Trigonometrik özdeşliklerin ispatları sayfasının kaynağını görüntüle

[[Trigonometrik fonksiyon]]ları tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır ve bunlar arasındaki [[trigonometrik özdeşlikler listesi|trigonometrik özdeşlikler]]in kanıtları seçilen tanıma bağlıdır. En eski ve en temel tanımlar [[dik üçgen]]lerin geometrisine ve kenarları arasındaki orana dayanır. Bu makalede verilen kanıtlar bu tanımları kullanır ve dolayısıyla bir [[dik açı]]dan büyük olmayan negatif olmayan açılar için geçerlidir. Daha büyük ve negatif [[açı]]lar için [[Trigonometrik fonksiyonlar]] bölümüne bakınız.

Diğer tanımlar ve dolayısıyla diğer kanıtlar [[sinüs (matematik)|sinüs]] ve [[kosinüs]]ün [[Taylor serisi]]ne veya <math>f'' + f = 0</math> [[diferansiyel denklem]]inin çözümlerine  dayanır.

==Temel trigonometrik özdeşlikler==

===Tanımlar===
[[Dosya:Trigonometry triangle.svg|küçükresim|{{Ortala|Trigonometrik fonksiyonlar, bir dik üçgenin kenar uzunlukları ve iç açıları arasındaki ilişkileri belirtir. Örneğin, θ açısının sinüsü, karşı kenarın uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna bölünmesi olarak tanımlanır.}}]]

Altı trigonometrik fonksiyon, bazıları için 0'dan dik açının (90°) katları kadar farklı olan açılar hariç, her [[gerçel sayı]] için tanımlanmıştır. Sağdaki diyagrama bakılırsa, θ'nın altı trigonometrik fonksiyonu, dik açıdan daha küçük açılar içindir:

:<math> \sin \theta = \frac {\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac {a}{h}</math>

:<math> \cos \theta = \frac {\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac {b}{h}</math>

:<math> \tan \theta = \frac {\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \frac {a}{b}</math>

:<math> \cot \theta = \frac {\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}} = \frac {b}{a}</math>

:<math> \sec \theta = \frac {\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} = \frac {h}{b}</math>

:<math> \csc \theta = \frac {\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} = \frac {h}{a}</math>

=== Oran özdeşlikleri===

Bir dik açıdan daha küçük açılar söz konusu olduğunda, aşağıdaki özdeşlikler bölme özdeşliği aracılığıyla yukarıdaki tanımların doğrudan sonuçlarıdır
: <math> \frac {a}{b}= \frac {\left(\frac {a}{h}\right)} {\left(\frac {b}{h}\right) }.</math>
90°'den büyük açılar ve negatif açılar için geçerli olmaya devam ederler.

:<math> \tan \theta
= \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}
= \frac { \left( \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} \right) } { \left( \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}}\right) }
= \frac {\sin \theta} {\cos \theta} </math>

:<math> \cot \theta =\frac{\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}}
= \frac { \left( \frac{\text{komşu kenar}}{\text{komşu kenar}} \right) } { \left( \frac {\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} \right) }
= \frac {1}{\tan \theta} = \frac {\cos \theta}{\sin \theta} </math>

:<math> \sec \theta = \frac {1}{\cos \theta} = \frac{\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} </math>
:<math> \csc \theta = \frac {1}{\sin \theta} = \frac{\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} </math>

:<math> \tan \theta = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}
= \frac{\left(\frac{\text{karşı kenar} \times \text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar} \times \text{komşu kenar}} \right) } { \left( \frac {\text{komşu kenar} \times \text{hipotenüs}} {\text{karşı kenar} \times \text{komşu kenar} } \right) }
= \frac{\left( \frac{\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} \right)} { \left( \frac{\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} \right)}
= \frac {\sec \theta}{\csc \theta} </math>
Veya
:<math> \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
= \frac{\left( \frac{1}{\csc \theta} \right) }{\left( \frac{1}{\sec \theta} \right) }
= \frac{\left( \frac{\csc \theta \sec \theta}{\csc \theta} \right) }{\left( \frac{\csc \theta \sec \theta}{\sec \theta} \right) }
= \frac{\sec \theta}{\csc \theta} </math>
:<math> \cot \theta = \frac {\csc \theta}{\sec \theta}</math>

===Tümler açı özdeşlikleri===
Toplamı π/2 radyan (90 derece) olan iki açı "tümler (veya tamamlayıcı veya dikler)”dir.  Şekilde, A ve B köşelerindeki açılar tümlerdir, bu nedenle a ve b'yi değiştirebilir ve θ'yı π/2&nbsp;-&nbsp;θ olarak değiştirerek elde edebiliriz:

:<math> \sin\left(  \pi/2-\theta\right) = \cos \theta</math>

:<math> \cos\left(  \pi/2-\theta\right) = \sin \theta</math>

:<math> \tan\left(  \pi/2-\theta\right) = \cot \theta</math>

:<math> \cot\left(  \pi/2-\theta\right) = \tan \theta</math>

:<math> \sec\left(  \pi/2-\theta\right) = \csc \theta</math>

:<math> \csc\left(  \pi/2-\theta\right) = \sec \theta</math>

=== Pisagor özdeşlikleri===
{{Ana|Pisagor trigonometrik özdeşliği}}

'''''Özdeşlik 1:'''''
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math>

Bu ve oran özdeşliklerinden aşağıdaki iki sonuç çıkar. İlkini elde etmek için, <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> ifadesinin her iki tarafını <math>\cos^2\theta</math>'ya ikincisi için <math>\sin^2\theta</math>'ya bölün.

:<math>\tan^2\theta + 1\ = \sec^2\theta </math>
:<math>\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 </math>

Benzer şekilde,

:<math>1\ + \cot^2\theta = \csc^2\theta </math>
:<math>\csc^2\theta - \cot^2\theta = 1</math>

'''''Özdeşlik 2:'''''

Aşağıda her üç ters fonksiyon da açıklanmaktadır.

:<math> \csc^2\theta + \sec^2\theta - \cot^2\theta = 2\ + \tan^2\theta </math>

'''''İspat 2:'''''

Yukarıdaki üçgen şekline bakınız. [[Pisagor teoremi]]ne göre <math>a^2+b^2=h^2</math> olduğuna dikkat edin.

:<math>\csc^2\theta + \sec^2\theta = \frac{h^2}{a^2} + \frac{h^2}{b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2} + \frac{a^2+b^2}{b^2} = 2\ + \frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2}</math>

Uygun fonksiyonlarla yer değiştirdiğimizde -

:<math> 2\ + \frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} = 2\ + \tan^2\theta+ \cot^2\theta </math>

Yeniden düzenlersek:

:<math> \csc^2\theta + \sec^2\theta - \cot^2\theta = 2\ + \tan^2\theta </math>

===Açı toplam özdeşlikleri===
{{Ayrıca bakınız|Trigonometrik özdeşlikler listesi#Açı toplam ve fark özdeşlikleri}}

====Sinüs====
[[Dosya:TrigSumFormula.svg|sağ|küçükresim|upright=1.59|{{Ortala|Toplam formülünün gösterimi.}}]]

Yatay bir çizgi (''x''-ekseni) çizin; bir O orijini işaretleyin. O'dan yatay çizginin üzerinde <math>\alpha</math> açısında bir çizgi ve bunun üzerinde <math>\beta</math> açısında ikinci bir çizgi çizin; ikinci çizgi ile ''x''-ekseni arasındaki açı <math>\alpha + \beta</math>'dır.

P'yi <math>\alpha + \beta</math> ile tanımlanan doğru üzerine orijinden birim uzaklıkta yerleştirin.

PQ, <math>\alpha</math> açısıyla tanımlanan OQ doğrusuna dik bir doğru olsun ve bu doğru üzerindeki Q noktasından P noktasına çizilsin. <math>\therefore</math> OQP bir dik açıdır.

QA, ''x''-ekseni üzerindeki A noktasından Q'ya ve PB, ''x''-ekseni üzerindeki B noktasından P'ye bir dik olsun.

QR ''x''-eksenine paralel olacak şekilde R'yi PB üzerine çizin.

Şimdi <math>RPQ = \alpha</math> açısı (çünkü <math>OQA = \frac{\pi}{2} - \alpha</math>, <math>RQO = \alpha, RQP = \frac{\pi}{2}-\alpha</math> ve son olarak <math>RPQ = \alpha</math> yapar.)
:<math>RPQ = \tfrac{\pi}{2} - RQP = \tfrac{\pi}{2} - (\tfrac{\pi}{2} - RQO) = RQO = \alpha</math>
:<math>OP = 1</math>
:<math>PQ = \sin \beta</math>
:<math>OQ = \cos \beta</math>
:<math>\frac{AQ}{OQ} = \sin \alpha</math>, so <math>AQ = \sin \alpha \cos \beta</math>
:<math>\frac{PR}{PQ} = \cos \alpha</math>, so <math>PR = \cos \alpha \sin \beta</math>
:<math>\sin (\alpha + \beta) = PB = RB+PR = AQ+PR = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>

<math>\beta</math> yerine <math>-\beta</math> koyarak ve [[tek ve çift fonksiyonlar]] için [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Yansımalar|yansıma özdeşlikleri]]ni kullanarak da elde ederiz:
:<math>\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos (-\beta) + \cos \alpha \sin (-\beta)</math>
:<math>\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta</math>

====Kosinüs====
Yukarıdaki şekli kullanarak,

:<math>OP = 1</math>

:<math>PQ = \sin \beta</math>

:<math>OQ = \cos \beta</math>

:<math>\frac{OA}{OQ} = \cos \alpha</math>, so <math>OA = \cos \alpha \cos \beta</math>

:<math>\frac{RQ}{PQ} = \sin \alpha</math>, so <math>RQ = \sin \alpha \sin \beta</math>

:<math>\cos (\alpha + \beta) = OB = OA-BA = OA-RQ = \cos \alpha \cos \beta\ - \sin \alpha \sin \beta</math>

<math>\beta</math> yerine <math>-\beta</math> koyarak ve [[tek ve çift fonksiyonlar]] için [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Yansımalar|yansıma özdeşlikleri]]ni kullanarak da elde ederiz:

:<math>\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos (-\beta) - \sin \alpha \sin (-\beta),</math>
:<math>\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>

Ayrıca, [[Tümler açı|tümler açı formülleri]] kullanılarak,
:<math>
\begin{align}
\cos (\alpha + \beta) & = \sin\left(  \pi/2-(\alpha + \beta)\right) \\
& = \sin\left(  (\pi/2-\alpha) - \beta\right) \\
& = \sin\left(  \pi/2-\alpha\right) \cos \beta - \cos\left(  \pi/2-\alpha\right) \sin \beta \\
& = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\end{align}
</math>

====Tanjant ve kotanjant====
Sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz
:<math>\tan (\alpha + \beta) = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}
= \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}</math>

Hem pay hem de paydayı <math> \cos \alpha \cos \beta </math> ile bölersek, şunu elde ederiz
:<math>\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}</math>

<math> \beta </math> değerini, <math> \alpha </math> değerinden <math>\tan (- \beta) = -\tan \beta </math> eşitliği yardımıyla çıkarırsak,
:<math>\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan (-\beta)}{1 - \tan \alpha \tan (-\beta)} = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>

Benzer şekilde, sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{\cos (\alpha + \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}
= \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}</math>

Daha sonra hem pay hem de paydayı <math> \sin \alpha \sin \beta </math> ile bölerek şunu elde ederiz
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}</math>

Ya da <math> \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} </math> eşitliğini kullanarak,
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{1 - \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta}
= \frac{\frac{1}{\tan \alpha \tan \beta} - 1}{\frac{1}{\tan \alpha} + \frac{1}{\tan \beta}}
= \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta} </math>

<math>\cot (- \beta) = -\cot \beta </math> eşitliğini kullanarak,
:<math>\cot (\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot (-\beta) - 1}{ \cot \alpha + \cot (-\beta) } = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}</math>

===Çift açı özdeşlikleri===
Açı toplam özdeşliklerinden şunu elde ederiz

:<math>\sin (2 \theta) = 2 \sin \theta \cos \theta</math>

ve

:<math>\cos (2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta</math>

Pisagor özdeşlikleri bunlardan ikincisi için iki alternatif form verir:

:<math>\cos (2 \theta) = 2 \cos^2 \theta - 1</math>

:<math>\cos (2 \theta) = 1 - 2 \sin^2 \theta</math>

Açı toplam özdeşlikleri de şunları verir

:<math>\tan (2 \theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2}{\cot \theta - \tan \theta}</math>

:<math>\cot (2 \theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}</math>

Ayrıca [[Euler formülü]] kullanılarak da kanıtlanabilir.

:<math> e^{i \varphi}=\cos \varphi +i \sin \varphi</math>

Her iki tarafın karesi alındığında

:<math> e^{i 2\varphi}=(\cos \varphi +i \sin \varphi)^{2}</math>

Ancak açıyı, denklemin sol tarafında aynı sonucu veren iki katına çıkarılmış versiyonu ile değiştirirsek

:<math> e^{i 2\varphi}=\cos 2\varphi +i \sin 2\varphi</math>

Bundan şu sonuç çıkar

:<math>(\cos \varphi +i \sin \varphi)^{2}=\cos 2\varphi +i \sin 2\varphi</math>.

Kareyi genişletmek ve denklemin sol tarafını sadeleştirmek şu sonucu verir

:<math>i(2 \sin \varphi \cos \varphi) + \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi\ = \cos 2\varphi +i \sin 2\varphi</math>.

Sanal ve gerçek kısımlar aynı olmak zorunda olduğundan, orijinal özdeşliklerle baş başa kalırız

:<math>\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi\ = \cos 2\varphi</math>,

ve ayrıca

:<math>2 \sin \varphi \cos \varphi = \sin 2\varphi</math>.

=== Yarım açı özdeşlikleri===
cos 2θ için alternatif formları veren iki özdeşlik aşağıdaki denklemlere yol açar:

:<math>\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{2},</math>

:<math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{2}.</math>

Karekök işaretinin doğru seçilmesi gerekir -θ'ya 2{{pi}} eklenirse, kareköklerin içindeki büyüklüklerin değişmediğini, ancak denklemlerin sol taraflarının işaret değiştirdiğini unutmayın. Bu nedenle, kullanılacak doğru işaret θ değerine bağlıdır.

Tan fonksiyonu için denklem şöyledir:

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}.</math>

Daha sonra karekök içindeki pay ve paydayı (1 + cos θ) ile çarpmak ve Pisagor özdeşliklerini kullanmak şu sonucu verir:

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}.</math>

Ayrıca, pay ve paydanın her ikisi de (1 - cos θ) ile çarpılırsa, sonuç şu olur:

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}.</math>

Bu aynı zamanda şunu da verir:

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta.</math>

Benzer düzenlemeler cot fonksiyonu için de geçerlidir:

:<math>\cot \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \csc \theta + \cot \theta.</math>

===Çeşitli – üçlü tanjant özdeşliği===

Eğer <math>\psi + \theta + \phi = \pi = </math> yarım çember ise (örneğin, <math>\psi</math>, <math>\theta</math> ve <math>\phi</math> bir üçgenin açılarıdır),
:<math>\tan(\psi) + \tan(\theta) + \tan(\phi) = \tan(\psi)\tan(\theta)\tan(\phi).</math>

'''''İspat:'''''<ref>{{web kaynağı |url=http://mathlaoshi.com/tags/tangent-identity/ |başlık=Tangent Identity &#124; Math 老师 |erişimtarihi=30 Ekim 2013 |ölüurl=evet |arşivurl=https://web.archive.org/web/20131029203121/http://mathlaoshi.com/tags/tangent-identity/ |arşivtarihi=29 Ekim 2013 }} dead link</ref>

:<math>
\begin{align}
\psi & = \pi - \theta - \phi \\
\tan(\psi) & = \tan(\pi - \theta - \phi) \\
& = - \tan(\theta + \phi) \\
& = \frac{- \tan\theta - \tan\phi}{1 - \tan\theta \tan\phi} \\
& = \frac{\tan\theta + \tan\phi}{\tan\theta \tan\phi - 1} \\
(\tan\theta \tan\phi - 1) \tan\psi & = \tan\theta + \tan\phi \\
\tan\psi \tan\theta \tan\phi - \tan\psi & = \tan\theta + \tan\phi \\
\tan\psi \tan\theta \tan\phi & = \tan\psi + \tan\theta + \tan\phi \\
\end{align}
</math>

===Çeşitli – üçlü kotanjant özdeşliği===
Eğer <math>\psi + \theta + \phi = \tfrac{\pi}{2} = </math> çeyrek çember ise,

:<math> \cot(\psi) + \cot(\theta) + \cot(\phi) = \cot(\psi)\cot(\theta)\cot(\phi)</math>.

'''''İspat:'''''

<math>\psi </math>, <math>\theta </math> ve <math>\phi </math> açılarının her birini tümler açılarıyla değiştirin, böylece kotanjantlar tanjantlara dönüşür ve bunun tersi de geçerlidir.

:<math>\psi + \theta + \phi = \tfrac{\pi}{2}</math>
:<math>\therefore (\tfrac{\pi}{2}-\psi) + (\tfrac{\pi}{2}-\theta) + (\tfrac{\pi}{2}-\phi) = \tfrac{3\pi}{2} - (\psi+\theta+\phi) = \tfrac{3\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2} = \pi </math>

verildiğinde sonuç üçlü tanjant özdeşliğinden çıkar.

===Çarpım-toplam özdeşlikleri===
* <math>\sin \theta \pm \sin \phi = 2 \sin \left ( \frac{\theta\pm \phi}2 \right ) \cos \left ( \frac{\theta\mp \phi}2 \right )</math>
* <math>\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos \left ( \frac{\theta+\phi}2 \right ) \cos \left ( \frac{\theta-\phi}2 \right ) </math>
* <math>\cos \theta - \cos \phi = -2 \sin \left ( \frac{\theta+\phi}2 \right ) \sin \left ( \frac{\theta-\phi}2 \right ) </math>

====Sinüs özdeşliklerinin ispatı====
İlk olarak, toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:
:<math>\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>
:<math>\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta</math>

Bunları toplayarak,
:<math>\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
= 2 \sin \alpha \cos \beta </math>

Benzer şekilde, iki toplam açı özdeşliğini çıkararak,
:<math>\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
= 2 \cos \alpha \sin \beta </math>

<math>\alpha + \beta = \theta</math> ve <math>\alpha - \beta = \phi</math> olsun,
:<math>\therefore \alpha = \frac{\theta + \phi}2 </math> ve <math>\beta = \frac{\theta - \phi}2 </math>

<math>\theta</math> ve <math>\phi</math> yerine
:<math>\sin \theta + \sin \phi = 2 \sin \left( \frac{\theta + \phi}2 \right) \cos \left( \frac{\theta - \phi}2 \right) </math>
:<math>\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos \left( \frac{\theta + \phi}2 \right) \sin \left( \frac{\theta - \phi}2 \right) = 2 \sin \left( \frac{\theta - \phi}2 \right) \cos \left( \frac{\theta + \phi}2 \right) </math>

Dolayısıyla,
:<math>\sin \theta \pm \sin \phi = 2 \sin \left( \frac{\theta\pm \phi}2 \right) \cos \left( \frac{\theta\mp \phi}2 \right) </math>

====Kosinüs özdeşliklerinin ispatı====

Benzer şekilde kosinüs için de toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:
:<math>\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta\ - \sin \alpha \sin \beta</math>
:<math>\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>

Tekrar, toplama ve çıkarma yaparak
:<math>\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta\ - \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = 2\cos \alpha \cos \beta</math>
:<math>\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta\ - \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
= -2 \sin \alpha \sin \beta</math>

<math>\theta</math> ve <math>\phi</math> değerlerini daha önce olduğu gibi yerine koyun,
:<math>\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos \left( \frac{\theta+\phi}2 \right) \cos \left( \frac{\theta-\phi}2 \right) </math>
:<math>\cos \theta - \cos \phi = -2 \sin \left( \frac{\theta+\phi}2 \right) \sin \left( \frac{\theta-\phi}2 \right) </math>

===Eşitsizlikler===
{{Ayrıca bakınız|Üçgen eşitsizlikleri listesi}}

[[Dosya:TrigInequality.svg|sağ|küçükresim|upright=1.55|{{Ortala|Sinüs ve tanjant eşitsizliklerinin gösterimi.}}]]

Sağdaki şekil, yarıçapı 1 olan bir çemberin bir sektörünü göstermektedir. Sektör tüm çemberin {{math|''θ''/(2{{pi}})}}'sıdır, dolayısıyla alanı {{math|''θ''/2}}'dir. Burada {{math|''θ''' < {{pi}}/2}}.

:<math>OA = OD = 1</math>
:<math>AB = \sin \theta</math>
:<math>CD = \tan \theta</math>

{{math|''OAD''}} üçgeninin alanı {{math|''AB''/2}} veya {{math|sin(''θ'')/2}}'dir. Üçgenin {{math|''OCD''}} alanı {{math|''CD''/2}} veya {{math|tan(''θ'')/2}}'dir.

{{math|''OAD''}} üçgeni tamamen sektörün içinde yer aldığından ve sektör de tamamen {{math|''OCD''}} üçgeninin içinde yer aldığından,

:<math>\sin \theta < \theta < \tan \theta.</math>

Bu geometrik argüman, varsayım olarak hareket eden [[yay uzunluğu]] ve [[Peano-Jordan ölçüsü|alan]] tanımlarına dayanır, bu nedenle kanıtlanabilir bir özellikten ziyade [[trigonometrik fonksiyonlar]]ın yapımında dayatılan bir koşuldur.<ref>
{{dergi kaynağı |soyadı=Richman |ad=Fred |başlık=A Circular Argument |url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_1993-03_24_2/page/160 |dergi=The College Mathematics Journal |tarih=March 1993 |cilt=24 |sayı=2 |sayfalar=160-162 |jstor=2686787 |doi=10.2307/2686787}}</ref> Sinüs fonksiyonu için diğer değerleri de ele alabiliriz.  Eğer {{math| ''θ'' > {{pi}}/2}} ise, {{math|''θ'' > 1}}.  Ancak {{math|sin ''θ'' ≤ 1}} (Pisagor özdeşliği nedeniyle), bu nedenle {{math|sin ''θ'' < ''θ''}}.  O halde elimizde,

:<math>\frac{\sin \theta}{\theta} < 1\ \ \ \ \ 0 < \theta \ \ \ \mathrm{ise}.</math>

Negatif {{math|''θ''}} değerleri için sinüs fonksiyonunun simetrisi gereği

:<math>\frac{\sin \theta}{\theta} = \frac{\sin (-\theta)}{-\theta} < 1.</math>

Dolayısıyla

:<math>\frac{\sin \theta}{\theta} < 1\quad \text{ }\quad \theta \ne 0\quad \text{ ise},</math>
ve
:<math>\frac{\tan \theta}{\theta} > 1\quad  \text{ }\quad  0 < \theta < \frac{\pi}{2} \quad \text{ ise}.</math>

==Kalkülüs içeren özdeşlikler==

===Önbilgiler===

:<math>\lim_{\theta \to 0}{\sin \theta} = 0</math>
:<math>\lim_{\theta \to 0}{\cos \theta} = 1</math>

===Sinüs ve açı oranı özdeşliği===

:<math>\lim_{\theta \to 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}} = 1</math>

Başka bir deyişle, sinüs fonksiyonu 0'da [[türevlenebilir fonksiyon|türevlenebilir]]dir ve [[türev]]i 1'dir.

'''''İspat:''''' Önceki eşitsizliklerden, küçük açılar için

:<math>\sin \theta < \theta < \tan \theta</math>,
Bu nedenle,
:<math>\frac{\sin \theta}{\theta} < 1 < \frac{\tan \theta}{\theta}</math>,
Sağ taraftaki eşitsizliği göz önünde bulundurun. O zaman,
:<math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} </math>
:<math>\therefore 1 < \frac{\sin \theta}{\theta \cos \theta} </math>
<math>\cos \theta </math> ile çarpın
:<math>\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} </math>
Sol taraftaki eşitsizlik ile birleştirildiğinde:
:<math>\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 </math>
<math>\cos \theta </math> değerinin <math> \theta \to 0 </math> limitini alırsak
:<math>\lim_{\theta \to 0}{\cos \theta} = 1</math>
Böylece,
:<math>\lim_{\theta \to 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}} = 1</math>

=== Kosinüs ve açı oranı özdeşliği===
:<math>\lim_{\theta \to 0}\frac{1 - \cos \theta}{\theta} = 0</math>

'''''İspat:'''''

:<math>
\begin{align}
\frac{1 - \cos \theta}{\theta} & = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\theta (1 + \cos \theta)}\\
& = \frac{\sin^2 \theta}{\theta (1 + \cos \theta)}\\
& = \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) \times \sin \theta \times \left( \frac{1}{1 + \cos \theta} \right)\\
\end{align}
</math>

Bu üç niceliğin limitleri 1, 0 ve 1/2'dir, dolayısıyla sonuçta elde edilen limit sıfırdır.

=== Kosinüs ve açının karesi oranı özdeşliği===
:<math> \lim_{\theta \to 0}\frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}  = \frac{1}{2} </math>

'''''İspat:'''''

Önceki kanıtta olduğu gibi,

:<math>\frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{1}{1 + \cos \theta}.</math>

Bu üç niceliğin limitleri 1, 1 ve 1/2'dir, dolayısıyla ortaya çıkan limit 1/2'dir.

=== Trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların bileşimlerinin ispatı===

Tüm bu fonksiyonlar, Pisagor trigonometrik özdeşliğinden kaynaklanır. Örneğin şu fonksiyonu kanıtlayabiliriz
:<math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>

'''''İspat:'''''

Şuradan başlayalım;
:<math>\sin^2\theta+\cos^2\theta=1</math> (I)
Daha sonra bu (I) denklemini <math>\cos^2\theta</math>'a bölersek

:<math>\cos^2\theta=\frac{1}{\tan^2\theta+1}</math> (II)
:<math>1-\sin^2\theta=\frac{1}{\tan^2\theta+1}</math>
Ardından <math>\theta=\arctan(x)</math> ifadesini yerine koyun:

:<math>1-\sin^2[\arctan(x)]=\frac{1}{\tan^2[\arctan(x)]+1}</math>
:<math>\sin^2[\arctan(x)]=\frac{\tan^2[\arctan(x)]}{\tan^2[\arctan(x)]+1}</math>

Daha sonra <math>\tan[\arctan(x)]\equiv x</math> özdeşliğini kullanırız.
:<math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math> (III)

Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...

Benzer şekilde bu (I) denklemini <math>\sin^2\theta</math>'e bölersek
:<math>\sin^2\theta=\frac{\frac{1}{1}}{1+\frac{1}{\tan^2\theta}}</math> (II)
:<math>\sin^2\theta=\frac{\tan^2\theta}{\tan^2\theta+1}</math>

Ardından <math>\theta=\arctan(x)</math> ifadesini yerine koyun:
:<math>\sin^2[\arctan(x)]=\frac{\tan^2[\arctan(x)]}{\tan^2[\arctan(x)]+1}</math>

Daha sonra <math>\tan[\arctan(x)]\equiv x</math> özdeşliğini kullanırız.
:<math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math> (III)

Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...

:<math>[\arctan(x)]=[\arcsin(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})]</math>

:<math>y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math>

:<math>y^2=\frac{x^2}{x^2+1}</math> (IV)

Kanıtlamamız gereken şeyi tahmin edelim:

:<math>x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}</math>

:<math>x^2=\frac{y^2}{1-y^2}</math> (V)

(V)'i (IV) ile değiştirirsek:

:<math>y^2=\frac{\frac{y^2}{(1-y^2)}}{\frac{y^2}{(1-y^2)}+1}</math>

:<math>y^2=\frac{\frac{y^2}{(1-y^2)}}{\frac{1}{(1-y^2)}}</math>

Yani doğrudur: <math>y^2=y^2</math> ve tahmin ettiğimiz <math>x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}</math> ifadesi de doğruydu:

:<math>[\arctan(x)]=[\arcsin(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})]=[\arcsin(y)]=[\arctan(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}})]</math>

Şimdi ''y'', ''x'' olarak yazılabilir; ve [arctan] cinsinden ifade edilen [arcsin]'i elde ettik...

:<math>[\arcsin(x)]=[\arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})]</math>

Benzer şekilde, eğer araştırırsak:<math>[\arccos(x)]</math>....

:<math>\cos[\arccos(x)]=x</math>

:<math>\cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}-[\arccos(x)]))=x</math>

:<math>\sin(\frac{\pi}{2}-[\arccos(x)])=x</math>

:<math>\frac{\pi}{2}-[\arccos(x)]=[\arcsin(x)]</math>

:<math>[\arccos(x)]=\frac{\pi}{2}-[\arcsin(x)]</math>

<math>[\arcsin(x)]</math>'den ...

:<math>[\arccos(x)]=\frac{\pi}{2}-[\arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})]</math>

:<math>[\arccos(x)]=\frac{\pi}{2}-[\arccot(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x})]</math>

Ve son olarak [arctan] cindsinden ifade edilen [arccos]'u elde ettik...

:<math>[\arccos(x)]=[\arctan(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x})]</math>

==Ayrıca bakınız==
{{div sütunu|colwidth=22em}}
* [[Trigonometrik özdeşlikler listesi]]
* [[Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülü]]
* [[Trigonometrik tablolar]]
* [[Aryabhata sinüs tablosu]]
* [[Madhava sinüs tablosu]]
* [[Newton serileri tablosu]]
* [[Madhava serisi]]
* [[Birim vektör]] (yön kosinüsleri açıklar)
* [[Euler formülü]]
{{div sütunu-son}}

==Notlar==
{{Kaynakça}}

==Kaynakça==
{{kaynak başı}}
* [[E. T. Whittaker]] & [[G. N. Watson]]. ''[[A Course of Modern Analysis]]'', [[Cambridge University Press]], 1952
{{kaynak sonu}}

[[Kategori:Trigonometri]]
[[Kategori:Matematiksel ispatlar]]