Düzlemsel eğri

Matematikte, bir düzlem eğrisi veya düzlemsel eğri, bir düzlem içinde yer alan (yani tüm noktaları düzlem içinde kalan) bir eğri olup söz konusu düzlem, bir Öklid düzlemi, bir afin düzlem veya bir projektif düzlem olabilir. En sık çalışılan durumlar, düzgün düzlem eğrileri (parçalı düzgün düzlem eğrileri dahil) ve cebirsel düzlem eğrisidir.

Düzlem eğrileri ayrıca Jordan eğrisini (düzlemin bir bölgesini çevreleyen ancak düzgün olması gerekmeyen eğriler) ve sürekli fonksiyonların grafiklerini de içerir.

Sembolik gösterim

Bir düzlem eğrisi genellikle Kartezyen koordinatlarda belirli bir f fonksiyonu için $f (x, y) = 0$ şeklinde bir örtük denklem ile temsil edilebilir. Bu denklem y veya x için açık bir şekilde çözülebilirse -yani, belirli bir g veya h fonksiyonu için $y = g (x)$ veya $x = h (y)$ olarak yeniden yazılabilirse- bu, temsilin alternatif, açık bir biçimini sağlar. Bir düzlem eğrisi genellikle Kartezyen koordinatlarda, belirli $x (t)$ ve $y (t)$ fonksiyonları için $(x, y) = (x (t), y (t))$ biçimindeki bir parametrik denklem ile de gösterilebilir.

Düzlem eğrileri bazen her noktanın konumunu bir açı ve orijinden uzaklık cinsinden ifade eden kutupsal koordinatlar gibi alternatif koordinat sistemi ile de gösterilebilir.

Düzgün düzlem eğrisi

Düzgün düzlem eğrisi, gerçel Şablon:Tmath Öklid düzlemi içinde bir eğridir ve tek boyutlu bir düzgün manifolddur. Bu, düzgün bir düzlem eğrisinin "yerel olarak bir doğru gibi görünen" bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir, yani her noktanın yakınında, bir düzgün fonksiyon tarafından bir doğruya eşlenebilir.

Eşdeğer olarak, düzgün bir düzlem eğrisi yerel olarak $f (x, y) = 0,$ denklemiyle verilebilir, burada Şablon:Tmath bir düzgün fonksiyondur ve Şablon:Tmath ile Şablon:Tmath kısmi türevleri, eğrinin bir noktasında asla her ikisi birlikte 0 değildir.

Cebirsel düzlem eğrisi

Cebirsel düzlem eğri, bir polinom denklemi $f (x, y) = 0$ (veya $F (x, y, z) = 0,$ ile verilen afin veya projektif düzlem içindeki bir eğridir, burada Şablon:Mvar projektif durumda bir homojen polinomdur).

Cebirsel eğriler, 18. yüzyıldan beri kapsamlı bir şekilde çalışılmaktadır.

Her cebirsel düzlem eğrisinin bir derecesi vardır, tanımlayıcı denklemin derece, bir cebirsel olarak kapalı cisim olması durumunda, eğrinin genel konumdaki bir doğruyla kesişme sayısına eşittir. Örneğin, $x^{2} + y^{2} = 1$ denklemiyle verilen dairenin derecesi 2'dir.

Derecesi 2 olan tekil olmayan düzlem cebirsel eğrilere konik kesitler denir ve bunların izdüşümsel tamamlanması $x^{2} + y^{2} = 1$ çemberinin izdüşümsel tamamlanmasıyla izomorfiktir (yani Şablon:Kayma Derecesi 3 olan düzlem eğrilere kübik düzlem eğriler ve eğer tekil değillerse eliptik eğriler denir. Derecesi 4 olanlar kuartik düzlem eğriler olarak adlandırılır.

Örnekler

Çok sayıda düzlem eğrisi örneği Eğriler galerisinde gösterilmiş ve Eğriler listesinde listelenmiştir. Derecesi 1 veya 2 olan cebirsel eğriler burada gösterilmektedir (derecesi 3'ten küçük olan cebirsel eğriler her zaman bir düzlem içinde yer alır):

Ad	Örtük denklem	Parametrik denklem	Bir fonksiyon olarak
Düz çizgi	$a x + b y = c$	$(x, y) = (x_{0} + α t, y_{0} + β t)$	$y = m x + c$
Çember	$x^{2} + y^{2} = r^{2}$	$(x, y) = (r \cos t, r \sin t)$
Parabol	$y - x^{2} = 0$	$(x, y) = (t, t^{2})$	$y = x^{2}$
Elips	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$(x, y) = (a \cos t, b \sin t)$
Hiperbol	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$(x, y) = (a \cosh t, b \sinh t)$