Parametrik denklem sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Butterfly transcendental curve.svg|küçükresim|sağ|{{Ortala|[[Kelebek eğrisi (aşkın)|Kelebek eğrisi]], {{mvar|x}} ve {{mvar|y}} parametrik denklemleri ile tanımlanabilir.}}]]

[[Matematik]]te, bir '''parametrik denklem''', bir grup niceliği [[parametre]]ler olarak adlandırılan bir veya daha fazla [[bağımsız değişken]]in [[Fonksiyon (matematik)|fonksiyon]]ları olarak tanımlar.<ref name="MathWorld">{{MathWorld|ParametricEquations|Parametric Equations}}</ref> Parametrik denklemler genellikle bir [[eğri]] veya [[Yüzey (matematik)|yüzey]] gibi geometrik bir nesneyi oluşturan noktaların [[koordinat]]larını ifade etmek için kullanılır ve sırasıyla '''''parametrik eğri''''' ve '''''parametrik yüzey''''' olarak adlandırılır. Bu gibi durumlarda, denklemler, toplu olarak nesnenin '''parametrik temsili'''<ref>{{ kitap kaynağı | soyadı1 = Kreyszig | ad1 = Erwin | yazarbağı = Erwin Kreyszig | başlık = Advanced Engineering Mathematics | url = https://archive.org/details/advancedengineer00krey | seri = 3rd |yer= New York | yayıncı = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | yıl = 1972 | isbn = 0-471-50728-8 | sayfalar=[https://archive.org/details/advancedengineer00krey/page/291 291],342}}</ref> veya '''parametrik sistem''',<ref>{{kitap kaynağı | ad1 = Richard L. | soyadı1 = Burden | ad2 = J. Douglas | soyadı2 = Faires | yıl = 1993 | isbn = 0-534-93219-3 | başlık = Numerical Analysis | url = https://archive.org/details/numericalanalysi00burd | seri = 5th | yayıncı = [[Cengage Learning|Brookes/Cole]] |yer= Boston | sayfa=[https://archive.org/details/numericalanalysi00burd/page/149 149] }}</ref> veya '''parametrelendirilmesi''' (alternatif olarak '''parametrelendirme''' olarak yazılır) olarak adlandırılır.<ref name="MathWorld" /><ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Thomas|ad=George B. |soyadı2=Finney |ad2=Ross L.|başlık=Calculus and Analytic Geometry |yayıncı=[[Addison-Wesley]]|seri=fifth |yıl=1979 |sayfa=91}}</ref><ref>{{Web kaynağı | url = http://mathinsight.org/plane_parametrization_examples | başlık = Plane parametrization example | soyadı = Nykamp | ad = Duane | website = mathinsight.org | erişimtarihi = 14 Nisan 2017 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20111012163845/http://mathinsight.org/plane_parametrization_examples | arşivtarihi = 12 Ekim 2011}}</ref>

Örneğin,

<math display="block">\begin{align}
  x &= \cos t \\
  y &= \sin t
\end{align}</math>

denklemleri, {{mvar|t}} parametre olmak üzere [[birim çember]]in parametrik bir temsilini oluşturur: Bir nokta {{math|(''x'', ''y'')}} birim çember üzerindedir [[ancak ve ancak]] {{mvar|t}} değeri varsa bu iki denklem o noktayı oluşturur. Bazen [[skaler (matematik)|skaler]] çıktı değişkenleri için parametrik denklemler [[vektör]]ler içinde tek bir parametrik denklemde birleştirilir:

<math display="block">(x, y)=(\cos t, \sin t).</math>

Parametrik gösterimler genellikle benzersiz değildir (aşağıdaki "İki boyutta örnekler" bölümüne bakın), bu nedenle aynı büyüklükler bir dizi farklı parametrelendirme ile ifade edilebilir.<ref name="MathWorld" />

Eğriler ve yüzeylere ek olarak parametrik denklemler, parametre sayısı manifoldun veya varyetenin boyutuna eşit olacak şekilde, daha yüksek [[Boyut#Manifoldlar|boyut]]u olan [[Çok katlı|manifold]]ları ve [[cebirsel varyete]]leri tanımlayabilir ve denklem sayısı manifold veya varyetenin göz önünde bulundurulduğu uzayın boyutuna eşittir (eğriler için boyut "bir" ve "bir" parametre kullanılır, yüzeyler için boyut "iki" ve "iki" parametre vb.).

Parametrik denklemler genellikle [[kinematik]] alanında kullanılır; burada bir nesnenin [[yörünge]]si parametre olarak zamana bağlı denklemlerle temsil edilir. Bu uygulama nedeniyle, tek bir parametre genellikle {{mvar|t}} olarak etiketlenir; ancak, parametreler diğer fiziksel büyüklükleri (geometrik değişkenler gibi) temsil edebilir veya kolaylık sağlamak için keyfi olarak seçilebilir. Parametrelendirmeler benzersiz ve tek değildir; birden fazla parametrik denklem kümesi aynı eğriyi belirtebilir.<ref>{{kitap kaynağı |soyadı=Spitzbart |ad=Abraham |başlık=Calculus with Analytic Geometry |url=https://archive.org/details/calculuswithanal0000spit |erişim-tarihi=30 Ağustos 2015 |yıl=1975 |yayıncı=Scott, Foresman and Company |yer=Gleview, IL |isbn=0-673-07907-4 |url-erişimi=kayıtlı}}</ref>

==Uygulamaları==
===Kinematik===

[[Kinematik]]te, nesnelerin uzaydaki yolları genellikle parametrik eğriler olarak tanımlanır ve her bir uzaysal koordinat açıkça bağımsız bir parametreye (genellikle zaman) bağlıdır. Bu şekilde kullanıldığında, nesnenin koordinatları için parametrik denklemler kümesi toplu olarak konum için bir [[vektör-değerli fonksiyon]] oluşturur. Bu tür parametrik eğriler daha sonra terimsel olarak [[integral]]lenebilir ve [[türev]]lenebilir olabilir. Böylece, bir parçacığın konumu parametrik olarak şöyle tanımlanırsa

<math display="block">\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\,,</math>

o zaman [[hız]] şu şekilde;
<math display="block">\begin{align}
\mathbf{v}(t) &= \mathbf{r}'(t) \\
              &= (x'(t), y'(t), z'(t))\,,
\end{align}</math>

ve [[ivme]] de aşağıdaki gibi bulunabilir
<math display="block">\begin{align}
\mathbf{a}(t) &= \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}''(t) \\
              &= (x''(t), y''(t), z''(t))\,.
\end{align}</math>

===Bilgisayar destekli tasarım===
Parametrik denklemlerin bir diğer önemli kullanımı [[bilgisayar destekli tasarım]] (CAD) alanındadır.<ref>{{kitap kaynağı | soyadı=Stewart | ad=James | yıl=2003 | başlık=Calculus | seri=5th | yayıncı=Thomson Learning, Inc. |yer=Belmont, CA | isbn=0-534-39339-X | sayfalar=[https://archive.org/details/calculus0000stew/page/687 687-689]|başlıkbağı=Calculus }}</ref> Örneğin, hepsi [[düzlemsel eğri]]leri tanımlamak için yaygın olarak kullanılan aşağıdaki üç gösterimi inceleyin.

{| class="wikitable"
|-
! scope="col" | Tür
! scope="col" | Biçim 
! scope="col" | Örnek
! scope="col" | Tanım
|-
! scope="row" | Açık
|<math>y = f(x) \,\!</math>
|<math>y = mx + b \,\!</math>
|Doğru
|-
! scope="row" | Örtük
|<math>f(x,y) = 0 \,\!</math>
|<math> \left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2</math>
|Çember
|-
! scope="row" rowspan=2 | Parametrik
|rowspan=2 |<math>x = \frac{g(t)}{w(t)}; \,\!</math> <math>y = \frac{h(t)}{w(t)}</math>
|<math>x = a_0 + a_1t; \,\!</math> <math>y = b_0 + b_1t\,\!</math> 
|Doğru
|-
|<math>x = a+r\,\cos t; \,\!</math> <math>y = b+r\,\sin t\,\!</math>
|Çember
|}

Her bir gösterimin CAD uygulamaları için avantajları ve dezavantajları vardır.

Açık gösterim çok karmaşık olabilir, hatta mevcut olmayabilir. Dahası, [[geometrik dönüşüm]]ler ve özellikle de [[rotasyon (matematik)|rotasyon]]lar altında iyi sonuç vermez. Öte yandan, parametrik bir denklem ve örtük bir denklem açık bir gösterimden kolayca çıkarılabileceğinden, basit bir açık gösterim mevcut olduğunda, diğer iki gösterimin avantajlarına sahiptir.

Örtük gösterimler eğri üzerinde noktalar oluşturmayı ve hatta gerçek noktalar olup olmadığına karar vermeyi zorlaştırabilir. Öte yandan, verilen bir noktanın bir eğri üzerinde olup olmadığına veya kapalı bir eğrinin içinde mi yoksa dışında mı olduğuna karar vermek için çok uygundurlar.

Bu tür kararlar parametrik bir gösterimle zor olabilir, ancak parametrik gösterimler bir eğri üzerinde noktalar oluşturmak ve bunu çizmek için en uygun olanıdır.<ref>{{kitap kaynağı | soyadı=Shah | ad=Jami J. |yazar2=Martti Mantyla | yıl=1995 | başlık=Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications | url=https://archive.org/details/parametricfeatur0000shah | yayıncı=John Wiley & Sons, Inc. |yer=New York, NY | isbn=0-471-00214-3 | sayfalar=[https://archive.org/details/parametricfeatur0000shah/page/29 29]-31}}</ref>

===Tam sayı geometrisi===
[[Tam sayı üçgeni|Tam sayı geometrisi]] alanındaki çok sayıda problem parametrik denklemler kullanılarak çözülebilir. Bu tür klasik bir çözüm [[Öklid]]'in [[dik üçgen]]leri, kenarlarının {{math|''a'', ''b''}} ve hipotenüslerinin {{math|''c''}} uzunlukları [[aralarında asal]] tam sayılar olacak şekilde parametrize etmesidir. {{mvar|a}} ve {{mvar|b}} çift olmadığından (aksi takdirde {{math|''a'', ''b''}} ve {{math|''c''}} çift olmazdı), {{mvar|a}} çift olacak şekilde değiştirilebilir ve parametrelendirme şu şekilde olur:

<math display="block">\begin{align}
a &= 2mn \\
b &= m^2 - n^2 \\
c &= m^2 + n^2\,,
\end{align}</math>

burada {{mvar|m}} ve {{mvar|n}} parametreleri her ikisi de tek olmayan pozitif aralarında asal tam sayılardır.

{{math|''a'', ''b''}} ve {{mvar|c}}'yi rastgele bir pozitif tam sayı ile çarparak, üç kenarı tam sayı uzunluğunda olan tüm dik üçgenlerin parametrizasyonunu elde ederiz.

==Örtükleştirme==
Bir dizi parametrik denklemin tek bir [[örtük denkleme]] dönüştürülmesi, {{mvar|t}} değişkeninin eşzamanlı <math>x=f(t),\ y=g(t).</math> denklemlerinden çıkarılmasını içerir. Bu işlem, '''örtükleştirme''' (''{{dil|en|implicitization}}'') olarak adlandırılır. Bu denklemlerden biri {{mvar|t}} için çözülebilirse, elde edilen ifade diğer denklemde yerine konularak yalnızca {{mvar|x}} ve {{mvar|y}} içeren bir denklem elde edilebilir: <math>y=g(t)</math> çözülerek <math>t=g^{-1}(y)</math> elde edilir ve bu <math>x=f(t)</math> içinde kullanılırsa <math> x=f(g^{-1}(y)),</math> açık denklemini verirken, daha karmaşık durumlarda <math>h(x,y)=0.</math> şeklinde örtük bir denklem elde edilir.

Eğer parametrizasyon,

<math display="block">x=\frac{p(t)}{r(t)},\qquad y=\frac{q(t)}{r(t)},</math>

[[rasyonel fonksiyon]]ları tarafından veriliyorsa bir [[resültant]] hesaplaması örtükleştirmeye izin verir, burada {{mvar|p}}, {{mvar|q}} ve {{mvar|r}} küme bazında [[aralarında asal]] polinomlarıdır. Daha doğrusu, örtük denklem {{math|''xr''(''t'') - ''p''(''t'')}} ve {{math|''yr''(''t'') - ''q''(''t'')}}'nin {{mvar|t}}'ye göre [[resültant]]ıdır.

Daha yüksek boyutlarda (ikiden fazla koordinat veya birden fazla parametre), rasyonel parametrik denklemlerin örtükleştirilmesi [[Gröbner temeli]] hesaplamasıyla yapılabilir; bkz {{slink|Gröbner temeli|Yüksek boyutta örtükleştirme}}.

Yarıçapı {{mvar|a}} olan çember örneğini ele alırsak, parametrik denklemler;

<math display="block">\begin{align}
  x &= a \cos(t) \\
  y &= a \sin(t)
\end{align}</math>

{{math|x}} ve {{math|y}} terimlerinde [[Pisagor trigonometrik özdeşliği]] aracılığıyla örtükleştirilebilir.

<math display="block">\begin{align}
\frac{x}{a} &= \cos(t) \\
\frac{y}{a} &= \sin(t) \\
\end{align}</math>

değerlerini

<math display="block">\cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1,</math>

özdeşliğinde yerine koyarak

<math display="block">\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{a}\right)^2 = 1,</math>

elde ederiz ve buradan

<math display="block">x^2+y^2=a^2,</math>

bulunur. Bu da orijin merkezli bir çemberin standart denklemidir.

==İki boyutta örnekler==
===Parabol===

Bir [[parabol]] için en basit denklem olan,

<math display="block">y = x^2</math>

serbest bir parametre {{mvar|t}} kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

<math display="block">x = t, y = t^2 \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.</math>

elde edilir.

===Açık denklemler===
Daha genel olarak, açık bir denklemle verilen herhangi bir eğri,

<math display="block">y = f(x)</math>

serbest bir parametre {{mvar|t}} kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

<math display="block">x = t, y = f(t) \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.</math>

bulunur.

===Çember===
Daha kapsamlı bir örnek ise aşağıdaki gibidir. Sıradan (Kartezyen) denklemle tanımlanan birim çemberi düşünün;

<math display="block"> x^2 + y^2 = 1.</math>

Bu denklem aşağıdaki gibi parametrelendirilebilir:

<math display="block">(x,y)=(\cos(t),\; \sin(t))\quad\mathrm{for}\ 0\leq t < 2\pi.</math>

Kartezyen denklem ile bir noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol etmek daha kolaydır. Parametrik seçenek ile bir çizim üzerinde noktalar elde etmek daha kolaydır.

Bazı bağlamlarda, eğer varsa, sadece [[rasyonel fonksiyon]]ları (yani iki [[polinom]]un kesirlerini) içeren parametrik denklemler tercih edilir. Çember durumunda, böyle bir ''rasyonel parametrelendirme'' şöyledir:

<math display="block">\begin{align}
  x &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\
  y &= \frac{2t}{1 + t^2}\,.
\end{align}</math>

Bu parametrik denklem çifti ile {{math|(-1, 0)}} noktası {{mvar|t}}'nin [[reel sayı|gerçek]] değeri ile değil, {{mvar|t}} [[sonsuz]]a yöneldiğinde {{mvar|x}} ve {{mvar|y}}'nin [[limit (matematik)|limit]] değeri ile temsil edilir.

===Elips===
Yarı eksenleri {{mvar|a}} ve {{mvar|b}} olan kanonik konumdaki bir [[elips]] (merkezi orijinde, ana eksen {{mvar|x}} ekseni boyunca) parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

<math display="block">\begin{align}
  x &= a\,\cos t \\
  y &= b\,\sin t\,.
\end{align}</math>

Genel konumdaki bir elips şu şekilde ifade edilebilir:

<math display="block">\begin{alignat}{4}
  x ={}&& X_\mathrm{c} &+ a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&- b\,\sin t\,\sin\varphi \\
  y ={}&& Y_\mathrm{c} &+ a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+ b\,\sin t\,\cos\varphi
\end{alignat}</math>

{{mvar|t}} parametresi {{math|0}} ile {{math|2''{{pi}}''}} arasında değişir. Burada {{math|(''X''{{sub|c}} , ''Y''{{sub|c}})}} elipsin merkezidir ve {{mvar|φ}} {{mvar|x}} ekseni ile elipsin ana ekseni arasındaki açıdır.

Her iki parametrelendirme de [[tanjant yarım-açı formülü]] kullanılarak ve

<math display="inline">\tan\frac{t}{2} = u\,.</math>

alınarak [[rasyonel fonksiyon|rasyonel]] yapılabilir.

=== Lissajous eğrisi ===
[[Dosya:Lissajous curve 3by2.svg|küçükresim|{{Ortala|Lissajous eğrisi {{math|1=''k{{sub|x}}'' = 3}} ve {{math|1=''k{{sub|y}}'' = 2}}.}}]]

Bir [[Lissajous eğrileri|Lissajous eğrisi]] elipse benzer, ancak {{mvar|x}} ve {{mvar|y}} [[sinüzoid]]ler fazda değildir. Kanonik konumda, bir Lissajous eğrisi şu şekilde verilir:

:<math>\begin{align}
  x &=  a\,\cos(k_xt) \\
  y &=  b\,\sin(k_yt)
\end{align}</math>

burada {{mvar|k{{sub|x}}}} ve {{mvar|k{{sub|y}}}} şeklin lob sayısını tanımlayan sabitlerdir.

===Hiperbol===
Doğu-batı açılımlı bir [[hiperbol]] parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

<math display="block">\begin{align}
  x &= a\sec t + h \\
  y &= b\tan t + k\,,
\end{align}</math>

veya, [[rasyonel fonksiyon|rasyonel]] olarak,

<math display="block">\begin{align}
  x &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + h \\
  y &= b\frac{2t}{1 - t^2}  + k\,.
\end{align}</math>

Kuzey-güney açılımlı bir hiperbol parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

<math display="block">\begin{align}
  x &= b\tan t + h \\
  y &= a\sec t + k\,,
\end{align}</math>

veya, rasyonel olarak

<math display="block">\begin{align}
  x &= b\frac{2t}{1 - t^2} + h \\
  y &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + k\,.
\end{align}</math>

Tüm bu formüllerde {{math|(''h'' , ''k'')}} hiperbolün merkez koordinatları, {{mvar|a}} yarı büyük eksenin uzunluğu ve {{mvar|b}} yarı küçük eksenin uzunluğudur. Bu formüllerin rasyonel formlarında, sırasıyla {{math|(''-a'' , 0)}} ve {{math|(0 , ''-a'')}} noktalarının {{mvar|t}}'nin gerçek bir değeriyle temsil edilmediğine, {{mvar|t}} sonsuza giderken {{mvar|x}} ve {{mvar|y}}'nin limiti olduğuna dikkat edin.

===Hipotrokoid===
Bir [[hipotrokoid]], {{mvar|r}} yarıçaplı bir çembere bağlı bir noktanın, {{mvar|R}} yarıçaplı sabit bir çemberin içinde yuvarlanmasıyla izlenen bir eğridir; burada nokta, iç çemberin merkezinden {{mvar|d}} uzaklıktadır.

<gallery>
Dosya:2-circles hypotrochoid.gif|{{Ortala|{{math|1= ''r'' = ''d''}} olan bir hipotrokoid}}
Dosya:HypotrochoidOutThreeFifths.gif|{{Ortala|{{math|1= ''R'' = 5}}, {{math|1= ''r'' = 3}}, {{math|1= ''d'' = 5}} olan bir hipotrokoid}}
</gallery>

Hipotrokoidler için parametrik denklemler şunlardır:

<math display="block">\begin{align}
  x (\theta) &= (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right) \\
  y (\theta) &= (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right)\,.
\end{align}</math>

Bazı örnekler:
<gallery>
Image: Param1a 6 4 1 a2.jpg|<div class="center">{{math|1= ''R'' = 6}} {{math|1= ''r'' = 4}} {{math|1= ''d'' = 1}}</div>
Image: Param1a 7 4 1 a4.jpg|<div class="center">{{math|1= ''R'' = 7}} {{math|1= ''r'' = 4}} {{math|1= ''d'' = 1}}</div>
Image: Param1a 8 3 2 a3.jpg|<div class="center">{{math|1= ''R'' = 8}} {{math|1= ''r'' = 3}} {{math|1= ''d'' = 2}}</div>
Image: Param1a 7 4 2 a4.jpg|<div class="center">{{math|1= ''R'' = 7}} {{math|1= ''r'' = 4}} {{math|1= ''d'' = 2}}</div>
Image: Param1a 15 14 1 a14.jpg|<div class="center">{{math|1= ''R'' = 15}} {{math|1= ''r'' = 14}} {{math|1= ''d'' = 1}}</div>
</gallery>

==Üç boyutta örnekler==
[[Dosya:Animated_Parametric_Function.webm|küçükresim|upright=2|{{Ortala|Animasyonlu parametrik helezon}}]]

===Helezon===
[[Dosya:Parametric Helix.png|küçükresim|upright=1.36|sağ|{{Ortala|Parametrik helezon}}]]

Parametrik denklemler yüksek boyutlu uzaylarda [[eğri]]leri tanımlamak için uygundur. Örneğin:

<math display="block">\begin{align}
  x &= a \cos(t) \\
  y &= a \sin(t) \\
  z &= bt\,
\end{align}</math>

yarıçapı {{mvar|a}} olan ve dönüş başına {{math|2''{{pi}}b''}} birim yükselen üç boyutlu bir eğriyi, [[helezon]] tanımlar. Denklemler [[İki boyutlu uzay|düzlem]]de bir çember için olanlarla aynıdır.

Yukarıdaki gibi ifadeler genellikle şu şekilde yazılır:

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{r}(t) &= (x(t), y(t), z(t)) \\
  &= (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,,
\end{align}</math>

burada {{math|'''r'''}} üç boyutlu bir vektördür.

===Parametrik yüzeyler===
{{Ana| Parametrik yüzey}}

Büyük yarıçapı {{mvar|R}} ve küçük yarıçapı {{mvar|r}} olan bir [[torus]], parametrik olarak şu şekilde tanımlanabilir:

<math display="block">\begin{align}
x &= \cos(t)\left(R + r \cos(u)\right), \\
y &= \sin(t)\left(R + r \cos(u)\right), \\
z &= r \sin(u)\,.
\end{align}</math>

burada {{mvar|t}} ve {{mvar|u}} parametrelerinin her ikisi de {{math|0}} ile {{math|2''{{pi}}''}} arasında değişir.

<gallery>
Dosya:Torus.png|<div class="center">{{math|1=''R'' = 2}}, {{math|1=''r'' = 1/2}}</div>
</gallery>

{{mvar|u}}, {{math|0}} ile {{math|2''{{pi}}''}} arasında değişirken, yüzeydeki nokta torustaki delikten geçen kısa bir çember etrafında hareket eder. {{mvar|t}}, {{math|0}} ile {{math|2''{{pi}}''}} arasında değiştikçe yüzeydeki nokta torustaki deliğin etrafında uzun bir çember çizer.

==Vektörlerle örnek==
<math>\left( x_0, y_0, z_0 \right)</math> noktasından geçen ve <math> a \hat\mathbf{i} + b \hat\mathbf{j} + c \hat\mathbf{k}</math> vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi;<ref>{{Kitap kaynağı|başlık=Calculus: Single and Multivariable.|tarih=29 Ekim 2012|yayıncı=John Wiley|isbn=9780470888612|oclc=828768012|sayfalar=919}}</ref>

<math display="block">\begin{align}
x & = x_0 +a t \\
y & = y_0 +b t \\
z & = z_0 +c t
\end{align}</math>

şeklindedir.

== Eksik belirlenmiş doğrusal sistemler ==
{{mvar|n}} bilinmeyenli bir [[Doğrusal denklem sistemi|{{mvar|m}} doğrusal denklem sistemi]] birden fazla çözüme sahipse [[Eksik belirlenmiş sistem|eksik belirlenmiş]]tir. Bu durum, sistemin [[matris (matematik)|matris]] ve [[artırılmış matris]] aynı [[rank (lineer cebir)|rank]] {{mvar|r}}'ye sahip ve {{math|''r'' < ''m''}} olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda, {{math|''m'' - ''r''}} bilinmeyenleri parametre olarak seçilebilir ve tüm çözümleri, tüm bilinmeyenlerin seçilenlerin [[doğrusal birleşim]]i olarak ifade edildiği parametrik bir denklem olarak temsil eder.

Yani, bilinmeyenler <math>x_1, \ldots, x_n,</math> ise, çözümleri şu şekilde ifade etmek için bunları yeniden düzenleyebiliriz:<ref name=anton>
{{kitap kaynağı |soyadı=Anton |ad1=Howard |soyadı2=Rorres |ad2=Chris
|yıl=2014 |özgünyıl=1973 |başlık=Elementary Linear Algebra |seri=11th |yayıncı=Wiley |kısım=1.2 Gaussian Elimination |sayfalar=11-24|bölümurl=https://archive.org/details/LinearAlgebraAntonApplicationsVersion11thC2014Txtbk/page/n24/}}</ref>

<math display="block">
\begin{align}
x_1 &= \beta_1+\sum_{j=r+1}^n \alpha_{1,j}x_j\\
\vdots\\
x_r &= \beta_r+\sum_{j=r+1}^n \alpha_{r,j}x_j\\
x_{r+1} &= x_{r+1}\\
\vdots\\
x_n &= x_n.
\end{align}
</math>

Böyle bir parametrik denklem, sistemin çözümünün '''parametrik formu''' olarak adlandırılır.<ref name=anton/>

Çözümün parametrik formunu hesaplamak için standart yöntem, artırılmış matrisin [[Satır basamak formu#İndirgenmiş satır basamak formu|indirgenmiş satır eşelon formu]]nu hesaplamak için [[Gauss eliminasyonu]] kullanmaktır. Daha sonra parametre olarak kullanılabilecek bilinmeyenler, herhangi bir [[Katsayı#Doğrusal cebir|başat girdi]] içermeyen sütunlara karşılık gelenlerdir (yani bir satırdaki veya matristeki en soldaki sıfır olmayan giriş) ve parametrik form doğrudan çıkarılabilir.<ref name=anton/>

== Ayrıca bakınız ==
*[[Eğri]]
*[[Tahmin teorisi|Parametrik tahmin]]
*[[Konum (geometri)|Konum vektörü]]
*[[Vektör-değerli fonksiyon]]
*[[Diferansiyellenebilir eğri#Uzunluk ve doğal parametrizasyon|Yay uzunluğuna göre parametrizasyon]]
*[[Parametrik türev]]

==Kaynakça==
{{Kaynakça}}

==Dış bağlantılar==
*{{dmoz|Science/Math/Software/Graphing/|Graphing Software}}
*[http://danher6.100webspace.net/curvas/ Web application to draw parametric curves on the plane]

[[Kategori:Çok değişkenli hesap]]
[[Kategori:Denklemler]]