Niven teoremi

Matematikte, Ivan Niven'in adını taşıyan Niven teoremi, 0° ≤ θ ≤ 90° aralığında θ derecesinin sinüsünün de rasyonel bir sayı olduğu tek rasyonel θ değerlerinin şunlar olduğunu belirtir:

$\begin{array}{cc}\sin 0^{\circ }& =0,\\ \sin 30^{\circ }& =\frac{1}{2},\\ \sin 90^{\circ }& =1.\end{array}$

Radyan cinsinden, 0 ≤ x ≤ Şablon:Pi/2, x/Şablon:Pi'nin rasyonel olması ve sinŞablon:HspxŞablon:'in rasyonel olması gerekir. Sonuç olarak, bu tür değerler yalnızca sin 0 = 0, sin Şablon:Pi/6 = 1/2 ve sin Şablon:Pi/2 = 1'dir.

Teorem, Niven'in irrasyonel sayılar üzerine kitabında Corollary 3.12 (yani Doğal sonuç 3.12) olarak yer almaktadır.

Teorem, diğer trigonometrik fonksiyonlar için de geçerlidir. θ'nın rasyonel değerleri için, sinüs veya kosinüsün tek rasyonel değerleri 0, ±1/2 ve ±1'dir; sekant veya kosekantın tek rasyonel değerleri ±1 ve ±2; tanjant veya kotanjantın tek rasyonel değerleri ise 0 ve ±1'dir.'de Lemma 12 olarak görünür.

Tarihçe

Niven'in teoreminin ispatı İrrasyonel Sayılar ("Irrational Numbers") adlı kitabında yer almaktadır. Teorem daha önce D. H. Lehmer ve J. M. H. Olmstead tarafından kanıtlanmıştı. 1933 tarihli makalesinde Lehmer, kosinüs için teoremi daha genel bir sonucu kanıtlayarak ispatladı. Yani Lehmer, $k$ ve $n$ ile $n>2$ asal tam sayıları için $2\cos (2\pi k/n)$ sayısının $\phi (n)/2$ derecesinde bir cebirsel sayı olduğunu göstermiştir, burada $\phi$ Euler totient fonksiyonu anlamına gelmektedir. Rasyonel sayıların derecesi 1 olduğundan, $\phi (n)=2$ olması gerekir ve bu nedenle tek olasılık $n=$1, 2, 3, 4 veya 6'dır. Daha sonra, $\sin (\theta )=\cos (\theta -\pi /2)$ trigonometrik özdeşliğini kullanarak sinüs için karşılık gelen bir sonucu kanıtladı. 1956 yılında Niven, Lehmer'in sonucunu diğer trigonometrik fonksiyonlara genişletti. Diğer matematikçiler sonraki yıllarda yeni kanıtlar verdiler.

Ayrıca bakınız

• Pisagor üçlüleri, trigonometrik fonksiyonların her zaman rasyonel değerler alacağı dik üçgenler oluşturur, ancak dar açılar rasyonel değildir.
• Trigonometrik fonksiyonlar
• Trigonometrik sayı

Konuyla ilgili okumalar

• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Cite arXiv
• Şablon:Kaynak

Dış bağlantılar

• Şablon:MathWorld
• Şablon:ProofWiki
• Şablon:YouTube