Pauli matrisleri sayfasının kaynağını görüntüle

'''Pauli matrisleri''' 2 × 2' lik, [[Karmaşık sayı|karmaşık]] sayılar içeren [[Hermisyen matris|Hermisyen]] ve [[Üniter matris|üniter]] [[Matris (matematik)|matrislerden]] oluşan bir settir. Genellikle [[Yunan alfabesi]]ndeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:
:<math>
\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
</math>

:<math>
\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
</math>

:<math>
\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}
</math>

İsim onları bulan [[Wolfgang Pauli|Wolfgang Pauli' den]] gelmektedir.

== Özellikler ==
''I'' [[birim matris]] olmak üzere.
:<math>
\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I</math>

* Pauli matrislerinin [[determinant]] ve [[İz (matematik)|izleri]]:

:<math>\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \ i = 1, 2, 3
\end{matrix}</math>

Dolayısıyla bu matrislerin [[özdeğer]]lerinin σ<sub>''i''</sub> ±1 olduğu açıkça görülebilir.

* Birim matris '''I''' (bazen σ<sub>0</sub> olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel [[Hilbert uzayı]]nda, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

=== Komutasyon bağıntıları ===
:<math>\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!</math>
:<math>\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!</math>
:<math>\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!</math>
:<math>\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i \quad i\ne j\,\!</math>

* Yukarıdaki ifadeler kullanılarak <math>\varepsilon_{ijk}</math> [[Levi-Civita sembolü]], <math>\delta_{ij}</math> [[Kronecker delta]] ve I is the birim matris olmak üzere şu [[komutatör|komutasyon]] ve [[antikomutatör|anti komutasyon]] ilişkileri elde edilir:

:<math>\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex]
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I
\end{matrix}</math>

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

:<math>\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,</math>.

Pauli [[vektör]]ü şu şekilde tanımlıdır:
:<math>\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,</math>

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:
::<math>(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad (1) \,</math>
:(''a'' ve ''b'' vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
:en genel tanımıyla <math>\vec{a} = a \hat{n} </math> olarak verilen bir ''a'' vektörü için
::<math>e^{i (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \sigma) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,</math>

<div style="clear:both;width:65%;" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background-color:#CCCCFF; text-align:left; font-size:larger;">(1)' in ispatı</div>
<div class="NavContent" style="text-align:left;">
:{|
|<math>(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) \,</math>
|<math> = a_i \sigma_i b_j \sigma_j \,</math>
|-
|
|<math> = a_i b_j \sigma_i \sigma_j \,</math>
|-
|
|<math> = a_i b_j \left( \delta_{ij} + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \right) \,</math>
|-
|
|<math> = a_i b_j \delta_{ij} + i \sigma_k \varepsilon_{ijk} a_i b_j \,</math>
|-
|
|<math> = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} )\,</math>
|}
</div>
</div>
<div style="clear:both;width:65%;" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background-color:#FFFAF0; text-align:left; font-size:larger;">(2)' nin ispatı</div>
<div class="NavContent" style="text-align:left;">
Çift kuvvetler için
:<math>(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \,</math> 
tek kuvvetler için
:<math>(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \,</math>

Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin [[sinüs]] ve [[kosinüs]] [[fonksiyon]]larının [[Taylor açılımı|Taylor açılımlarını]] verdiği anımsanırsa:
:{|
|<math>e^{ix} \,</math>
|<math>= \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n x^n}{n!}} \,</math>
|-
|
|<math>= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,</math>
|}
<math>x = a (\hat{n} \cdot \sigma) \,</math> yerine koyularak
::<math>= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \sigma)^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \sigma)^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,</math>
::<math>= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{2n!}} + i (\hat{n}\cdot \sigma) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,</math>
sonuçta,
:<math>e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,</math>
ifadesine ulaşılır.
</div>
</div>

== Fizik ==
[[Kuantum mekaniği]]nde Pauli matrisleri [[spin (fizik)|spin]] ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin [[İşlemci (matematik)|operatörleri]] bu matrislerle verilirler.

<math>S_i = \frac{ \hbar }{2}\sigma_i \quad i=1,2,3</math>

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin <math>\pm \hbar /2</math> olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için [[Stern-Gerlach deneyi]] incelenebilir.

[[Kategori:Simetri]]
[[Kategori:Matrisler]]