Parametrik denklem

Şablon:Ortala

Matematikte, bir parametrik denklem, bir grup niceliği parametreler olarak adlandırılan bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonları olarak tanımlar. Parametrik denklemler genellikle bir eğri veya yüzey gibi geometrik bir nesneyi oluşturan noktaların koordinatlarını ifade etmek için kullanılır ve sırasıyla parametrik eğri ve parametrik yüzey olarak adlandırılır. Bu gibi durumlarda, denklemler, toplu olarak nesnenin parametrik temsili veya parametrik sistem, veya parametrelendirilmesi (alternatif olarak parametrelendirme olarak yazılır) olarak adlandırılır.

Örneğin,

$$\begin{array}{cc}x& =\cos t\\ y& =\sin t\end{array}$$

denklemleri, Şablon:Mvar parametre olmak üzere birim çemberin parametrik bir temsilini oluşturur: Bir nokta Şablon:Math birim çember üzerindedir ancak ve ancak Şablon:Mvar değeri varsa bu iki denklem o noktayı oluşturur. Bazen skaler çıktı değişkenleri için parametrik denklemler vektörler içinde tek bir parametrik denklemde birleştirilir:

$$(x,y)=(\cos t,\sin t).$$

Parametrik gösterimler genellikle benzersiz değildir (aşağıdaki "İki boyutta örnekler" bölümüne bakın), bu nedenle aynı büyüklükler bir dizi farklı parametrelendirme ile ifade edilebilir.

Eğriler ve yüzeylere ek olarak parametrik denklemler, parametre sayısı manifoldun veya varyetenin boyutuna eşit olacak şekilde, daha yüksek boyutu olan manifoldları ve cebirsel varyeteleri tanımlayabilir ve denklem sayısı manifold veya varyetenin göz önünde bulundurulduğu uzayın boyutuna eşittir (eğriler için boyut "bir" ve "bir" parametre kullanılır, yüzeyler için boyut "iki" ve "iki" parametre vb.).

Parametrik denklemler genellikle kinematik alanında kullanılır; burada bir nesnenin yörüngesi parametre olarak zamana bağlı denklemlerle temsil edilir. Bu uygulama nedeniyle, tek bir parametre genellikle Şablon:Mvar olarak etiketlenir; ancak, parametreler diğer fiziksel büyüklükleri (geometrik değişkenler gibi) temsil edebilir veya kolaylık sağlamak için keyfi olarak seçilebilir. Parametrelendirmeler benzersiz ve tek değildir; birden fazla parametrik denklem kümesi aynı eğriyi belirtebilir.

Uygulamaları

Kinematik

Kinematikte, nesnelerin uzaydaki yolları genellikle parametrik eğriler olarak tanımlanır ve her bir uzaysal koordinat açıkça bağımsız bir parametreye (genellikle zaman) bağlıdır. Bu şekilde kullanıldığında, nesnenin koordinatları için parametrik denklemler kümesi toplu olarak konum için bir vektör-değerli fonksiyon oluşturur. Bu tür parametrik eğriler daha sonra terimsel olarak integrallenebilir ve türevlenebilir olabilir. Böylece, bir parçacığın konumu parametrik olarak şöyle tanımlanırsa

$$𝐫(t)=(x(t),y(t),z(t)),$$

o zaman hız şu şekilde; $$\begin{array}{cc}𝐯(t)& ={𝐫}^{\prime }(t)\\ & =(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)),\end{array}$$

ve ivme de aşağıdaki gibi bulunabilir $$\begin{array}{cc}𝐚(t)& ={𝐯}^{\prime }(t)={𝐫}^{″}(t)\\ & =(x^{″}(t),y^{″}(t),z^{″}(t)).\end{array}$$

Bilgisayar destekli tasarım

Parametrik denklemlerin bir diğer önemli kullanımı bilgisayar destekli tasarım (CAD) alanındadır. Örneğin, hepsi düzlemsel eğrileri tanımlamak için yaygın olarak kullanılan aşağıdaki üç gösterimi inceleyin.

Tür	Biçim	Örnek	Tanım
Açık	$y=f(x)$	$y=mx+b$	Doğru
Örtük	$f(x,y)=0$	${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$	Çember
Parametrik	$x=\frac{g(t)}{w(t)};$ $y=\frac{h(t)}{w(t)}$	$x=a_0+a_{1}t;$ $y=b_0+b_{1}t$	Doğru
		$x=a+r\cos t;$ $y=b+r\sin t$	Çember

Her bir gösterimin CAD uygulamaları için avantajları ve dezavantajları vardır.

Açık gösterim çok karmaşık olabilir, hatta mevcut olmayabilir. Dahası, geometrik dönüşümler ve özellikle de rotasyonlar altında iyi sonuç vermez. Öte yandan, parametrik bir denklem ve örtük bir denklem açık bir gösterimden kolayca çıkarılabileceğinden, basit bir açık gösterim mevcut olduğunda, diğer iki gösterimin avantajlarına sahiptir.

Örtük gösterimler eğri üzerinde noktalar oluşturmayı ve hatta gerçek noktalar olup olmadığına karar vermeyi zorlaştırabilir. Öte yandan, verilen bir noktanın bir eğri üzerinde olup olmadığına veya kapalı bir eğrinin içinde mi yoksa dışında mı olduğuna karar vermek için çok uygundurlar.

Bu tür kararlar parametrik bir gösterimle zor olabilir, ancak parametrik gösterimler bir eğri üzerinde noktalar oluşturmak ve bunu çizmek için en uygun olanıdır.

Tam sayı geometrisi

Tam sayı geometrisi alanındaki çok sayıda problem parametrik denklemler kullanılarak çözülebilir. Bu tür klasik bir çözüm Öklid'in dik üçgenleri, kenarlarının Şablon:Math ve hipotenüslerinin Şablon:Math uzunlukları aralarında asal tam sayılar olacak şekilde parametrize etmesidir. Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar çift olmadığından (aksi takdirde Şablon:Math ve Şablon:Math çift olmazdı), Şablon:Mvar çift olacak şekilde değiştirilebilir ve parametrelendirme şu şekilde olur:

$$\begin{array}{cc}a& =2mn\\ b& =m^2-n^2\\ c& =m^2+n^2,\end{array}$$

burada Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar parametreleri her ikisi de tek olmayan pozitif aralarında asal tam sayılardır.

Şablon:Math ve Şablon:Mvar'yi rastgele bir pozitif tam sayı ile çarparak, üç kenarı tam sayı uzunluğunda olan tüm dik üçgenlerin parametrizasyonunu elde ederiz.

Örtükleştirme

Bir dizi parametrik denklemin tek bir örtük denkleme dönüştürülmesi, Şablon:Mvar değişkeninin eşzamanlı $x=f(t),y=g(t).$ denklemlerinden çıkarılmasını içerir. Bu işlem, örtükleştirme (Şablon:Dil) olarak adlandırılır. Bu denklemlerden biri Şablon:Mvar için çözülebilirse, elde edilen ifade diğer denklemde yerine konularak yalnızca Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar içeren bir denklem elde edilebilir: $y=g(t)$ çözülerek $t=g^{-1}(y)$ elde edilir ve bu $x=f(t)$ içinde kullanılırsa $x=f(g^{-1}(y)),$ açık denklemini verirken, daha karmaşık durumlarda $h(x,y)=0.$ şeklinde örtük bir denklem elde edilir.

Eğer parametrizasyon,

$$x=\frac{p(t)}{r(t)},y=\frac{q(t)}{r(t)},$$

rasyonel fonksiyonları tarafından veriliyorsa bir resültant hesaplaması örtükleştirmeye izin verir, burada Şablon:Mvar, Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar küme bazında aralarında asal polinomlarıdır. Daha doğrusu, örtük denklem Şablon:Math ve Şablon:Math'nin Şablon:Mvar'ye göre resültantıdır.

Daha yüksek boyutlarda (ikiden fazla koordinat veya birden fazla parametre), rasyonel parametrik denklemlerin örtükleştirilmesi Gröbner temeli hesaplamasıyla yapılabilir; bkz Şablon:Slink.

Yarıçapı Şablon:Mvar olan çember örneğini ele alırsak, parametrik denklemler;

$$\begin{array}{cc}x& =a\cos (t)\\ y& =a\sin (t)\end{array}$$

Şablon:Math ve Şablon:Math terimlerinde Pisagor trigonometrik özdeşliği aracılığıyla örtükleştirilebilir.

$$\begin{array}{cc}\frac{x}{a}& =\cos (t)\\ \frac{y}{a}& =\sin (t)\\ \end{array}$$

değerlerini

$$\cos (t{)}^2+\sin (t{)}^2=1,$$

özdeşliğinde yerine koyarak

$${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{a}\right)}^2=1,$$

elde ederiz ve buradan

$$x^2+y^2=a^2,$$

bulunur. Bu da orijin merkezli bir çemberin standart denklemidir.

İki boyutta örnekler

Parabol

Bir parabol için en basit denklem olan,

$$y=x^2$$

serbest bir parametre Şablon:Mvar kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

$$x=t,y=t^2\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }.$$

elde edilir.

Açık denklemler

Daha genel olarak, açık bir denklemle verilen herhangi bir eğri,

$$y=f(x)$$

serbest bir parametre Şablon:Mvar kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

$$x=t,y=f(t)\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }.$$

bulunur.

Çember

Daha kapsamlı bir örnek ise aşağıdaki gibidir. Sıradan (Kartezyen) denklemle tanımlanan birim çemberi düşünün;

$$x^2+y^2=1.$$

Bu denklem aşağıdaki gibi parametrelendirilebilir:

$$(x,y)=(\cos (t),\sin (t))\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}0\le t<2\pi .$$

Kartezyen denklem ile bir noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol etmek daha kolaydır. Parametrik seçenek ile bir çizim üzerinde noktalar elde etmek daha kolaydır.

Bazı bağlamlarda, eğer varsa, sadece rasyonel fonksiyonları (yani iki polinomun kesirlerini) içeren parametrik denklemler tercih edilir. Çember durumunda, böyle bir rasyonel parametrelendirme şöyledir:

$$\begin{array}{cc}x& =\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ y& =\frac{2t}{1+t^2}.\end{array}$$

Bu parametrik denklem çifti ile Şablon:Math noktası Şablon:Mvar'nin gerçek değeri ile değil, Şablon:Mvar sonsuza yöneldiğinde Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar'nin limit değeri ile temsil edilir.

Elips

Yarı eksenleri Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar olan kanonik konumdaki bir elips (merkezi orijinde, ana eksen Şablon:Mvar ekseni boyunca) parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

$$\begin{array}{cc}x& =a\cos t\\ y& =b\sin t.\end{array}$$

Genel konumdaki bir elips şu şekilde ifade edilebilir:

$$\begin{array}{cccccc}x=& & X_{\mathrm{c}}& +a\cos t\cos \phi & & -b\sin t\sin \phi \\ y=& & Y_{\mathrm{c}}& +a\cos t\sin \phi & & +b\sin t\cos \phi \end{array}$$

Şablon:Mvar parametresi Şablon:Math ile Şablon:Math arasında değişir. Burada Şablon:Math elipsin merkezidir ve Şablon:Mvar Şablon:Mvar ekseni ile elipsin ana ekseni arasındaki açıdır.

Her iki parametrelendirme de tanjant yarım-açı formülü kullanılarak ve

$\tan \frac{t}{2}=u.$

alınarak rasyonel yapılabilir.

Lissajous eğrisi

Şablon:Ortala

Bir Lissajous eğrisi elipse benzer, ancak Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar sinüzoidler fazda değildir. Kanonik konumda, bir Lissajous eğrisi şu şekilde verilir:

$\begin{array}{cc}x& =a\cos (k_{x}t)\\ y& =b\sin (k_{y}t)\end{array}$

burada Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar şeklin lob sayısını tanımlayan sabitlerdir.

Hiperbol

Doğu-batı açılımlı bir hiperbol parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

$$\begin{array}{cc}x& =a\sec t+h\\ y& =b\tan t+k,\end{array}$$

veya, rasyonel olarak,

$$\begin{array}{cc}x& =a\frac{1+t^2}{1-t^2}+h\\ y& =b\frac{2t}{1-t^2}+k.\end{array}$$

Kuzey-güney açılımlı bir hiperbol parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

$$\begin{array}{cc}x& =b\tan t+h\\ y& =a\sec t+k,\end{array}$$

veya, rasyonel olarak

$$\begin{array}{cc}x& =b\frac{2t}{1-t^2}+h\\ y& =a\frac{1+t^2}{1-t^2}+k.\end{array}$$

Tüm bu formüllerde Şablon:Math hiperbolün merkez koordinatları, Şablon:Mvar yarı büyük eksenin uzunluğu ve Şablon:Mvar yarı küçük eksenin uzunluğudur. Bu formüllerin rasyonel formlarında, sırasıyla Şablon:Math ve Şablon:Math noktalarının Şablon:Mvar'nin gerçek bir değeriyle temsil edilmediğine, Şablon:Mvar sonsuza giderken Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar'nin limiti olduğuna dikkat edin.

Hipotrokoid

Bir hipotrokoid, Şablon:Mvar yarıçaplı bir çembere bağlı bir noktanın, Şablon:Mvar yarıçaplı sabit bir çemberin içinde yuvarlanmasıyla izlenen bir eğridir; burada nokta, iç çemberin merkezinden Şablon:Mvar uzaklıktadır.

• 
  Şablon:Ortala
• 
  Şablon:Ortala

Hipotrokoidler için parametrik denklemler şunlardır:

$$\begin{array}{cc}x(\theta )& =(R-r)\cos \theta +d\cos \left(\frac{R-r}{r}\theta \right)\\ y(\theta )& =(R-r)\sin \theta -d\sin \left(\frac{R-r}{r}\theta \right).\end{array}$$

Bazı örnekler:

• 
  Şablon:Math Şablon:Math Şablon:Math
• 
  Şablon:Math Şablon:Math Şablon:Math
• 
  Şablon:Math Şablon:Math Şablon:Math
• 
  Şablon:Math Şablon:Math Şablon:Math
• 
  Şablon:Math Şablon:Math Şablon:Math

Üç boyutta örnekler

Dosya:Animated Parametric Function.webm

Helezon

Şablon:Ortala

Parametrik denklemler yüksek boyutlu uzaylarda eğrileri tanımlamak için uygundur. Örneğin:

$$\begin{array}{cc}x& =a\cos (t)\\ y& =a\sin (t)\\ z& =bt\end{array}$$

yarıçapı Şablon:Mvar olan ve dönüş başına Şablon:Math birim yükselen üç boyutlu bir eğriyi, helezon tanımlar. Denklemler düzlemde bir çember için olanlarla aynıdır.

Yukarıdaki gibi ifadeler genellikle şu şekilde yazılır:

$$\begin{array}{cc}𝐫(t)& =(x(t),y(t),z(t))\\ & =(a\cos (t),a\sin (t),bt),\end{array}$$

burada Şablon:Math üç boyutlu bir vektördür.

Parametrik yüzeyler

Büyük yarıçapı Şablon:Mvar ve küçük yarıçapı Şablon:Mvar olan bir torus, parametrik olarak şu şekilde tanımlanabilir:

$$\begin{array}{cc}x& =\cos (t)(R+r\cos (u)),\\ y& =\sin (t)(R+r\cos (u)),\\ z& =r\sin (u).\end{array}$$

burada Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar parametrelerinin her ikisi de Şablon:Math ile Şablon:Math arasında değişir.

• 
  Şablon:Math, Şablon:Math

Şablon:Mvar, Şablon:Math ile Şablon:Math arasında değişirken, yüzeydeki nokta torustaki delikten geçen kısa bir çember etrafında hareket eder. Şablon:Mvar, Şablon:Math ile Şablon:Math arasında değiştikçe yüzeydeki nokta torustaki deliğin etrafında uzun bir çember çizer.

Vektörlerle örnek

$(x_0,y_0,z_0)$ noktasından geçen ve $a\widehat{𝐢}+b\widehat{𝐣}+c\widehat{𝐤}$ vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi;

$$\begin{array}{cc}x& =x_0+at\\ y& =y_0+bt\\ z& =z_0+ct\end{array}$$

şeklindedir.

Eksik belirlenmiş doğrusal sistemler

Şablon:Mvar bilinmeyenli bir [[Doğrusal denklem sistemi|Şablon:Mvar doğrusal denklem sistemi]] birden fazla çözüme sahipse eksik belirlenmiştir. Bu durum, sistemin matris ve artırılmış matris aynı rank Şablon:Mvar'ye sahip ve Şablon:Math olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda, Şablon:Math bilinmeyenleri parametre olarak seçilebilir ve tüm çözümleri, tüm bilinmeyenlerin seçilenlerin doğrusal birleşimi olarak ifade edildiği parametrik bir denklem olarak temsil eder.

Yani, bilinmeyenler $x_1,\dots ,x_n,$ ise, çözümleri şu şekilde ifade etmek için bunları yeniden düzenleyebiliriz:

$$\begin{array}{cc}{x}_1& ={\beta }_1+\sum _{j=r+1}^n{\alpha }_{1,j}{x}_j\\ ⋮\\ x_r& ={\beta }_r+\sum _{j=r+1}^n{\alpha }_{r,j}{x}_j\\ x_{r+1}& =x_{r+1}\\ ⋮\\ x_n& =x_n.\end{array}$$

Böyle bir parametrik denklem, sistemin çözümünün parametrik formu olarak adlandırılır.

Çözümün parametrik formunu hesaplamak için standart yöntem, artırılmış matrisin indirgenmiş satır eşelon formunu hesaplamak için Gauss eliminasyonu kullanmaktır. Daha sonra parametre olarak kullanılabilecek bilinmeyenler, herhangi bir başat girdi içermeyen sütunlara karşılık gelenlerdir (yani bir satırdaki veya matristeki en soldaki sıfır olmayan giriş) ve parametrik form doğrudan çıkarılabilir.

Ayrıca bakınız

• Eğri
• Parametrik tahmin
• Konum vektörü
• Vektör-değerli fonksiyon
• Yay uzunluğuna göre parametrizasyon
• Parametrik türev

Dış bağlantılar

• Şablon:Dmoz
• Web application to draw parametric curves on the plane