Maksimum-minimum eşitsizliği

Matematikte maksimum-minimum eşitsizliği ya da maks-min eşitsizliği şunu ifade eder:

Her $f:Z\times W\to ℝ$ fonksiyonu için

$\underset{z\in Z}{\sup }\underset{w\in W}{\inf }f(z,w)\le \underset{w\in W}{\inf }\underset{z\in Z}{\sup }f(z,w).$

eşitsizliği geçerlidir.

Eşitlik yakalandığı takdirde, Şablon:Mvar, Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar'nin güçlü maksimum-minimum özelliği ya da eyer noktası özelliği vardır denir. $f(z,w)=\sin (z+w)$ örneğinden de görüleceği üzere eşitlik her fonksiyon için ulaşılmayabilir.

Şablon:Mvar, Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar'nin üzerine koşullar ekleyip eyer noktası özelliğini veren bir minimum-maksimum teoremi de vardır.

İspat

$g(z)\triangleq \underset{w\in W}{\inf }f(z,w)$ tanımlansın. Her $z\in Z$ için

$g(z)\le f(z,w)$

eşitsizliği her $w\in W$ için, infimumun tanımı gereği alt sınır olması nedeniyle, sağlanır. Sonra, her $w\in W$ için,

$f(z,w)\le \underset{z\in Z}{\sup }f(z,w)$

her $z\in Z$ için, supremumun tanımı gereği üst sınır olması nedeniyle, sağlanır. Bu sebeple, her $z\in Z$ ve $w\in W$ için

$g(z)\le f(z,w)\le \underset{z\in Z}{\sup }f(z,w)$

olur ki bu da $w\in W$ seçimi farketmeksizin

$h(w)\triangleq \underset{z\in Z}{\sup }f(z,w)$

fonksiyonunun $g(z)$ için bir üst sınır olduğu anlamına gelir. Supremum en küçük sınır olduğu için

$\underset{z\in Z}{\sup }g(z)\le h(w)$

eşitsizliği tüm $w\in W$ için sağlanacaktır. Bu eşitsizlikten

$\underset{z\in Z}{\sup }g(z)$

ifadesinin $h(w)$ fonksiyonunun alt sınırı olduğunu görüyoruz. İnfimum en büyük alt sınır olduğu için,

$\underset{z\in Z}{\sup }g(z)\le \underset{w\in W}{\inf }h(w)$

olur. Bütün hepsini bir araya getirirsek,

$\underset{z\in Z}{\sup }\underset{w\in W}{\inf }f(z,w)=\underset{z\in Z}{\sup }g(z)\le \underset{w\in W}{\inf }h(w)=\underset{w\in W}{\inf }\underset{z\in Z}{\sup }f(z,w)$

elde ederiz ki bu da istenen eşitsizliktir.

Ayrıca bakınız

Minimaks teoremi