Theodorus sarmalı sayfasının kaynağını görüntüle

[[Dosya:Spiral of Theodorus.svg|küçükresim|sağ|upright=1.82|{{Ortala|Theodorus'un <math>\sqrt{17}</math> hipotenüsüne sahip üçgene kadar olan sarmalı}}]]

Geometride, '''Theodorus Sarmalı''' (karekök sarmalı, Einstein sarmalı veya Pisagor sarmalı olarak da adlandırılır),<ref name=KAHN2>
{{cite arXiv
 |last=Hahn
 |first=Harry K.
 |title=The Ordered Distribution of Natural Numbers on the Square Root Spiral
 |eprint=0712.2184
}}</ref> uç uca yerleştirilmiş dik üçgenlerden oluşan bir [[spiral]]dir. Adını, [[Cyreneli Theodorus]]'tan almıştır.

== Çizimi ==
Sarmal bir ikizkenar dik üçgenle başlar ve her kenar birim uzunluğa sahiptir. Başka bir dik üçgen oluşturulur, bir kenarı önceki üçgenin [[hipotenüs]]ü (uzunluğu {{radic|2}} olan) ve diğer kenarının uzunluğu 1 olan otomatik bir dik üçgen oluşturulur. Bu ikinci üçgenin hipotenüsünün uzunluğu {{radic|3}}'tür. İşlem daha sonra benzer adımlarla tekrar eder. Dizideki ''n''ci üçgen, kenar uzunlukları {{radic|''n''}} ve 1 olan ve hipotenüs {{sqrt|''n''+1}} olan bir dik üçgendir. Örneğin, 16. üçgenin kenarları 4 (= {{sqrt|16}}), 1 ve hipotenüs {{sqrt|17}}'dir.

==Tarihçe ve kullanım==
Theodorus'un tüm çalışmaları kaybolmuş olsa da, [[Platon]], Theodorus'a, çalışmalarını anlattığı ''Theaetetus'un diyaloğu''nda yer vermiştir. Theodorus'un Theodorus Sarmalı aracılığıyla 3'ten 17'ye kadar karesel olmayan tam sayıların tüm kareköklerinin [[irrasyonel]] olduğunu kanıtladığı varsayılmaktadır.<ref>
{{kaynak
 |soyadı=Nahin
 |ad=Paul J.
 |başlık=An Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One]
 |yayıncı=Princeton University Press
 |sayfa=33
 |url=https://books.google.com/books?id=WvcfqBgZDWQC&printsec=frontcover
 |isbn=0-691-02795-1 
 |yıl=1998
}}</ref>

Platon, 2'nin karekökünün irrasyonelliğini Theodorus'a atfetmez, çünkü ondan önce de iyi biliniyordu. Theodorus ve [[Theaetetus (matematikçi)|Theaetetus]], rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları farklı kategorilere ayırır.<ref>
{{kaynak
 |soyadı=Plato
 |soyadı2=Dyde
 |ad2=Samuel Walters
 |başlık=The Theaetetus of Plato
 |yayıncı=J. Maclehose
 |sayfalar=86-87.|url=https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&printsec=titlepage
 |yıl=1899
}}</ref>

==Hipotenüs==
Üçgenlerin hipotenüsleri, <math>h_n</math>, <math>h_1 = \sqrt 2</math>'ye karşılık gelen [[doğal sayı]]'nın [[karekök]]'ünü verir.

Theodorus tarafından eğitilen Platon, Theodorus'un neden {{radic|17}}'de durduğunu sorguladı. Bunun nedeninin, {{radic|17}} hipotenüsünün şekil ile üst üste gelmeyen son üçgene ait olduğu düşünülmektedir.<ref name=LONG>{{web kaynağı
 |soyadı=Long
 |ad=Kate
 |başlık=A Lesson on The Root Spiral
 |url=http://courses.wcupa.edu/jkerriga/Lessons/A%20Lesson%20on%20Spirals.html
 |erişimtarihi=30 Nisan 2008
 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20110927021009/http://courses.wcupa.edu/jkerriga/Lessons/A%20Lesson%20on%20Spirals.html
 |arşivtarihi=27 Eylül 2011
 |ölüurl=hayır}}</ref>

===Üst üste gelme===
1958'de [[Erich Teuffel]], sarmal ne kadar devam ettirilirse ettirilsin, iki hipotenüsün asla çakışmayacağını kanıtladı. Ayrıca, birim uzunluğunun kenarları bir çizgiyle uzatılırsa, bunlar hiçbir zaman şeklin diğer köşelerinden biriyle kesişmez.<ref name=LONG/><ref>Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, ''Math.-Phys. Semesterber.'' 6 (1958), ss. 148-152.</ref>

==Genişleme==
[[Dosya:Spiral of Theodorus extended.svg|küçükresim|{{Ortala|Theodorus Sarmalı'nın renkli 110 üçgen ile genişletilmiş hali}}]]

Theodorus sarmalını hipotenüsü {{radic|17}} olan üçgende durdurdu. Sarmal, sonsuz sayıda üçgenle devam ederse, daha birçok ilginç özellik bulunur.

=== Büyüme oranı ===

==== Açı ====

Eğer φ<sub>''n''</sub>, ''n''ci üçgenin (veya spiral segmentinin) açısı ise, o zaman:

:<math>\tan\left(\varphi_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}.</math>

Bu nedenle, bir sonraki ''n'' üçgenin φ<sub>''n''</sub> açısının büyümesi:<ref name=KAHN2/><math>\varphi_n=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).</math>

olur. İlk ''k'' üçgenin açılarının toplamına, ''k''ıncı üçgen için toplam açı φ(''k'') denir. Sınırlı bir düzeltme terimi olan ''c''<sub>2</sub> ve ''k''nin karekökü ile orantılı olarak büyür:<ref name=KAHN2/><math>\varphi\left (k\right)=\sum_{n=1}^k\varphi_n = 2\sqrt{k}+c_2(k)</math>

burada

:<math>\lim_{k \to \infty} c_2(k)= - 2.157782996659\ldots</math>'dir.
({{OEIS2C|A105459}}).

[[Dosya:Spiral of Theodorus triangle.svg|küçükresim|{{Ortala|Bir üçgen veya spiral kesiti}}]]

==== Yarıçap ====

Sarmal yarıçapının belirli bir ''n'' üçgeninde büyümesi;

:<math>\Delta r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.</math>'dir.

=== Arşimet sarmalı ===

Theodorus Sarmalı, [[Arşimet sarmalı|Arşimet Sarmalı]]'na yakınsar.<ref name=KAHN2/> Nasıl Arşimet sarmalının iki sargısı arasındaki mesafe, matematiksel sabit {{pi}}'ye eşitse, Theodorus sarmalının dönüş sayısı [[sonsuz]]a yaklaştıkça, ardışık iki sargı arasındaki mesafe hızla [[Pi sayısı|{{pi}}]]'ye yaklaşır.<ref>
{{cite arXiv
 |last=Hahn |first=Harry K.
 |year=2008
 |title=The distribution of natural numbers divisible by 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17 on the Square Root Spiral
 |eprint=0801.4422
}}</ref>

Aşağıda, {{pi}}'ye yaklaşan sarmalın iki sargısını gösteren bir tablo yer almaktadır:

{| class="wikitable"
!Sargı No.:
!width=200px|Hesaplanan ortalama sargı mesafesi
!width=200px|{{pi}} ile karşılaştırıldığında ortalama sargı mesafesinin doğruluğu
|-
|2
|3.1592037
|%99.44255
|-
|3
|3.1443455
|%99.91245
|-
|4
|3.14428
|%99.91453
|-
|5
|3.142395
|%99.97447
|-
|[[Fonksiyonun limiti|→]] ∞
|→ {{pi}}
|→ %100
|}

Görülebileceği gibi, yalnızca beşinci sargıdan sonra, mesafenin {{pi}}'ye göre yaklaşıklığı %99,97'dir.<ref name=KAHN2/>

== Sürekli eğri ==

[[Dosya:Theodorus Wiki.svg|küçükresim|sağ|upright=1.82|{{Ortala|Davis'in orijinden zıt yönde genişleme dahil (negatif düğüm sayıları) Theodorus Sarmalının çözümsel uzanımı.}}]]

Theodorus sarmalının ayrık noktalarının düzgün bir eğri ile nasıl [[interpolasyon]] yapılacağı sorusu öne sürülmüş ve faktöriyel fonksiyonu için bir interpolant olarak [[gama fonksiyonu]] için [[Euler Formülü]]ne benzetilerek {{Harv|Davis|2001|loc = ss. 37–38 }}'de cevaplanmıştır. [[Philip J. Davis]], öğrencisi [[Jeffery J. Leader]]<ref>Leader, J.J. The Generalized Theodorus Iteration (tez), 1990, Brown University</ref> ve [[Arieh Iserles]] (ek olarak {{Harv|Davis|2001}}) tarafından daha ayrıntılı incelenen aşağıdaki fonksiyonu buldu;

:<math>T(x) = \prod_{k=1}^\infty \frac{1 + i/\sqrt{k}}{1 + i/\sqrt{x+k}} \qquad ( -1 < x < \infty )</math>

Bu fonksiyonun aksiyomatik bir karakterizasyonu, {{Harv|Gronau|2004}}'te fonksiyonel denklemi karşılayan benzersiz fonksiyon olarak verilmiştir.

:<math>f(x+1) = \left( 1 + \frac{i}{\sqrt{x+1} }\right) \cdot f(x),</math>

başlangıç koşulu <math>f(0)= 1,</math> ve hem bağımsız değişken (argüman) hem de modülde monotonluk; alternatif koşullar ve zayıflamalar da burada incelenir. Alternatif bir türetme, {{Harv|Heuvers|Moak|Boursaw|2000}}'de verilmiştir.

Davis'in orjine zıt yönde uzanan Theodorus Sarmalının sürekli formunun çözümsel uzanımı {{Harv|Waldvogel|2009}}'de verilmiştir.

Şekilde, orijinal (ayrık) Theodorus spiralinin düğümleri küçük yeşil daireler olarak gösterilmiştir. Mavi olanlar, spiralin ters yönünde eklenenlerdir.

Şekilde yalnızca <math>r_n=\pm\sqrt{|n|}</math> kutupsal (polar) yarıçapının tam sayı değerine sahip <math>n</math> düğümleri numaralandırılmıştır.
Koordinat başlangıcındaki <math>O</math> kesikli çizgi ile gösterilen çember, <math>O</math> noktasındaki eğrilik çemberidir.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Fermat sarmalı]]
* [[Spiraller listesi]]

== Notlar ==
{{Kaynakça}}

== Konuyla ilgili yayınlar ==
* {{Kaynak | başlık = Spirals from Theodorus to Chaos | ad = P. J. | soyadı = Davis | yayıncı = A K Peters/CRC Press | authorlink = Philip J. Davis |yıl = 2001 }}
* {{Kaynak |doi= 10.2307/4145130 | başlık = The Spiral of Theodorus | ad = Detlef| soyadı = Gronau |dergi= [[The American Mathematical Monthly]] | cilt = 111 |tarih=March 2004 | sayfalar =230-237| sayı = 3 | yayıncı = Mathematical Association of America | jstor = 4145130 }}
* {{Kaynak | ad1 = J. | soyadı1 = Heuvers | ad2 = D. S. | soyadı2 = Moak | ad3 = B | soyadı3 = Boursaw |bölüm= The functional equation of the square root spiral | başlık = Functional Equations and Inequalities |editör= T. M. Rassias | yıl = 2000 | sayfalar =111-117}}
* {{Kaynak | başlık = Analytic Continuation of the Theodorus Spiral | ad = Jörg | soyadı = Waldvogel | yıl = 2009 | url = http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf | erişimtarihi = 11 Eylül 2020 |arşivurl= https://web.archive.org/web/20120223235848/http://www.math.ethz.ch/~waldvoge/Papers/theopaper.pdf |arşivtarihi= 23 Şubat 2012 | ölüurl = hayır }}

{{Yunan matematiği}}
{{Spiraller}}

[[Kategori:Spiraller]]
[[Kategori:Pi sayısı]]