PPc_2qUhXrAC&pg=PA13|başlık=Discrete Mathematics with Applications|tarih=4 Ağustos 2010|sayfa=13|yayıncı=Cengage Learning|isbn=978-0-495-39132-6|author=Susanna S. Epp}}</ref>

<math>\Alpha=\{1, 2, 3, 4\}</math>

<math>B = \{al, ak, kara, boz\}</math>

Bir kümede, önemli olan her elemanın içinde olup olmadığıdır, bu nedenle sıralı gösterimde elemanların sıralaması önemsizdir (buna karşılık, bir [[dizi]]de, [[demet]]te veya bir kümenin [[permütasyon]]unda, terimlerin sıralaması önemlidir). Örneğin, {{Matematik|{2, 4, 6<nowiki>}</nowiki>}} ve {{Matematik|{7, 4, 8, 6<nowiki>}</nowiki>}}aynı kümeyi temsil eder.

Çok sayıda elemana sahip olan setler, özellikle örtük bir desene uyanlar, üyelerin listesi '...' işareti kullanılarak kısaltılabilir.<ref name="BastaDeLong2013">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=VUYLAAAAQBAJ&pg=PA3|başlık=Mathematics for Information Technology|tarih=1 Ocak 2013|sayfa=3|yayıncı=Cengage Learning|isbn=978-1-285-60843-3|yazar1=Alfred Basta|yazar2=Stephan DeLong|yazar3=Nadine Basta}}</ref><ref name="BrackenMiller2013">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=nFkrl_kDiTAC&pg=PA36|başlık=Elementary Algebra|tarih=15 Şubat 2013|sayfa=36|yayıncı=Cengage Learning|isbn=978-0-618-95134-5|yazar1=Laura Bracken|yazar2=Ed Miller}}</ref> Örneğin, ilk bin pozitif tam sayı kümesi, sıralı gösterimde aşağıdaki gibi belirtilebilir:

{{Matematik|{1, 2, 3, 4 ... 1000<nowiki>}</nowiki>}}

==== Sonsuz kümelerin sıralı gösterimi ====
[[Sonsuz küme|Sonsuz bir set(küme)]], sonsuz bir eleman listesine sahip olan bir kümedir. Sonsuz bir seti sıralı gösterimde tanımlamak için, listeyin sonuna veya her iki ucuna da noktalama işareti konur ve bu şekilde liste sonsuz bir şekilde devam ettiği ifade edilir. Örneğin, pozitif olmayan tam sayıların kümesi aşağıdaki gibi sıralı gösterimde tanımlanabilir:

{{Matematik|{0, 1, 2, 3, 4 ...<nowiki>}</nowiki>}}

ve tüm [[Tam sayı|tamsayı]]ların kümesi ise:

{{Matematik|{... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...<nowiki>}</nowiki>}}

=== Anlamsal tanım ===
Bir küme tanımlamanın başka bir yolu, elemanların neler olduğunu belirlemek için bir kural kullanmaktır:{{block indent|A, üyeleri ilk dört pozitif tamsayı olan bir küme olsun.}}{{block indent|B, Fransız bayrağının renklerinin kümesi olsun.}}

Bu tür bir tanım, bir anlamsal açıklama olarak adlandırılır.{{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/4/mode/2up 4]}}<ref name="Ruda20113">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=VV0SBwAAQBAJ&pg=PA151|başlık=Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right|tarih=6 Ekim 2011|sayfa=151|yayıncı=Bloomsbury Publishing|isbn=978-1-4411-7413-0|author=Frank Ruda}}</ref>

=== Küme oluşturucu(set-builder) gösterimi ===
Set-builder gösterimi, elemanlar üzerindeki bir koşula dayalı olarak daha büyük bir kümeden bir seçimi belirtir.<ref name="Ruda20113"/><ref name="Lucas19903">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=jklsb5JUgoQC&pg=PA108|başlık=Introduction to Abstract Mathematics|sayfa=108|yayıncı=Rowman & Littlefield|yıl=1990|isbn=978-0-912675-73-2|author=John F. Lucas}}</ref><ref>{{Web kaynağı | url = https://mathworld.wolfram.com/Set.html | başlık = Set | erişimtarihi = 19 Ağustos 2020 | dil = İngilizce | website = mathworld.wolfram.com | soyadı = Weisstein | ad = Eric W. | arşivurl = https://web.archive.org/web/20000301204044/https://mathworld.wolfram.com/Set.html | arşivtarihi = 1 Mart 2000}}</ref> Örneğin, F kümesi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Bir F kümesi, şu şekilde tanımlanabilir:

<math display="block">F = \{n \mid n \text{ bir tam sayı, ve } 0 \leq n \leq 19\}.</math>

Bu gösterimde, dikey çizgi "|" "şunu ki" anlamına gelir ve tanım, "F, n'nin 0 ile 19 (dahil) arasında bir tamsayı olduğu tüm n sayılarının kümesidir" şeklinde yorumlanabilir. Bazı yazarlar dikey çizgi yerine iki nokta üst üste ":" kullanır.<ref name="Steinlage1987">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=lcg3gY3444IC|başlık=College Algebra|yayıncı=West Publishing Company|yıl=1987|isbn=978-0-314-29531-6|author=Ralph C. Steinlage}}</ref>

=== Tanımlama yöntemlerinin sınıflandırılması ===
Felsefe, tanım türlerini sınıflandırmak için belirli terimler kullanır:

* Bir ''[[niyetsel tanım]]'', üyeliği belirlemek için bir kural kullanır. Anlamsal tanımlar ve set-builder gösterimi kullanan tanımlar buna örnek verilebilir. 
* Bir ''[[genişletici tanım]]'', bir küme hakkında tüm elemanlarını listeleyerek tanımlar.<ref name="Ruda20113"/> Bu tür tanımlar aynı zamanda sayım(enumerative) niteliğindedir. 
* Bir ''[[örnekleme tanımı]]'', bir küme hakkında örnekler vererek tanımlar; noktalama işaretleri içeren bir liste bunun bir örneğidir.

== Elemanı olma ==
Eğer B bir küme ve ''{{mvar|x}}'' ''B''<nowiki/>'nin bir elemanı ise, bu kısaltma şeklinde ''{{mvar|x}}'' ∈ ''B'' olarak yazılır ve aynı zamanda "''{{mvar|x}}'' ''B''<nowiki/>'ye aittir" veya "''{{mvar|x}}'' ''B''<nowiki/>'de bulunur" şeklinde okunabilir. {{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/2/mode/2up 2]}}"y ''B''<nowiki/>'nin bir elemanı değildir" ifadesi y ∉ ''B'' şeklinde yazılır ve aynı zamanda "y ''B''<nowiki/>'de değil" şeklinde okunabilir.<ref name="CapinskiKopp20042">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=jdnGYuh58YUC&pg=PA2|başlık=Measure, Integral and Probability|sayfa=2|yayıncı=Springer Science & Business Media|yıl=2004|isbn=978-1-85233-781-0|yazar1=Marek Capinski|yazar2=Peter E. Kopp}}</ref><ref>{{Web kaynağı | url = https://www.mathsisfun.com/sets/symbols.html | başlık = Set Symbols | erişimtarihi = 19 Ağustos 2020 | website = www.mathsisfun.com | arşivurl = https://web.archive.org/web/20150104192737/https://www.mathsisfun.com/sets/symbols.html | arşivtarihi = 4 Ocak 2015}}</ref>

Örneğin,<math>\Alpha=\{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>B = \{mavi, beyaz, kirmizi\}</math> ve <math display="block">F = \{n \mid n \text{ bir tam sayı, ve } 0 \leq n \leq 19\}.</math> kümelere göre,

4 ∈ ''A'' ve 12 ∈ ''F;'' 20 ∉ F ve yeşil∉ ''B''.

== Boş Küme ==
Hiçbir elemanı olmayan kümeye [[boş küme]] (veya null kümesi) denir ve hiçbir elemana sahip olmayan tek kümedir. Boş küme {{math|∅}}, <math>\emptyset</math>, {{math|ϕ}}, <math>\{</math> <math>\}</math> veya ''{{mvar|ϕ}}'' sembolleri ile gösterilir.

''Önemli Not:'' <math>\{\emptyset\}</math> kümesi, boş küme ifade etmemektedir. Bu küme bir elemana sahiptir.

== Birim(singleton) kümeler ==
Bir birim kümesi, tam olarak bir elemana sahip olan bir kümedir.<ref name="Stoll">{{Kitap kaynağı|url=https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol|başlık=Sets, Logic and Axiomatic Theories|sayfalar=[https://archive.org/details/setslogicaxiomat0000stol/page/5 5]|yayıncı=W. H. Freeman and Company|yıl=1974|isbn=9780716704577|soyadı=Stoll|ad=Robert|url-erişimi=kayıtlı}}</ref> Bu tür bir küme {x} şeklinde yazılabilir, burada ''x'' elemandır. {x} kümesi ve ''x'' elemanı farklı anlamlara gelir; Halmos,{{sfn|Halmos|1960|loc=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/4/mode/2up Sect.2]}} bir şapka içeren bir kutunun şapkayla aynı olmadığı benzetmesini çizer.

== Alt kümeler ==
Eğer kümenin ''A'' her elemanı aynı zamanda ''B'' kümesinde yer alıyorsa, ''A'' kümesi ''B''<nowiki/>'nin bir alt kümesi veya ''B'' içinde yer alan bir küme olarak tanımlanır.<ref name="Hausdorff2005">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=yvVIdH16k0YC&pg=PA30|başlık=Set Theory|sayfa=30|yayıncı=American Mathematical Soc.|yıl=2005|isbn=978-0-8218-3835-8|author=Felix Hausdorff}}</ref><ref name="Comninos2010">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=Kdb7-YnnOVwC&pg=PA7|başlık=Mathematical and Computer Programming Techniques for Computer Graphics|tarih=6 Nisan 2010|sayfa=7|yayıncı=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-84628-292-8|author=Peter Comninos}}</ref> Bu durumu ifade etmek için ''A'' ⊆ ''B'' veya ''B'' ⊇ ''A'' şeklinde yazılır. İkinci gösterim ''B'' ''A''<nowiki/>'yı içerir şeklinde okunabilir. ⊆ tarafından sağlanan kümeler arası ilişkiye dahil etme veya içermeyi denir. İki küme birbirlerini içerdiklerinde eşittirler: ''A'' ⊆ ''B'' ve B ⊆ ''A'', ''A'' = ''B'' ile eşdeğerdir.<ref name="Lucas19903"/>

Eğer A, B'nin bir alt kümesi ise ancak ''A'', ''B''<nowiki/>'ye eşit değilse, ''A'' ''B''<nowiki/>'nin bir gerçek alt kümesi olarak adlandırılır. Bu durum ''A'' ⊊ ''B'' şeklinde yazılabilir. Benzer şekilde, B ⊋ ''A'' B'nin bir gerçek üst kümesi anlamına gelir, yani ''B'' ''A''<nowiki/>'yı içerir ve ''A''<nowiki/>'ya eşit değildir.

Üçüncü çift ⊂ ve ⊃ operatörleri farklı yazarlar tarafından farklı şekillerde kullanılır: bazı yazarlar ''A'' ⊂ ''B'' ve ''B'' ⊃ ''A'' ifadesini A'nın B'nin herhangi bir alt kümesini temsil etmek için kullanırken diğerleri ''A'''nın yalnızca gerçek bir alt kümesi olduğu durumlar için ''A'' ⊂ ''B'' ve ''B'' ⊃ ''A'' kullanır.{{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/2/mode/2up 3]}}<ref name="CapinskiKopp20042"/>

Örnekler:

* Tüm insanlar kümesi, tüm memeliler kümesinin uygun bir alt kümesidir.
* {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
* {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

Boş küme, her kümenin bir alt kümesidir{{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/8/mode/2up 8]}} ve her küme kendisinin bir alt kümesidir:{{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/2/mode/2up 3]}}

* ∅ ⊆ A.
* A ⊆ A.

== Euler ve Venn diyagramları ==
[[Dosya:Venn A subset B.svg|küçükresim|upright=0.68|A, B'nin bir alt kümesidir. B, A'nın bir üst kümesidir.]]

Bir [[Euler diyagramı]], bir küme koleksiyonunun grafiksel bir temsilidir; her bir küme, içindeki elemanlarıyla birlikte bir döngü tarafından çevrili bir düzlem bölgesi olarak gösterilir. Eğer ''{{mvar|A}}'', B'nin bir alt kümesi ise, ''{{mvar|A}}''<nowiki/>'yı temsil eden bölge, ''{{mvar|B}}''<nowiki/>'yi temsil eden bölgenin tamamen içinde yer alır. İki kümenin ortak elemanı yoksa, bölgeler birbirleriyle örtüşmez.

Buna karşılık, bir Venn diyagramı, n kümenin grafiksel bir temsilidir ve n döngü düzlemi, seçilen n kümenin her biri için (belki hepsi veya hiçbiri), seçilen kümelere ait olan ve diğerlerine ait olmayan elemanlar için bir bölge olacak şekilde düzlemi 2n bölgeye böler. Örneğin, küme ''{{mvar|A}}'', ''{{mvar|B}}'' ve ''{{mvar|C}}'' ise, ''{{mvar|A}}'' ve ''{{mvar|C}}'' içinde bulunan ve ''{{mvar|B}}''<nowiki/>'nin dışında olan elemanlar için bir bölge olmalıdır (böyle elemanlar olmasa bile).

== Küme Kavramları ==

* Eğer ''a'' elemanı A kümesine aitse bu ifade <math>a\in A</math> olarak; ait değilse <math>a\not\in A</math> biçiminde göstermektedir.
* A kümesinin eleman sayısı belirtilirken '''''s(A)''''' veya '''''m(A)''''' ifadesi kullanılmaktadır.
* A ile B'nin kesişimi <math>A\cap B</math> şeklinde gösterilmektedir.
* A ile B'nin birleşimi <math>A\cup B</math> şeklinde gösterilmektedir.
* A'nın B'den farkı <math>A/ B</math>, B'nin A'dan farkı <math>B/A</math> olarak gösterilmektedir.
* Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa <math>A\subseteq B</math> (A,B'nin alt kümesidir.) veya <math>B\supseteq A</math> (B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılmaktadır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılmaktadır.
* Hiçbir ögesi bulunmayan kümeye ''boş küme'' denir. Boş küme, <math>\{</math> <math>\}</math> ya da <math>\emptyset</math> şeklinde gösterilmektedir. Boş küme, bütün kümelerin alt kümesidir.
* Bütün kümeleri kapsayan kümeye ''evrensel küme'' denir. Evrensel küme <math>\Epsilon</math> şeklinde gösterilir.
* Eğer <math>s(A)\equiv s(B)</math> ise A, B kümesine denktir. Eğer A ve B kümelerinin elemanları aynıysa <math>(A=B)</math>, hiçbir elemanları aynı değilse ayrık küme <math>(A\neq B)</math> olurlar.
* <math>\Epsilon</math> kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken, bu elemanlar ''A'nın tümleyeni'' <math>(A^' , A^-) </math> kümesinde toplanır. A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi olarak gösterilir.

== Kümelerin Gösterimi ==
[[Dosya:Venn şeması örneği.jpg|orjinal|sol|Venn Şeması Örneği]]Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.
*''Liste Yöntemi:'' Kümenin elemanları <math>\{</math> <math>\}</math> sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. Örneğin, <math>A = \{a, b, \{a, b, c\}\}</math> ise, <math>s(A)=3</math> tür.
*''Ortak özellik yöntemi:'' Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. <math>A = \{x : ... \}</math> Burada "<math>x:</math>" ifadesi "''öyle x'lerden oluşur ki''" diye okunur. Bu ifade <math>\{x |... \}</math> biçiminde de yazılmaktadır.
*''Şema Yöntemi:'' Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak ''(sol üstteki resim)'' gösterilir. Bu gösterime [[Venn şeması]] ile gösterimi denir.

== Kullanılan Simgeler ==
{| class="wikitable"
|-
! Simge !! Simgenin açıklaması !! Simge !! Simgenin açıklaması
|-
| '''∈''' || Elemanıdır || '''∪''' || Birleşim
|-
| '''∉''' || Elemanı değildir || '''∩''' || Kesişim
|-
| '''∋''' || Eleman olarak kapsar || '''⊎''' || Birden fazla küme bileşenleri
|-
| '''⊂''' || Alt kümesi || '''∅''' || Boş küme
|-
| '''⊃''' || Üst kümesi || '''≇''' || Ne yaklaşık ne de fiili olarak
|-
| '''⊆''' || Alt küme veya eşit || '''≤''' || Küçük veya eşit
|-
| '''⊇''' || Üst küme veya eşit || '''≥''' || Büyük veya eşit
|-
| '''≠''' || Eşit değil || '''≮''' || Küçük değil
|-
| '''<'''  || Küçüktür || '''≰''' || Küçük veya eşit değil
|-
| '''>'''  || Büyüktür || '''≱''' || Büyük veya eşit değil
|-
| '''≡''' || Denktir || '''≢''' || Denk değil
|-
| '''≈''' || Hemen hemen eşit || '''≅''' || Yaklaşık olarak eşit
|-
| '''∼''' || Benzer || '''⋚''' || Küçük eşit veya büyük
|-
| '''≫''' || Çok daha büyük || 	'''≪''' || Çok daha küçük
|-
| '''=''' || Eşit || '''≠''' || Eşit değil
|}

== Eşit Küme ve Denk Küme ==
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
* A kümesi B kümesine eşit ise <math>A=B</math> biçiminde gösterilir.
* C kümesi D kümesine denk ise <math>C\equiv D</math> biçiminde gösterilir.
''Önemli Not: Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.''

== Özel Sayı Kümeleri ==
[[Dosya:NumberSetinC.svg|alt=|küçükresim|Doğal sayılar N, tam sayılar Z içinde yer alır, tam sayılar Q (rasyonel sayılar) içinde yer alır, rasyonel sayılar R (gerçel sayılar) içinde yer alır ve gerçel sayılar C (kompleks sayılar) içinde yer alır.]]
Matematikçilerin o kadar sık atıfta bulundukları matematiksel öneme sahip kümeler vardır ki, onları tanımlamak için özel isimler ve notasyon kuralları edinmişlerdir. Bu önemli kümeler, matematik metinlerinde kalın (örneğin <math>\mathbf{Z}</math>) veya tahta kalın (<math>\mathbb{Z}</math>) yazı karakteriyle temsil edilir.<ref name=":03">George Tourlakis (13 Şubat 2003). ''[https://books.google.com/books?id=nparMXao59QC&pg=PA137 Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory]'' Cambridge University Press. s. 137. ISBN <bdi>978-1-139-43943-5</bdi>.</ref> Bunlar şunları içerir:
*<math>\Nu</math> veya <math>\mathbb{N} </math>, [[doğal sayılar]] kümesi: <math>\Nu=\{0, 1, 2, 3, 4, ...\}</math> (bazı matematikçiler 0'ı dahil etmemektedir.) <ref name=":0">George Tourlakis (13 February 2003). ''[https://books.google.com/books?id=nparMXao59QC&pg=PA137 Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20210427195759/https://books.google.com/books?id=nparMXao59QC&pg=PA137 |tarih=27 Nisan 2021 }}''. Cambridge University Press. p.&nbsp;137. ISBN&nbsp;<bdi>978-1-139-43943-5</bdi>.</ref>
*<math>\Zeta</math> veya <math>\mathbb Z</math>, [[tam sayı]]lar kümesi (negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar ve 0 dahil): <math>\Zeta=\{... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}</math> <ref name=":0" />
*<math>Q</math> veya <math>\mathbb Q</math>, [[rasyonel sayılar]] kümesi (tam sayılar ve kesirli ifadeler dahil): <math>Q = \{ a\backslash b :a, b \in Z, b\neq0\}</math>. Örneğin, <math>-3\backslash2 \in Q </math> ve <math>4=4\backslash1\in Q</math> <ref name=":0" />
*<math>R</math> veya <math>\mathbb R</math>, [[reel sayılar]] kümesi: [rasyonel sayılar kümesi ve irrasyonel sayılar kümesi (<math>\sqrt{2} </math> gibi kesirli ifade biçiminde yazılamayan cebirsel sayıların yanı sıra <math>\pi</math> ve <math>e</math> gibi sayılar) dahil] <ref name=":0" />
*<math>C</math> veya <math>\mathbb C</math>, [[karmaşık sayı]]lar kümesi: <math>C=\{a+bi:a, b\in R\}</math>. Örneğin, <math>1+2i\in C</math>.<ref name=":0" />
Yukarıda yer alan sayı kümelerinin her biri sonsuz sayıda [[eleman]]a sahiptir. Her biri bulunduğu satırın altında yer alan kümelerin bir alt kümesidir.

Pozitif veya negatif sayı kümeleri, küme sembolünün üzerine <math>+</math> veya <math>-</math> sembolü konularak ifade edilmektedir. Örneğin; pozitif tam sayılar kümesi <math>Z^+</math>, negatif tam sayılar kümesi <math>Z^-</math>biçiminde ifade edilmektedir.

== Fonksiyonlar ==
Bir A kümesinden B kümesine olan bir [[fonksiyon]] (veya [[Eşleme (matematik)|eşleme]]), her bir ''{{mvar|A}}'' kümesi elemanına ''{{mvar|B}}'' kümesinden bir "çıktı" atayan bir kuraldır; daha formel olarak, bir fonksiyon, ''{{mvar|A}}'' kümesinin her elemanını tam olarak bir ''{{mvar|B}}'' kümesi elemanına bağlayan özel bir [[ilişki]]dir. Bir fonksiyon şu şekillerde adlandırılır:

* İnjektif [[Birebir fonksiyon|Birebir]] (veya tekil) ise, ''{{mvar|A}}'' kümesinin her iki farklı elemanını farklı ''{{mvar|B}}'' elemanlarına eşler.
* [[Sürjektif]] [[Örten fonksiyon|Örten]] (veya üzerine) ise, her ''{{mvar|B}}'' elemanı için en az bir ''{{mvar|A}}'' elemanı ona eşlenir.
* [[Bijektif]] [[Birebir örten fonksiyon|Bİrebir Örten]] (veya bir-bir karşılıklı) ise, fonksiyon hem injektif hem de sürjektif olup her ''{{mvar|A}}'' elemanı benzersiz bir ''{{mvar|B}}'' elemanıyla eşlenir ve her ''{{mvar|B}}'' elemanı da benzersiz bir ''{{mvar|A}}'' elemanıyla eşlenir, böylece eşlenmemiş elemanlar bulunmaz.

İnjektif bir fonksiyon enjeksiyon, sürjektif bir fonksiyon sürjeksiyon ve bijektif bir fonksiyon ''bire-bir karşılıklı'' veya ''bijeksiyon'' olarak adlandırılır.

== Sayallık (kardinalite) ==
Bir kümenin cardinality (kardinalite) değeri, o kümenin eleman sayısıdır.<ref name="Moschovakis1994">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=ndx0_6VCypcC|başlık=Notes on Set Theory|yayıncı=Springer Science & Business Media|yıl=1994|isbn=978-3-540-94180-4|author=Yiannis N. Moschovakis}}</ref> Örneğin, B = {mavi, beyaz, kırmızı} kümesi için |B| = 3'dür. Kümelendirmede tekrar eden elemanlar sayılmaz,<ref name="Fleck2001">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=c42oYf4zBzMC&pg=PA3|başlık=Formal Models of Computation: The Ultimate Limits of Computing|sayfa=3|yayıncı=World Scientific|yıl=2001|isbn=978-981-02-4500-9|author=Arthur Charles Fleck}}</ref><ref name="Johnston2015">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=v4ueCgAAQBAJ&pg=PA7|başlık=The Lebesgue Integral for Undergraduates|tarih=25 Eylül 2015|sayfa=7|yayıncı=The Mathematical Association of America|isbn=978-1-939512-07-9|author=William Johnston}}</ref> bu nedenle B = {mavi, beyaz, kırmızı, mavi, beyaz} kümesi için de |B| = 3'tür.

Daha kesin bir ifadeyle, iki küme aynı kardinaliteye sahipse, aralarında bire-bir'e ilişkilendirme sağlayan bir fonksiyon bulunur.

Boş kümenin kardinalite değeri sıfırdır.<ref name="Smith2008">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=-0x2JszrkooC&pg=PA401|başlık=Mathematics: Its Power and Utility|tarih=7 Ocak 2008|sayfa=401|yayıncı=Cengage Learning|isbn=978-0-495-38913-2|author=Karl J. Smith}}</ref>

=== Sonsuz kümeler ve sonsuz kardinalite ===
Bazı kümelerin elemanları sayılamazdır veya [[Sonsuz küme|sonsuz]]dur.<ref name="Lucas19903"/> Örneğin, [[Doğal sayılar|doğal sayıl]]arın kümesi N sonsuzdur. Aslında, yukarıdaki bölümde bahsedilen tüm özel sayı kümeleri sonsuzdur. ''Sonsuz kümelerin'' kardinalite değeri sonsuzdur.

Bazı sonsuz kardinaliteler diğerlerinden daha büyüktür. Küme teorisi açısından en önemli sonuçlardan biri, gerçel sayıların kümesinin doğal sayıların kümesinden daha büyük kardinaliteye sahip olmasıdır.<ref name="Stillwell2013">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=VPe8BAAAQBAJ|başlık=The Real Numbers: An Introduction to Set Theory and Analysis|tarih=16 Ekim 2013|yayıncı=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-319-01577-4|author=John Stillwell}}</ref> N'ye eşit veya daha küçük kardinalite değerine sahip kümeler "sayılabilir kümeler" olarak adlandırılır. Bunlar ya sonlu kümelerdir ya da N ile aynı kardinaliteye sahip "sayılabilir sonsuz kümelerdir". Bazı yazarlar "sayılabilir" terimini "sayılabilir sonsuz" anlamında kullanır. N'den daha büyük kardinalite değerine sahip kümeler "sayılabilir olmayan kümeler" olarak adlandırılır.

Ancak, bir doğru üzerindeki noktaların kardinalite değeri (yani bir doğru üzerindeki nokta sayısı), o doğrunun bir segmentinin, tüm düzlemin ve hatta herhangi bir sonlu boyutlu [[Vajina|Öklidyen uzayın]] kardinalite değeriyle aynıdır.<ref name="Tall2006">{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=czKqBgAAQBAJ&pg=PA212|başlık=Advanced Mathematical Thinking|tarih=11 Nisan 2006|sayfalar=211|yayıncı=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-306-47203-9|author=David Tall}}</ref>

=== Süreklilik hipotezi  ===
Georg Cantor tarafından 1878 yılında formüle edilen [[süreklilik hipotezi]], [[Doğal sayı kardinalite|doğal sayıların kardinalite]] değeriyle bir doğruyun kardinalite değeri arasında bir kümenin olmadığını ifade eder.<ref name="Cantor1878">{{Akademik dergi kaynağı|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15|başlık=Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre|sayı=84|sayfalar=242-258|dergi=[[Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]]|yıl=1878|cilt=1878|doi=10.1515/crll.1878.84.242|ad=Georg|soyadı=Cantor|erişim-tarihi=9 Haziran 2023|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210205123041/http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15|arşivtarihi=5 Şubat 2021|ölüurl=hayır}}</ref> 1963 yılında [[Paul Cohen]], süreklilik hipotezinin, [[Zermelo-Fraenkel küme teorisi]]yle ([[seçim aksiyomu]]nu içeren) ZFC aksiyom sistemi içinde bağımsız olduğunu kanıtlamıştır.<ref name="Cohen1963">{{Akademik dergi kaynağı|başlık=The Independence of the Continuum Hypothesis|tarih=15 Aralık 1963|sayı=6|sayfalar=1143-1148|dergi=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|cilt=50|pmc=221287|pmid=16578557|doi=10.1073/pnas.50.6.1143|ad=Paul J.|soyadı=Cohen|jstor=71858|bibcode=1963PNAS...50.1143C|doi-access=ücretsiz}}</ref>(ZFC, aksiyomatik küme teorisinin en yaygın olarak incelenen versiyonudur.)

== Evrensel Küme ==
[[Dosya:Cojunto universal 4.svg|orjinal|yok|Evrensel Küme Örneği]]Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle <math>E</math> ile gösterilmektedir. Yabancı kaynaklarda çoğunlukla <math>U</math> ile gösterilmektedir.<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Set Theory and Logic|yer=Mineola, N.Y.|yayıncı=[[Dover Publications]]|yıl=1979|ad=Robert R.|soyadı=Stoll|isbn=0-486-63829-4}}</ref>

== Ayrıca Bakınız ==
* [[Öge]]
* [[Gönderme (Matematik)|Gönderme (Fonksiyon)]]
* [[Bağıntı]]
* [[Kümeler kuramı]]
* [[Belirtisiz küme|Belirtisiz (Bulanık) Küme]]

== Kaynakça ==
{{kaynakça}}
*{{Kitap kaynağı |soyadı=Halmos |ad=Paul R. |başlık=Naive Set Theory |url=https://archive.org/details/naivesettheory00halm |yer=Princeton, N.J. |yayıncı=Van Nostrand |yıl=1960 |isbn=0-387-90092-6 }}

{{Otorite kontrolü}}

[[Kategori:Kümeler teorisi]]