Maksimum-minimum eşitsizliği sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]]te '''maksimum-minimum eşitsizliği''' ya da '''maks-min eşitsizliği''' şunu ifade eder:

:Her <math>\ f : Z \times W \to \mathbb{R}\ </math> fonksiyonu için
:: <math>
\sup_{z \in Z} \inf_{w \in W} f(z, w) \leq \inf_{w \in W} \sup_{z \in Z} f(z, w)\ .
</math>
:eşitsizliği geçerlidir.

Eşitlik yakalandığı takdirde, {{mvar|f}}, {{mvar|W}} ve {{mvar|Z}}'nin '''güçlü maksimum-minimum özelliği''' ya da '''eyer noktası özelliği''' vardır denir.<ref>{{kitap kaynağı
 |ad1           = Stephen
 |soyadı1       = Boyd
 |ad2           = Lieven
 |soyadı2       = Vandenberghe
 |yıl           = 2004
 |başlık        = Convex Optimization
 |yayıncı       = [[Cambridge University Press]]
 |url           = https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf
 |sayfa         = 238
 |erişim-tarihi = 10 Ocak 2025
 |arşivurl      = https://web.archive.org/web/20210509212522/https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf
 |arşivtarihi   = 9 Mayıs 2021
 |ölüurl        = hayır
}}</ref> <math>\ f(z,w) = \sin( z + w )\ </math> örneğinden de görüleceği üzere eşitlik her fonksiyon için ulaşılmayabilir.

{{mvar|f}}, {{mvar|W}} ve {{mvar|Z}}'nin üzerine koşullar ekleyip '''eyer noktası özelliği'''ni veren bir [[minimum-maksimum teoremi]] de vardır.

== İspat ==
<math> g(z) \triangleq \inf_{w \in W} f(z, w)\ </math> tanımlansın. Her <math>z \in Z</math> için 
:<math display="inline">g(z) \leq f(z, w) </math>
eşitsizliği her <math>w \in W </math> için, infimumun tanımı gereği alt sınır olması nedeniyle, sağlanır. Sonra, her <math display="inline">w \in W </math> için, 
:<math>f(z, w) \leq \sup_{z \in Z} f(z, w) </math>
her <math display="inline">z \in Z </math> için, supremumun tanımı gereği üst sınır olması nedeniyle, sağlanır. Bu sebeple, her <math>z \in Z </math> ve <math>w \in W </math> için 
:<math>g(z) \leq f(z, w) \leq \sup_{z \in Z} f(z, w) </math>
olur ki bu da <math>w \in W </math> seçimi farketmeksizin
:<math>h(w) \triangleq \sup_{z \in Z} f(z, w) </math> 
fonksiyonunun <math>g(z) </math>  için bir üst sınır olduğu anlamına gelir. Supremum en küçük sınır olduğu için 
:<math>\sup_{z \in Z} g(z) \leq h(w) </math>
eşitsizliği tüm <math>w \in W </math> için sağlanacaktır. Bu eşitsizlikten
:<math>\sup_{z \in Z} g(z) </math>
ifadesinin <math>h(w) </math> fonksiyonunun alt sınırı olduğunu görüyoruz. İnfimum en büyük alt sınır olduğu için, 
:<math>\sup_{z \in Z} g(z) \leq \inf_{w \in W} h(w) </math>
olur. Bütün hepsini bir araya getirirsek, 
:<math>\sup_{z \in Z} \inf_{w \in W} f(z, w) = \sup_{z \in Z} g(z) \leq \inf_{w \in W} h(w) = \inf_{w \in W} \sup_{z \in Z} f(z, w) </math> 
elde ederiz ki bu da istenen eşitsizliktir.

== Ayrıca bakınız ==
[[Minimaks teoremi]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}
[[Kategori:Optimizasyon]]
[[Kategori:Eşitsizlikler]]