Rolle teoremi sayfasının kaynağını görüntüle

{{Kalkülüs}}
[[Dosya:RTCalc.svg|küçükresim|upright=1.36|sağ|{{Ortala|Eğer [[reel sayı|gerçel]]-değerli bir {{mvar|f}} fonksiyonu, {{math|[''a'', ''b'']}} [[Aralık (matematik)#Kapalı aralık|kapalı aralığı]]nda [[sürekli fonksiyon|sürekli]], {{math|(''a'', ''b'')}} [[Aralık (matematik)#Açık aralık|açık aralığı]]nda [[Türevlenebilirlik|türevlenebilir]] ve {{math|1=''f&thinsp;''(''a'') = ''f&thinsp; ''(''b'')}} ise, {{math|(''a'', ''b'')}} açık aralığında öyle bir {{mvar|c}} vardır ki {{math|1=''f&thinsp;''′(''c'') = 0}} olur.}}]]

[[Kalkülüs]]te, '''Rolle teoremi''' veya '''Rolle önsavı''' temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip gerçel değerli herhangi bir  [[türevlenebilir fonksiyon]]a bu iki noktanın aralarındaki noktalarda çizilen teğet doğrulardan eğiminin en az birinin sıfır olduğu. Böyle bir nokta, [[Durgunluk noktası|durağan nokta]] olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır ve aynı zamanda ''kritik nokta'' olarak da bilinir. Teorem adını [[Michel Rolle]]'den almıştır.

== Teoremin standart hâli==
Eğer [[reel sayı|gerçel]] değerli bir {{mvar|f}} fonksiyonu, {{math|[''a'', ''b'']}} [[Aralık (matematik)#Kapalı aralık|kapalı aralığı]]nda [[sürekli fonksiyon|sürekli]], {{math|(''a'', ''b'')}} [[Aralık (matematik)#Açık aralık|açık aralığı]]nda [[Türevlenebilirlik|türevlenebilir]] ve {{math|1=''f&thinsp;''(''a'') = ''f&thinsp; ''(''b'')}} ise, {{math|(''a'', ''b'')}} açık aralığında <math display=“block”>f'(c) = 0</math> sağlayan bir {{mvar|c}} vardır.

Rolle teoreminin bu hâli, [[ortalama değer teoremi]]'nin özel bir durumudur ve aynı zamanda [[ortalama değer teoremi]] kanıtlamak için kullanılır. Teorem, aynı zamanda [[Taylor teoremi]]nin ispatı için de temel oluşturur.

== Tarihçe ==
Teorem adını [[Michel Rolle]]'den alsa da, Rolle'ün 1691 tarihli ispatı yalnızca [[polinom]]ları kapsıyordu. İspâtında, hayatının o döneminde yanlış olduğunu düşündüğü [[Diferansiyel kalkülüs|diferansiyel hesap]] yöntemlerini kullanmamıştır. Teorem ilk olarak 1823 yılında [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]] tarafından [[ortalama değer teoremi]]nin ispatının bir sonucu olarak ispatlanmıştır.<ref>{{web kaynağı |ad=A. |soyadı=Besenyei |başlık=Ortalama değer teoreminin kısa tarihi |tarih=17 Eylül 2012 |url=https://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf |erişimtarihi=1 Ekim 2024 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20210506211038/https://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf |arşivtarihi=6 Mayıs 2021 |ölüurl=hayır }}</ref> ''Rolle teoremi'' adı ilk olarak 1834'te Alman [[Moritz Wilhelm Drobisch]] ve 1846'da İtalyan [[Giusto Bellavitis]] tarafından kullanılmıştır.<ref>Bkz. {{kitap kaynağı |ad=Florian |soyadı=Cajori |yazarbağı=Florian Cajori |başlık=A History of Mathematics |yıl=1999 |sayfa=224 |yayıncı=American Mathematical Soc. |isbn=9780821821022 |url=https://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&pg=RA1-PA119-IA5 }}</ref>

== Örnekler ==

===Birinci örnek===
[[Dosya:semicircle.svg|küçükresim|upright=1.36|{{Ortala|Yarıçapı {{mvar|r}} olan bir yarım çember}}]]

Bir {{math|''r'' > 0}} yarıçapı için

<math display="block">f(x)=\sqrt{r^2 - x^2},\quad x \in [-r, r].</math>

fonksiyonu göz önüne alınısın.
Bu fonksiyonun [[Fonksiyon grafiği|grafiği]], orijin merkezli üst [[yarım çember]]dir. Bu fonksiyon {{math|[-''r'', ''r'']}} kapalı aralığında süreklidir ve {{math|(-''r'', ''r'')}} açık aralığında türevlenebilir, ancak {{math|-''r''}} ve {{mvar|r}} uç noktalarında türevlenemez. {{math|1=''f&thinsp;''(-''r'') = ''f&thinsp;''(''r'')}} olduğundan, Rolle teoremi geçerlidir ve bu yüzden {{mvar|f}} türevinin sıfır olduğu bir nokta vardır. Gerçekten de, 
:<math>f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}</math>
olur ve <math>f'(0)=0</math> sağlanır.

Teorem, [[fonksiyon]] uç noktalarda türevlenemediğinde bile geçerlidir çünkü sadece fonksiyonun açık aralıkta türevlenebilir olmasını gerektirir.

===İkinci örnek===
[[Dosya:Absolute value.svg|küçükresim|upright=1.36|{{Ortala|Mutlak değer fonksiyonunun grafiği}}]]

Eğer türevlenebilirlik aralığın bir iç noktasında yoksa, Rolle teoreminin sonucu geçerli olmayabilir.

<math display="block">f(x) = |x|,\quad x \in [-1, 1].</math>

[[mutlak değer]] fonksiyonu ele alınsın.

O zaman {{math|1=''f&thinsp;''(-1) = ''f&thinsp;''(1)}}, ancak -1 ile 1 arasında {{math|''f&thinsp;''′(''c'')}}nin  sıfır olduğu bir {{mvar|c}} yoktur. Bunun nedeni, bu fonksiyonun sürekli olmasına rağmen {{math|1=''x'' = 0}}'da türevlenebilir olmamasıdır. {{mvar|f}}'nin türevi {{math|1=''x'' = 0}}'da işaret değiştirir, ancak 0 değerine ulaşmaz. Teorem bu fonksiyona uygulanamaz çünkü fonksiyonun açık aralıktaki her {{mvar|x}} için türevlenebilir olması gerektiği koşulunu sağlamaz. Bununla birlikte, Rolle teoreminden türevlenebilirlik şartı çıkarıldığında, {{mvar|f}} yine de {{math|(''a'', ''b'')}} açık aralığında bir [[Kritik nokta (matematik)|kritik nokta]]ya sahip olacaktır. Elbette, bu durumda fonksiyon ya açık aralıktaki her noktada türevli olacaktır ya da bu açık aralıktaki en az bir noktada türevli olmayacaktır. Her iki durumda da, bir noktada türevin sıfır olması ya da türevin tanımsız olmasıyla, kritik noktanın varlığı elde edilmiş olur.

== Genelleştirme ==
İkinci örnek, Rolle teoreminin aşağıdaki genellemesini göstermektedir:

Kapalı bir {{math|[''a'', ''b'']}} aralığında {{math|1=''f&thinsp;''(''a'') = ''f&thinsp;''(''b'')}} olan gerçel değerli, sürekli bir {{mvar|f}} fonksiyonu olsun. Bu durumda, {{math|(''a'', ''b'')}} açık aralığındaki her {{mvar|x}} için [[Tek taraflı limit|sağdan limit]],
<math display="block">f'(x^+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
ve soldan limit,
<math display="block">f'(x^-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math><!-- The notation "lim as h tends to 0 minus" means h is negative. See example 2 at [[One-sided limit#Examples]] -->
ise [[Genişletilmiş reel sayı doğrusu|genişletilmiş reel sayılar]]da, yâni, {{math|[-∞, ∞]}}'de değer alacaktır. O zaman, {{math|(''a'', ''b'')}} açık aralığında bir {{mvar|c}} sayısı için 
<math display="block">f'(c^+)\quad\text{ve}\quad f'(c^-)</math>
limitlerinden biri genişletilmiş gerçel sayılarda negatif olmazken {{math|≥ 0}} diğeri pozitif olmayacaktır {{math|≤ 0}}. Eğer sağdan ve soldan limitler her {{mvar|x}} için birbirine eşitse, o zaman en azından bir {{mvar|c}} noktasında birbirine eşittir. Dolayısıyla, {{mvar|f}}'nin  {{mvar|c}}'de türevi vardır ve sıfıra eşittir.

=== Açıklamalar===
* Eğer {{mvar|f}} [[dışbükey fonksiyon|dışbükey]] veya [[içbükey fonksiyon|içbükey]] ise, o zaman sağ ve sol türevler her iç noktada mevcuttur, dolayısıyla yukarıdaki limitler mevcuttur ve gerçel sayılardır.
* Teoremin bu genelleştirilmiş versiyonu, tek taraflı türevler [[tekdüze fonksiyon|monoton olarak artan]] olduğunda [[dışbükey fonksiyon|konveksliği]] kanıtlamak için yeterlidir:<ref>{{kaynak |soyadı=Artin |ad=Emil |yazarbağı=Emil Artin |translator-first= Michael |translator-last= Butler |başlık=The Gamma Function |özgünyıl=1931 |yıl=1964 |yayıncı=[[Henry Holt and Company|Holt, Rinehart and Winston]] |sayfalar=3-4}}.</ref> <math display="block">f'(x^-) \le f'(x^+) \le f'(y^-),\quad x < y.</math>

== Genelleştirilmiş versiyonun ispatı ==
Rolle teoreminin standart versiyonu ile genellemesinin ispatı çok benzer olduğundan, genellemeyi ispatlıyoruz.

İspatın ana fikri, eğer {{math|1=''f&thinsp;''(''a'') = ''f&thinsp; ''(''b'')}} ise, {{mvar|f}} {{mvar|a}} ile {{mvar|b}} arasında bir yerde, örneğin {{mvar|c}}'de [[maksimum ve minimum|bir maksimum veya bir minimum]] değerine ulaşmalı ve fonksiyon {{mvar|c}}'de artmaktan azalmaya (veya tam tersi) değişmelidir. Özellikle, eğer türev varsa, {{mvar|c}}'de sıfır olmalıdır.

Varsayım olarak, {{mvar|f}} fonksiyonu, {{math|[''a'', ''b'']}} üzerinde süreklidir ve [[uç değer teoremi]] ile {{math|[''a'', ''b'']}} içinde hem maksimumuna hem de minimumuna ulaşır. Bunların her ikisi de {{math|[''a'', ''b'']}}'nin uç noktalarında elde edilirse, {{mvar|f}} fonksiyonu {{math|[''a'', ''b'']}} üzerinde [[sabit fonksiyon|sabit]]tir ve bu nedenle {{mvar|f}}'nin türevi {{math|(''a'', ''b'')}}'nin her noktasında sıfırdır.

Bu durumda maksimumun {{math|(''a'', ''b'')}}'nin bir [[iç (topoloji)|iç nokta]]sı olan {{mvar|c}}'de elde edildiğini varsayalım (minimum için argüman çok benzerdir, sadece {{math|-''f&thinsp;''}} olarak düşünün). Yukarıdaki sağ ve sol limitleri ayrı ayrı inceleyeceğiz.

{{math|''c'' + ''h''}}, {{math|[''a'', ''b'']}} içinde olacak şekilde, gerçel bir {{mvar|h}} için  {{math|''f&thinsp; ''(''c'' + ''h'')}} değeri {{math|''f&thinsp;''(''c'')}} değerinden küçük veya ona eşittir, çünkü varsayım dolayısıyla fonksiyon {{mvar|c}}'de maksimuma ulaşır. Bu nedenle, her {{math|''h'' > 0}} için,

<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0</math>
ve dolayısıyla
<math display="block">f'(c^+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0</math>
olur. Burada, limit varsayım gereği eksi sonsuz da olabilir.

Benzer şekilde, her {{math|''h'' < 0}} için eşitsizlik tersine döner çünkü payda artık negatiftir. Böylece, 
<math display="block">\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0</math>
olur. Dolayısıyla,
<math display="block">f'(c^-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0</math>
elde ederiz. Burada, limit yine varsayım gereği artı sonsuz da olabilir.

Son olarak, yukarıdaki sağ ve sol limitler aynı olduğunda (ve özellikle {{mvar|f}} türevlenebilir olduğunda), {{mvar|f}}'nin {{mvar|c}}'deki türevi sıfır olmalıdır.

(Alternatif olarak, [[Fermat teoremi (durağan noktalar)|Fermat durağan nokta teoremi]]ni doğrudan uygulayabiliriz).

== Daha yüksek mertebeli türevlere genelleme ==
Rolle teoremini, {{mvar|f}}'nin eşit değerlere ve daha büyük mertebeden türevlenebilirliğe sahip olduğu daha  fazla noktaya sahip olmasını varsayacak şekilde de genelleştirebiliriz. Özellikle, varsayalım ki
* {{mvar|f}} fonksiyonu  {{math|[''a'', ''b'']}} kapalı aralığına {{math|(''n'' - 1)}} kez [[Düzgünlük#Türevlenebilirlik sınıfları|sürekli türevlenebilir]] ve {{math|(''a'', ''b'')}} açık aralığında {{mvar|n}}'inci meretebeden türevi varsa
* 1'den {{mvar|n}}'e kadar her {{mvar|k}} için {{math|[''a'', ''b'']}} içinde {{math|1=''f&thinsp;''(''a<sub>k</sub>'') = ''f&thinsp;''(''b<sub>k</sub>'')}} olacak şekilde  {{math|''a''<sub>1</sub> < ''b''<sub>1</sub> ≤ ''a''<sub>2</sub> < ''b''<sub>2</sub> ≤ ⋯ ≤ ''a<sub>n</sub>'' < ''b<sub>n</sub>''}} tarafından verilen {{mvar|n}} tane aralık varsa,
o zaman {{math|(''a'', ''b'')}} içinde {{mvar|f}}'nin {{mvar|n}}'inci türevinin sıfır olduğu bir {{mvar|c}} noktası vardır.

[[Dosya:Rolle Generale.svg|küçükresim|upright=1.32|{{Ortala|{{renk|red|Kırmızı}} eğri, {{math|[-3, 2]}} aralığında 3 kökü olan fonksiyonun grafiğidir. Dolayısıyla ikinci türevinin de ({{renk|green|yeşil}} ile çizilmiş) aynı aralıkta bir kökü vardır.}}]]

{{mvar|f}}'nin {{mvar|n}}'inci türevine ilişkin gereklilikler, yukarıdaki genellemede olduğu gibi zayıflatılabilir ve {{mvar|f}} yerine <math>f^{(n - 1)}</math> ile yukarıda tanımlanan sağ ve sol limitler için karşılık gelen (daha zayıf olabilen) ifadeleri verir.

Teoremin özellikle bu hâli, yeterince türevlenebilir bir fonksiyonun {{mvar|n}} tane kökü varsa, <math>f^{(n - 1)}</math>'in sıfır değeri aldığı bir iç nokta olduğunu ifade eder.

===İspat===
İspat, [[matematiksel tümevarım]] yöntemini kullanır. {{math|1=''n'' = 1}} durumu basitçe Rolle teoreminin standart versiyonudur. {{math|''n'' > 1}} için, tümevarım hipotezi olarak genellemenin {{math|''n'' - 1}} için doğru olduğunu kabul edelim. Bunu {{mvar|n}} için kanıtlamak istiyoruz. {{mvar|f}} fonksiyonunun teoremin hipotezlerini karşıladığını varsayalım. Rolle teoreminin standart versiyonuna göre, 1 ile {{mvar|n}} arasındaki her {{mvar|k}} tam sayısı için, {{math|(''a<sub>k</sub>'', ''b<sub>k</sub>'')}} açık aralığında {{math|1=''f&thinsp;''′(''c<sub>k</sub>'') = 0}} olacak şekilde bir {{mvar|c<sub>k</sub>}} vardır. Dolayısıyla, birinci türev, {{math|''n'' - 1}} adetteki kapalı {{math|[''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>], …, [''c''<sub>''n'' − 1</sub>, ''c<sub>n</sub>'']}} aralıklarındaki varsayımları karşılar. Tümevarım hipotezine göre, {{mvar|c}} vardır ki {{math|''f&thinsp;''′}}'nin {{math|(''n'' - 1)}}inci türevinin sıfır olduğu bir {{mvar|c}} sayısı vardır.

== Diğer sayı cisimlerine genellemeler ==
Rolle teoremi, bir [[sıralı cisim]] olan reel sayılar üzerinde türevlenebilir fonksiyonların bir özelliğidir. Bu nedenle, diğer [[cisim (matematik)|cisim]]ler için genelleştirilemez. Ancak teoremin aşağıdaki sonucu  genelleştirilebilir: 
Gerçel katsayılı bir polinomun bütün kökleri gerçel sayı ise, o zaman da türevinin kökleri de gerçeldir. Bir cismin bu özelliğine, '''Rolle özelliği''' denebilir.{{kaynak belirt|date=September 2018}} Daha genel cisimler her zaman türevlenebilir fonksiyonlara sahip değildir, ancak her zaman sembolik olarak türevlenebilen polinomlara sahiptirler. Benzer şekilde, daha genel cisimler bir mertebeye sahip olmayabilir, ancak bir cisimde yer alan bir polinomun kökü kavramı vardır.

Rolle teoremi, bu yüzden, gerçel sayıların Rolle özelliğine sahip olduğunu gösterir. [[Karmaşık sayılar]] gibi cebirsel olarak kapalı herhangi bir cisim Rolle özelliğine sahiptir. Ancak, rasyonel sayılar Rolle özelliğine sahip değildir. Örneğin, {{math|1=''x''<sup>3</sup> − ''x'' = ''x''(''x'' − 1)(''x'' + 1)}} [[rasyonel sayılar]] üzerinde çarpanlara ayrılır, ancak türevi,
<math display="block">3x^2-1 = 3 \left(x - \tfrac{1}{\sqrt 3} \right) \left(x + \tfrac{1}{\sqrt 3} \right),</math>
çarpanlara ayrılamaz. Hangi cisimlerin Rolle özelliğini karşıladığı sorusu {{Harvnb|Kaplansky|1972}}'de ortaya atılmıştır.<ref>{{ Kaynak | ad = Irving | soyadı = Kaplansky |yazarbağı= Irving Kaplansky | başlık = Fields and Rings | yıl = 1972 }}.{{Tam kaynak belirt|date=July 2024}}</ref> [[Sonlu alan|Sonlu cisim]]ler için cevap, sadece {{math|'''F'''<sup>2</sup>}} ve {{math|'''F'''<sup>4</sup>}}'ün Rolle özelliğine sahip olduğudur.<ref>{{Kaynak | başlık = Multiplier sequences for fields | ad1 = Thomas | soyadı1 = Craven | ad2 = George | soyadı2 = Csordas | dergi = Illinois J. Math. | cilt = 21 | yıl = 1977 | sayfalar = 801-817 | url = http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256048929 | sayı = 4 | doi = 10.1215/ijm/1256048929 | doi-access = ücretsiz | erişimtarihi = 1 Ekim 2024 | arşivurl = https://web.archive.org/web/20210422140623/https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256048929 | arşivtarihi = 22 Nisan 2021 | ölüurl = hayır }}.</ref><ref>{{ Kaynak | başlık = A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields | ad1 = C. | soyadı1 = Ballantine | ad2 = J. | soyadı2 = Roberts |dergi= [[The American Mathematical Monthly]] | cilt = 109 |tarih=January 2002 | sayfalar =72-74| sayı = 1 |doi= 10.2307/2695770 | jstor = 2695770 | yayıncı = Mathematical Association of America }}.</ref>

Karmaşık bir versiyon için [[Voorhoeve indeksi]]ne bakınız.

== Ayrıca bakınız ==
*[[Ortalama değer teoremi]]
*[[Ara değer teoremi]]
*[[Lineer interpolasyon|Doğrusal interpolasyon]]
*[[Gauss-Lucas teoremi]]

== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Konuyla ilgili okumalar ==
* {{kitap kaynağı |ad=Louis |soyadı=Leithold |yazarbağı=Louis Leithold |başlık=The Calculus, with Analytic Geometry |url=https://archive.org/details/calculuswithanal0000leit_f9t7_2ndedition |yer=New York |yayıncı=Harper & Row |seri=2nd |yıl=1972 |isbn=0-06-043959-9 |sayfalar=[https://archive.org/details/calculuswithanal0000leit_f9t7_2ndedition/page/201 201]-207}}
* {{kitap kaynağı |ad=Angus E. |soyadı=Taylor |yazarbağı=Angus Ellis Taylor |başlık=Advanced Calculus |url=https://archive.org/details/advancedcalculus0000angu_x9u8 |yer=Boston |yayıncı=Ginn and Company |yıl=1955 |sayfalar=[https://archive.org/details/advancedcalculus0000angu_x9u8/page/30 30]-37}}

== Dış bağlantılar ==
* {{springer|title=Rolle theorem|id=p/r082550}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/MVT.shtml Rolle's and Mean Value Theorems] at [[Cut-the-Knot|cut-the-knot]].
* [[Mizar sistemi]] ispat: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2

{{Commons kategori|Rolle's theorem}}

[[Kategori:Gerçel analiz teoremleri]]
[[Kategori:Kalkülüs teoremleri]]
[[Kategori:Kanıt içeren maddeler]]