Theodorus sarmalı

Şablon:Ortala

Geometride, Theodorus Sarmalı (karekök sarmalı, Einstein sarmalı veya Pisagor sarmalı olarak da adlandırılır), uç uca yerleştirilmiş dik üçgenlerden oluşan bir spiraldir. Adını, Cyreneli Theodorus'tan almıştır.

Çizimi

Sarmal bir ikizkenar dik üçgenle başlar ve her kenar birim uzunluğa sahiptir. Başka bir dik üçgen oluşturulur, bir kenarı önceki üçgenin hipotenüsü (uzunluğu Şablon:Radic olan) ve diğer kenarının uzunluğu 1 olan otomatik bir dik üçgen oluşturulur. Bu ikinci üçgenin hipotenüsünün uzunluğu Şablon:Radic'tür. İşlem daha sonra benzer adımlarla tekrar eder. Dizideki nci üçgen, kenar uzunlukları Şablon:Radic ve 1 olan ve hipotenüs Şablon:Sqrt olan bir dik üçgendir. Örneğin, 16. üçgenin kenarları 4 (= Şablon:Sqrt), 1 ve hipotenüs Şablon:Sqrt'dir.

Tarihçe ve kullanım

Theodorus'un tüm çalışmaları kaybolmuş olsa da, Platon, Theodorus'a, çalışmalarını anlattığı Theaetetus'un diyaloğunda yer vermiştir. Theodorus'un Theodorus Sarmalı aracılığıyla 3'ten 17'ye kadar karesel olmayan tam sayıların tüm kareköklerinin irrasyonel olduğunu kanıtladığı varsayılmaktadır.

Platon, 2'nin karekökünün irrasyonelliğini Theodorus'a atfetmez, çünkü ondan önce de iyi biliniyordu. Theodorus ve Theaetetus, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları farklı kategorilere ayırır.

Hipotenüs

Üçgenlerin hipotenüsleri, $h_n$, $h_1=\sqrt{2}$'ye karşılık gelen doğal sayı'nın karekök'ünü verir.

Theodorus tarafından eğitilen Platon, Theodorus'un neden Şablon:Radic'de durduğunu sorguladı. Bunun nedeninin, Şablon:Radic hipotenüsünün şekil ile üst üste gelmeyen son üçgene ait olduğu düşünülmektedir.

Üst üste gelme

1958'de Erich Teuffel, sarmal ne kadar devam ettirilirse ettirilsin, iki hipotenüsün asla çakışmayacağını kanıtladı. Ayrıca, birim uzunluğunun kenarları bir çizgiyle uzatılırsa, bunlar hiçbir zaman şeklin diğer köşelerinden biriyle kesişmez.

Genişleme

Şablon:Ortala

Theodorus sarmalını hipotenüsü Şablon:Radic olan üçgende durdurdu. Sarmal, sonsuz sayıda üçgenle devam ederse, daha birçok ilginç özellik bulunur.

Büyüme oranı

Açı

Eğer φ_n, nci üçgenin (veya spiral segmentinin) açısı ise, o zaman:

$\tan \left({\phi }_n\right)=\frac{1}{\sqrt{n}}.$

Bu nedenle, bir sonraki n üçgenin φ_n açısının büyümesi:${\phi }_n=\arctan \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).$

olur. İlk k üçgenin açılarının toplamına, kıncı üçgen için toplam açı φ(k) denir. Sınırlı bir düzeltme terimi olan c₂ ve knin karekökü ile orantılı olarak büyür:$\phi \left(k\right)=\sum _{n=1}^k{\phi }_n=2\sqrt{k}+c_2(k)$

burada

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_2(k)=-2.157782996659\dots$'dir.

(Şablon:OEIS2C).

Şablon:Ortala

Yarıçap

Sarmal yarıçapının belirli bir n üçgeninde büyümesi;

$\mathrm{\Delta }r=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.$'dir.

Arşimet sarmalı

Theodorus Sarmalı, Arşimet Sarmalı'na yakınsar. Nasıl Arşimet sarmalının iki sargısı arasındaki mesafe, matematiksel sabit Şablon:Pi'ye eşitse, Theodorus sarmalının dönüş sayısı sonsuza yaklaştıkça, ardışık iki sargı arasındaki mesafe hızla [[Pi sayısı|Şablon:Pi]]'ye yaklaşır.

Aşağıda, Şablon:Pi'ye yaklaşan sarmalın iki sargısını gösteren bir tablo yer almaktadır:

Sargı No.:	Hesaplanan ortalama sargı mesafesi	Şablon:Pi ile karşılaştırıldığında ortalama sargı mesafesinin doğruluğu
2	3.1592037	%99.44255
3	3.1443455	%99.91245
4	3.14428	%99.91453
5	3.142395	%99.97447
→ ∞	→ Şablon:Pi	→ %100

Görülebileceği gibi, yalnızca beşinci sargıdan sonra, mesafenin Şablon:Pi'ye göre yaklaşıklığı %99,97'dir.

Sürekli eğri

Şablon:Ortala

Theodorus sarmalının ayrık noktalarının düzgün bir eğri ile nasıl interpolasyon yapılacağı sorusu öne sürülmüş ve faktöriyel fonksiyonu için bir interpolant olarak gama fonksiyonu için Euler Formülüne benzetilerek Şablon:Harv'de cevaplanmıştır. Philip J. Davis, öğrencisi Jeffery J. Leader ve Arieh Iserles (ek olarak Şablon:Harv) tarafından daha ayrıntılı incelenen aşağıdaki fonksiyonu buldu;

$T(x)=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+i/\sqrt{k}}{1+i/\sqrt{x+k}}(-1<x<\mathrm{\infty })$

Bu fonksiyonun aksiyomatik bir karakterizasyonu, Şablon:Harv'te fonksiyonel denklemi karşılayan benzersiz fonksiyon olarak verilmiştir.

$f(x+1)=(1+\frac{i}{\sqrt{x+1}})\cdot f(x),$

başlangıç koşulu $f(0)=1,$ ve hem bağımsız değişken (argüman) hem de modülde monotonluk; alternatif koşullar ve zayıflamalar da burada incelenir. Alternatif bir türetme, Şablon:Harv'de verilmiştir.

Davis'in orjine zıt yönde uzanan Theodorus Sarmalının sürekli formunun çözümsel uzanımı Şablon:Harv'de verilmiştir.

Şekilde, orijinal (ayrık) Theodorus spiralinin düğümleri küçük yeşil daireler olarak gösterilmiştir. Mavi olanlar, spiralin ters yönünde eklenenlerdir.

Şekilde yalnızca $r_n=\pm \sqrt{|n|}$ kutupsal (polar) yarıçapının tam sayı değerine sahip $n$ düğümleri numaralandırılmıştır. Koordinat başlangıcındaki $O$ kesikli çizgi ile gösterilen çember, $O$ noktasındaki eğrilik çemberidir.

Ayrıca bakınız

• Fermat sarmalı
• Spiraller listesi

Konuyla ilgili yayınlar

• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak