Rolle teoremi

Şablon:Ortala

Kalkülüste, Rolle teoremi veya Rolle önsavı temel olarak, iki farklı noktada eşit değerlere sahip gerçel değerli herhangi bir türevlenebilir fonksiyona bu iki noktanın aralarındaki noktalarda çizilen teğet doğrulardan eğiminin en az birinin sıfır olduğu. Böyle bir nokta, durağan nokta olarak bilinir. Bu nokta, fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu noktadır ve aynı zamanda kritik nokta olarak da bilinir. Teorem adını Michel Rolle'den almıştır.

Teoremin standart hâli

Eğer gerçel değerli bir Şablon:Mvar fonksiyonu, Şablon:Math kapalı aralığında sürekli, Şablon:Math açık aralığında türevlenebilir ve Şablon:Math ise, Şablon:Math açık aralığında $f^{\prime }(c)=0$ sağlayan bir Şablon:Mvar vardır.

Rolle teoreminin bu hâli, ortalama değer teoremi'nin özel bir durumudur ve aynı zamanda ortalama değer teoremi kanıtlamak için kullanılır. Teorem, aynı zamanda Taylor teoreminin ispatı için de temel oluşturur.

Tarihçe

Teorem adını Michel Rolle'den alsa da, Rolle'ün 1691 tarihli ispatı yalnızca polinomları kapsıyordu. İspâtında, hayatının o döneminde yanlış olduğunu düşündüğü diferansiyel hesap yöntemlerini kullanmamıştır. Teorem ilk olarak 1823 yılında Cauchy tarafından ortalama değer teoreminin ispatının bir sonucu olarak ispatlanmıştır. Rolle teoremi adı ilk olarak 1834'te Alman Moritz Wilhelm Drobisch ve 1846'da İtalyan Giusto Bellavitis tarafından kullanılmıştır.

Örnekler

Birinci örnek

Şablon:Ortala

Bir Şablon:Math yarıçapı için

$$f(x)=\sqrt{r^2-x^2},x\in [-r,r].$$

fonksiyonu göz önüne alınısın. Bu fonksiyonun grafiği, orijin merkezli üst yarım çemberdir. Bu fonksiyon Şablon:Math kapalı aralığında süreklidir ve Şablon:Math açık aralığında türevlenebilir, ancak Şablon:Math ve Şablon:Mvar uç noktalarında türevlenemez. Şablon:Math olduğundan, Rolle teoremi geçerlidir ve bu yüzden Şablon:Mvar türevinin sıfır olduğu bir nokta vardır. Gerçekten de,

$f^{\prime }(x)=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}$

olur ve $f^{\prime }(0)=0$ sağlanır.

Teorem, fonksiyon uç noktalarda türevlenemediğinde bile geçerlidir çünkü sadece fonksiyonun açık aralıkta türevlenebilir olmasını gerektirir.

İkinci örnek

Şablon:Ortala

Eğer türevlenebilirlik aralığın bir iç noktasında yoksa, Rolle teoreminin sonucu geçerli olmayabilir.

$$f(x)=|x|,x\in [-1,1].$$

mutlak değer fonksiyonu ele alınsın.

O zaman Şablon:Math, ancak -1 ile 1 arasında Şablon:Mathnin sıfır olduğu bir Şablon:Mvar yoktur. Bunun nedeni, bu fonksiyonun sürekli olmasına rağmen Şablon:Math'da türevlenebilir olmamasıdır. Şablon:Mvar'nin türevi Şablon:Math'da işaret değiştirir, ancak 0 değerine ulaşmaz. Teorem bu fonksiyona uygulanamaz çünkü fonksiyonun açık aralıktaki her Şablon:Mvar için türevlenebilir olması gerektiği koşulunu sağlamaz. Bununla birlikte, Rolle teoreminden türevlenebilirlik şartı çıkarıldığında, Şablon:Mvar yine de Şablon:Math açık aralığında bir kritik noktaya sahip olacaktır. Elbette, bu durumda fonksiyon ya açık aralıktaki her noktada türevli olacaktır ya da bu açık aralıktaki en az bir noktada türevli olmayacaktır. Her iki durumda da, bir noktada türevin sıfır olması ya da türevin tanımsız olmasıyla, kritik noktanın varlığı elde edilmiş olur.

Genelleştirme

İkinci örnek, Rolle teoreminin aşağıdaki genellemesini göstermektedir:

Kapalı bir Şablon:Math aralığında Şablon:Math olan gerçel değerli, sürekli bir Şablon:Mvar fonksiyonu olsun. Bu durumda, Şablon:Math açık aralığındaki her Şablon:Mvar için sağdan limit, $$f^{\prime }(x^{+}):=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ ve soldan limit, $$f^{\prime }(x^{-}):=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ ise genişletilmiş reel sayılarda, yâni, Şablon:Math'de değer alacaktır. O zaman, Şablon:Math açık aralığında bir Şablon:Mvar sayısı için $$f^{\prime }(c^{+})\text{ve}{f}^{\prime }(c^{-})$$ limitlerinden biri genişletilmiş gerçel sayılarda negatif olmazken Şablon:Math diğeri pozitif olmayacaktır Şablon:Math. Eğer sağdan ve soldan limitler her Şablon:Mvar için birbirine eşitse, o zaman en azından bir Şablon:Mvar noktasında birbirine eşittir. Dolayısıyla, Şablon:Mvar'nin Şablon:Mvar'de türevi vardır ve sıfıra eşittir.

Açıklamalar

• Eğer Şablon:Mvar dışbükey veya içbükey ise, o zaman sağ ve sol türevler her iç noktada mevcuttur, dolayısıyla yukarıdaki limitler mevcuttur ve gerçel sayılardır.
• Teoremin bu genelleştirilmiş versiyonu, tek taraflı türevler monoton olarak artan olduğunda konveksliği kanıtlamak için yeterlidir: $$f^{\prime }(x^{-})\le f^{\prime }(x^{+})\le f^{\prime }(y^{-}),x<y.$$

Genelleştirilmiş versiyonun ispatı

Rolle teoreminin standart versiyonu ile genellemesinin ispatı çok benzer olduğundan, genellemeyi ispatlıyoruz.

İspatın ana fikri, eğer Şablon:Math ise, Şablon:Mvar Şablon:Mvar ile Şablon:Mvar arasında bir yerde, örneğin Şablon:Mvar'de bir maksimum veya bir minimum değerine ulaşmalı ve fonksiyon Şablon:Mvar'de artmaktan azalmaya (veya tam tersi) değişmelidir. Özellikle, eğer türev varsa, Şablon:Mvar'de sıfır olmalıdır.

Varsayım olarak, Şablon:Mvar fonksiyonu, Şablon:Math üzerinde süreklidir ve uç değer teoremi ile Şablon:Math içinde hem maksimumuna hem de minimumuna ulaşır. Bunların her ikisi de Şablon:Math'nin uç noktalarında elde edilirse, Şablon:Mvar fonksiyonu Şablon:Math üzerinde sabittir ve bu nedenle Şablon:Mvar'nin türevi Şablon:Math'nin her noktasında sıfırdır.

Bu durumda maksimumun Şablon:Math'nin bir iç noktası olan Şablon:Mvar'de elde edildiğini varsayalım (minimum için argüman çok benzerdir, sadece Şablon:Math olarak düşünün). Yukarıdaki sağ ve sol limitleri ayrı ayrı inceleyeceğiz.

Şablon:Math, Şablon:Math içinde olacak şekilde, gerçel bir Şablon:Mvar için Şablon:Math değeri Şablon:Math değerinden küçük veya ona eşittir, çünkü varsayım dolayısıyla fonksiyon Şablon:Mvar'de maksimuma ulaşır. Bu nedenle, her Şablon:Math için,

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$$ ve dolayısıyla $$f^{\prime }(c^{+}):=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$$ olur. Burada, limit varsayım gereği eksi sonsuz da olabilir.

Benzer şekilde, her Şablon:Math için eşitsizlik tersine döner çünkü payda artık negatiftir. Böylece, $$\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0$$ olur. Dolayısıyla, $$f^{\prime }(c^{-}):=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge 0$$ elde ederiz. Burada, limit yine varsayım gereği artı sonsuz da olabilir.

Son olarak, yukarıdaki sağ ve sol limitler aynı olduğunda (ve özellikle Şablon:Mvar türevlenebilir olduğunda), Şablon:Mvar'nin Şablon:Mvar'deki türevi sıfır olmalıdır.

(Alternatif olarak, Fermat durağan nokta teoremini doğrudan uygulayabiliriz).

Daha yüksek mertebeli türevlere genelleme

Rolle teoremini, Şablon:Mvar'nin eşit değerlere ve daha büyük mertebeden türevlenebilirliğe sahip olduğu daha fazla noktaya sahip olmasını varsayacak şekilde de genelleştirebiliriz. Özellikle, varsayalım ki

• Şablon:Mvar fonksiyonu Şablon:Math kapalı aralığına Şablon:Math kez sürekli türevlenebilir ve Şablon:Math açık aralığında Şablon:Mvar'inci meretebeden türevi varsa
• 1'den Şablon:Mvar'e kadar her Şablon:Mvar için Şablon:Math içinde Şablon:Math olacak şekilde Şablon:Math tarafından verilen Şablon:Mvar tane aralık varsa,

o zaman Şablon:Math içinde Şablon:Mvar'nin Şablon:Mvar'inci türevinin sıfır olduğu bir Şablon:Mvar noktası vardır.

Şablon:Ortala

Şablon:Mvar'nin Şablon:Mvar'inci türevine ilişkin gereklilikler, yukarıdaki genellemede olduğu gibi zayıflatılabilir ve Şablon:Mvar yerine $f^{(n-1)}$ ile yukarıda tanımlanan sağ ve sol limitler için karşılık gelen (daha zayıf olabilen) ifadeleri verir.

Teoremin özellikle bu hâli, yeterince türevlenebilir bir fonksiyonun Şablon:Mvar tane kökü varsa, $f^{(n-1)}$'in sıfır değeri aldığı bir iç nokta olduğunu ifade eder.

İspat

İspat, matematiksel tümevarım yöntemini kullanır. Şablon:Math durumu basitçe Rolle teoreminin standart versiyonudur. Şablon:Math için, tümevarım hipotezi olarak genellemenin Şablon:Math için doğru olduğunu kabul edelim. Bunu Şablon:Mvar için kanıtlamak istiyoruz. Şablon:Mvar fonksiyonunun teoremin hipotezlerini karşıladığını varsayalım. Rolle teoreminin standart versiyonuna göre, 1 ile Şablon:Mvar arasındaki her Şablon:Mvar tam sayısı için, Şablon:Math açık aralığında Şablon:Math olacak şekilde bir Şablon:Mvar vardır. Dolayısıyla, birinci türev, Şablon:Math adetteki kapalı Şablon:Math aralıklarındaki varsayımları karşılar. Tümevarım hipotezine göre, Şablon:Mvar vardır ki Şablon:Math'nin Şablon:Mathinci türevinin sıfır olduğu bir Şablon:Mvar sayısı vardır.

Diğer sayı cisimlerine genellemeler

Rolle teoremi, bir sıralı cisim olan reel sayılar üzerinde türevlenebilir fonksiyonların bir özelliğidir. Bu nedenle, diğer cisimler için genelleştirilemez. Ancak teoremin aşağıdaki sonucu genelleştirilebilir: Gerçel katsayılı bir polinomun bütün kökleri gerçel sayı ise, o zaman da türevinin kökleri de gerçeldir. Bir cismin bu özelliğine, Rolle özelliği denebilir.Şablon:Kaynak belirt Daha genel cisimler her zaman türevlenebilir fonksiyonlara sahip değildir, ancak her zaman sembolik olarak türevlenebilen polinomlara sahiptirler. Benzer şekilde, daha genel cisimler bir mertebeye sahip olmayabilir, ancak bir cisimde yer alan bir polinomun kökü kavramı vardır.

Rolle teoremi, bu yüzden, gerçel sayıların Rolle özelliğine sahip olduğunu gösterir. Karmaşık sayılar gibi cebirsel olarak kapalı herhangi bir cisim Rolle özelliğine sahiptir. Ancak, rasyonel sayılar Rolle özelliğine sahip değildir. Örneğin, Şablon:Math rasyonel sayılar üzerinde çarpanlara ayrılır, ancak türevi, $$3x^2-1=3(x-\frac{1}{\sqrt{3}})(x+\frac{1}{\sqrt{3}}),$$ çarpanlara ayrılamaz. Hangi cisimlerin Rolle özelliğini karşıladığı sorusu Şablon:Harvnb'de ortaya atılmıştır. Sonlu cisimler için cevap, sadece Şablon:Math ve Şablon:Math'ün Rolle özelliğine sahip olduğudur.

Karmaşık bir versiyon için Voorhoeve indeksine bakınız.

Ayrıca bakınız

• Ortalama değer teoremi
• Ara değer teoremi
• Doğrusal interpolasyon
• Gauss-Lucas teoremi

Konuyla ilgili okumalar

• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı

Dış bağlantılar

• Şablon:Springer
• Rolle's and Mean Value Theorems at cut-the-knot.
• Mizar sistemi ispat: http://mizar.org/version/current/html/rolle.html#T2