Pauli matrisleri

Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2={\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3={\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.

Özellikler

I birim matris olmak üzere.

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

• Pauli matrislerinin determinant ve izleri:

$\begin{array}{cccc}\det ({\sigma }_i)& =& -1& \\ \mathrm{Tr}({\sigma }_i)& =& 0& i=1,2,3\end{array}$

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σ_i ±1 olduğu açıkça görülebilir.

• Birim matris I (bazen σ₀ olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

Komutasyon bağıntıları

${\sigma }_1{\sigma }_2=i{\sigma }_3$

${\sigma }_3{\sigma }_1=i{\sigma }_2$

${\sigma }_2{\sigma }_3=i{\sigma }_1$

${\sigma }_i{\sigma }_j=-{\sigma }_j{\sigma }_{i}i\ne j$

• Yukarıdaki ifadeler kullanılarak ${\epsilon }_{ijk}$ Levi-Civita sembolü, ${\delta }_{ij}$ Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:

$\begin{array}{ccc}[{\sigma }_i,{\sigma }_j]& =& 2i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k\\ \{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}& =& 2{\delta }_{ij}\cdot I\end{array}$

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

${\sigma }_i{\sigma }_j={\delta }_{ij}\cdot I+i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k$.

Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:

$\overrightarrow{\sigma }={\sigma }_1\hat{x}+{\sigma }_2\hat{y}+{\sigma }_3\hat{z}$

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

$(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma })(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\sigma })=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})(1)$

(a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)

en genel tanımıyla $\overrightarrow{a}=a\hat{n}$ olarak verilen bir a vektörü için

$e^{i(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma })}=\cos a+i(\hat{n}\cdot \sigma )\sin a(2)$

(1)' in ispatı

$(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{\sigma })(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{\sigma })$	$=a_i{\sigma }_i{b}_j{\sigma }_j$
	$=a_i{b}_j{\sigma }_i{\sigma }_j$
	$=a_i{b}_j({\delta }_{ij}+i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k)$
	$=a_i{b}_j{\delta }_{ij}+i{\sigma }_k{\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j$
	$=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})$

(2)' nin ispatı

Çift kuvvetler için

$(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n}=I$

tek kuvvetler için

$(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }{)}^{2n+1}=\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma }$

Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:

$e^{ix}$	$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^n{x}^n}{n!}$
	$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$x=a(\hat{n}\cdot \sigma )$ yerine koyularak

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(a\hat{n}\cdot \sigma {)}^{2n}}{2n!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(a\hat{n}\cdot \sigma {)}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{a}^{2n}}{2n!}+i(\hat{n}\cdot \sigma )\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{a}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

sonuçta,

$e^{ia(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })}=\cos a+i(\hat{n}\cdot \overrightarrow{\sigma })\sin a$

ifadesine ulaşılır.

Fizik

Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

$S_i=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_{i}i=1,2,3$

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin $\pm \hslash /2$ olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.