Niven teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

[[Matematik]]te, [[Ivan M. Niven|Ivan Niven]]'in adını taşıyan '''Niven teoremi''', 0°&nbsp;≤&nbsp;''&theta;''&nbsp;≤&nbsp;90° aralığında ''&theta;'' derecesinin [[sinüs (matematik)|sinüs]]ünün de [[rasyonel sayı|rasyonel]] bir sayı olduğu tek rasyonel ''&theta;'' değerlerinin şunlar olduğunu belirtir:<ref>{{dergi kaynağı |soyadı=Schaumberger |ad=Norman |yıl=1974 |başlık=A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities |dergi=[[Two-Year College Mathematics Journal]] |jstor=3026991 |cilt=5 |sayı=1 |sayfalar=73-76|doi=10.2307/3026991 }}</ref>

:<math>
\begin{align}
\sin 0^\circ & = 0, \\[10pt]
\sin 30^\circ & = \frac 12, \\[10pt]
\sin 90^\circ & = 1.
\end{align}
</math>

[[Radyan]] cinsinden, 0&nbsp;≤&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;{{pi}}/2, ''x''/{{pi}}'nin rasyonel olması ve sin{{Hsp}}''x''{{'}}in rasyonel olması gerekir. Sonuç olarak, bu tür değerler yalnızca sin&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;0, sin&nbsp;{{pi}}/6&nbsp;=&nbsp;1/2 ve sin&nbsp;{{pi}}/2&nbsp;=&nbsp;1'dir.

Teorem, Niven'in [[irrasyonel sayılar]] üzerine kitabında Corollary 3.12 (yani Doğal sonuç 3.12) olarak yer almaktadır.<ref name=niven>{{kitap kaynağı |soyadı=Niven |ad=Ivan |yazarbağı=Ivan M. Niven |yıl=1956 |başlık=Irrational Numbers |url=https://archive.org/details/irrationalnumber00nive |url-erişimi=kayıtlı|seri=The [[Carus Mathematical Monographs]] |sayı=11 |yayıncı=[[Amerika Matematik Derneği|The Mathematical Association of America]] |mr=0080123 |sayfa=[https://archive.org/details/irrationalnumber00nive/page/41 41]}}</ref>

Teorem, diğer [[trigonometrik fonksiyon]]lar için de geçerlidir.<ref name=niven/> &theta;'nın rasyonel değerleri için, sinüs veya kosinüsün tek rasyonel değerleri 0, ±1/2 ve ±1'dir; sekant veya kosekantın tek rasyonel değerleri ±1 ve ±2; tanjant veya kotanjantın tek rasyonel değerleri ise 0 ve ±1'dir.<ref name="bgs">Kosinüs durumu için bir kanıt {{dergi kaynağı
 | soyadı1 = Bennett | ad1 = Curtis D.
 | soyadı2 = Glass | ad2 = A. M. W.
 | soyadı3 = Székely | ad3 = Gábor J.
 |doi= 10.2307/4145241
 | sayı = 4
 | dergi = American Mathematical Monthly
 | mr = 2057186
 | sayfalar =322-329| başlık = Fermat's last theorem for rational exponents
 | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2004-04_111_4/page/n43 | cilt = 111
 | yıl = 2004| jstor = 4145241
 }}</ref>'de Lemma 12 olarak görünür.

==Tarihçe==
Niven'in teoreminin ispatı ''İrrasyonel Sayılar'' ("Irrational Numbers") adlı kitabında yer almaktadır. Teorem daha önce [[D. H. Lehmer]] ve J. M. H. Olmstead tarafından kanıtlanmıştı.<ref name="niven"/> 1933 tarihli makalesinde Lehmer, kosinüs için teoremi daha genel bir sonucu kanıtlayarak ispatladı. Yani Lehmer, <math>k</math> ve <math>n</math> ile <math>n>2</math> asal tam sayıları için <math>2\cos(2\pi k/n)</math> sayısının <math>\varphi(n)/2</math> derecesinde bir [[cebirsel sayı]] olduğunu göstermiştir, burada <math>\varphi</math> [[Euler totient fonksiyonu]] anlamına gelmektedir. Rasyonel sayıların derecesi 1 olduğundan, <math>\varphi(n)=2</math> olması gerekir ve bu nedenle tek olasılık <math>n={}</math>1, 2, 3, 4 veya 6'dır. Daha sonra, <math>\sin(\theta)=\cos(\theta-\pi/2)</math> trigonometrik özdeşliğini kullanarak sinüs için karşılık gelen bir sonucu kanıtladı.<ref name="Lehmer">{{dergi kaynağı |soyadı=Lehmer |ad=Derrick H. |yıl=1933 |başlık=A note on trigonometric algebraic numbers |dergi=The American Mathematical Monthly|jstor=2301023 | cilt=40 |sayı=3 | sayfalar=165-166|doi=10.2307/2301023 }}</ref> 1956 yılında Niven, Lehmer'in sonucunu diğer trigonometrik fonksiyonlara genişletti.<ref name="niven"/> Diğer matematikçiler sonraki yıllarda yeni kanıtlar verdiler.<ref name="bgs"/>

==Ayrıca bakınız==
* [[Pisagor üçlüsü|Pisagor üçlüleri]], trigonometrik fonksiyonların her zaman rasyonel değerler alacağı dik üçgenler oluşturur, ancak dar açılar rasyonel değildir.
* [[Trigonometrik fonksiyonlar]]
* [[Tam trigonometrik değerler|Trigonometrik sayı]]

==Kaynakça==
{{Kaynakça}}

==Konuyla ilgili okumalar==
* {{dergi kaynağı | soyadı1=Olmsted |ad1=J. M. H. |yıl=1945 |başlık=Rational values of trigonometric functions |dergi= The American Mathematical Monthly| cilt=52 |sayı=9 |jstor=2304540 | sayfalar=507-508}}
* {{cite arXiv|last=Jahnel |first=Jörg |year=2010 |title=When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number? |eprint=1006.2938|class=math.HO }}
* {{Kaynak|yazar=Caroline Nunn|dergi=Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal|cilt=22|sayı=2|yıl=2021|başlık=A Proof of a Generalization of Niven's Theorem Using Algebraic Number Theory|url=https://scholar.rose-hulman.edu/cgi/viewcontent.cgi?filename=0&article=1506&context=rhumj&type=additional}}

==Dış bağlantılar==
* {{MathWorld |urlname=NivensTheorem |title=Niven's Theorem}}
* {{ProofWiki |id=Niven's_Theorem |title=Niven's Theorem}}
* {{YouTube|kim=FnRnD8Y2mZE|başlık=Niven's Theorem}}

[[Kategori:Rasyonel sayılar]]
[[Kategori:Trigonometri]]
[[Kategori:Geometri teoremleri]]
[[Kategori:Cebir teoremleri]]