Trigonometrik integral sayfasının kaynağını görüntüle

{{İçin|Trigonometrik fonksiyonların basit integralleri|Trigonometrik fonksiyonların integralleri}}
[[Dosya:Plot of the hyperbolic sine integral function Shi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Hiperbolik sinüs integral fonksiyonu Shi(z)'nin karmaşık düzlemde -2-2i ile 2+2i arasında Mathematica 13.1 ComplexPlot3D fonksiyonu ile oluşturulan renklerle çizimi|küçükresim|{{Ortala|Hiperbolik sinüs integral fonksiyonu Shi(z)'nin karmaşık düzlemde <math>-2-2i</math> ile <math>2+2i</math> arasında [[Mathematica]] 13.1 '''ComplexPlot3D''' fonksiyonu ile oluşturulan renklerle çizimi}}]]

[[Dosya:sine cosine integral.svg|küçükresim|{{Ortala|Si(''x'') ({{renk|blue|mavi}}) ve Ci(''x'') ({{renk|green|yeşil}}) aynı grafik üzerinde gösterilmiştir.}}]]

[[Dosya:Integral sine in the complex plain.svg|küçükresim|{{Ortala|Karmaşık düzlemde integral sinüs, [[tanım kümesi renklendirme]] nin bir çeşidi ile çizilmiştir.}}]]

[[Dosya:Cosc.svg|küçükresim|{{Ortala|Karmaşık düzlemde integral kosinüs. Negatif reel eksen boyunca [[Dallanma noktası#Dal kesimi|dal kesimi]]ne dikkat edin.}}]]

[[Matematik]]te, '''trigonometrik integraller''' [[trigonometrik fonksiyon]]ları içeren [[temel olmayan integral]]lerin [[indekslenmiş aile|ailesi]]dir.

==Sinüs integrali==
[[Dosya:Sine integral.svg|küçükresim|{{Ortala|{{math|0 ≤ ''x'' ≤ 8{{pi}}}} için '''Si(''x'')''' grafiği.}}]]
[[Dosya:Plot of the cosine integral function Ci(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Karmaşık düzlemde kosinüs integral fonksiyonu Ci(''z'')'nin -2&nbsp;-&nbsp;2''i'' ile 2&nbsp;+&nbsp;2''i'' arasında Mathematica 13.1 ComplexPlot3D fonksiyonu ile oluşturulan renklerle çizimi|küçükresim|{{Ortala|Karmaşık düzlemde kosinüs integral fonksiyonu Ci(''z'')'nin <math>-2-2i</math> ile <math>2+2i</math> arasında [[Mathematica]] 13.1 '''ComplexPlot3D''' fonksiyonu ile oluşturulan renklerle çizimi}}]]

Farklı [[sinüs (matematik)|sinüs]] integral tanımları şunlardır:
<math display="block">\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt</math>
<math display="block">\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt~.</math>

<math>\frac{\sin(t)}{t}</math> integralinin [[sinc fonksiyonu]] ve aynı zamanda sıfırıncı [[Bessel fonksiyonu#Küresel Bessel fonksiyonları: jn.2C yn|küresel Bessel fonksiyonu]] olduğuna dikkat edin.

Çünkü {{math|sinc}} bir [[tek ve çift fonksiyonlar|çift]] [[tam fonksiyon]] ([[holomorfik]] tüm [[karmaşık düzlem]] üzerinde), {{math| Si}} tamdır, tektir ve tanımındaki integral, uç noktaları birleştiren [[Cauchy integral teoremi|herhangi bir yol]] boyunca alınabilir.

Tanım olarak {{math| Si(''x'')}}, {{math|sin ''x'' / ''x''}}'in {{math|1=''x'' = 0}}'da değeri sıfır olan [[ilkel fonksiyon|ters türev]]idir ve {{math|si(''x'')}} ise {{math|1=''x'' = ∞}}'da değeri sıfır olan ters türevidir. Aralarındaki fark [[Dirichlet integrali]] tarafından verilir,
<math display="block">\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} \quad \text{ veya } \quad \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{si}(x) ~.</math>

[[Sinyal işleme]]de, sinüs integralinin salınımları [[sinc filtresi]] kullanıldığında [[aşırı salınım (sinyal)|aşırı salınım]] ve [[halkasal bozulma]]ya ve [[alçak geçiren filtre]] olarak kesilmiş bir sinc filtresi kullanıldığında [[Frekans uzayı|frekans etki alanı]] bozulmaya neden olur.

Bununla ilgili [[Gibbs fenomeni]] vardır: Sinüs integrali, sinc fonksiyonunun [[Heaviside basamak fonksiyonu]] ile [[konvolüsyon]]u olarak kabul edilirse, bu Gibbs fenomeninin nedeni olan [[Fourier serisi]]nin kesilmesine karşılık gelir.

==Kosinüs integrali==
[[Dosya:Cosine integral.svg|küçükresim|{{Ortala|0 < {{mvar|x}} ≤ 8{{mvar|π}} için {{math|Ci(''x'')}} grafiği.}}]]

Farklı [[kosinüs]] integral tanımları şunlardır:
<math display="block">\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt~,</math>
<math display="block">\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\,dt = \gamma + \ln x - \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt
\qquad ~\left|\operatorname{Arg}(x)\right| < \pi~ \text{ için },</math>

burada {{math|1=''γ'' ≈ 0,57721566 ...}} [[Euler-Mascheroni sabiti]]dir. Bazı metinlerde {{math|Ci}} yerine {{math|ci}} kullanılır.

{{math|Ci(''x'')}}, {{math|cos ''x'' / ''x''}} (<math>x \to \infty</math> sıfıra eşit olan) ters türevidir. Bu iki tanım,
 
<math display=“block”>\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x)~</math>

ile ilişkilidir. {{math|Cin}} bir [[tek ve çift fonksiyonlar|çift]], [[tam fonksiyon]]dur. Bu nedenle, bazı metinler {{math|Cin}}'i birincil fonksiyon olarak ele alır ve {{math|Ci}}'yi {{math|Cin}} cinsinden türetir.

==Hiperbolik sinüs integrali==
[[Hiperbolik sinüs]] integrali şu şekilde tanımlanır:

<math display="block">\operatorname{Shi}(x) =\int_0^x \frac {\sinh (t)}{t}\,dt.</math>

Sıradan sinüs integrali ile şu şekilde ilişkilidir:

<math display="block">\operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x).</math>

[[Dosya:Plot of the hyperbolic cosine integral function Chi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Hiperbolik kosinüs integral fonksiyonu Chi(z)'nin karmaşık düzlemde -2-2i ile 2+2i arasında Mathematica 13.1 ComplexPlot3D fonksiyonu ile oluşturulan renklerle çizimi|küçükresim|{{Ortala|Hiperbolik kosinüs integral fonksiyonu Chi(z)'nin karmaşık düzlemde <math>-2-2i</math> ile <math>2+2i</math> arasında [[Mathematica]] 13.1 '''ComplexPlot3D''' fonksiyonu ile oluşturulan renklerle çizimi}}]]

==Hiperbolik kosinüs integrali==
[[Hiperbolik kosinüs]] integrali şöyledir:

<math display="block">\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt \qquad ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| < \pi~ \text{ için }~,</math>

burada <math>\gamma</math> [[Euler-Mascheroni sabiti]]dir.

Aşağıdaki seri açılımına sahiptir:

<math display="block">\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).</math>

==Yardımcı fonksiyonlar==
Trigonometrik integraller, "[[yardımcı fonksiyon]]lar" olarak adlandırılan terimlerle anlaşılabilir.

<small>
<math display="block">
\begin{array}{rcl}
f(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt 
 &=& \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~,  \\
g(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt 
 &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.
\end{array}
</math>
</small>

Bu fonksiyonlar kullanılarak trigonometrik integraller aşağıdaki gibi yeniden ifade edilebilir 
(bkz. Abramowitz & Stegun, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_232.htm s. 232])

<math display="block">\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x)  &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ ve } \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\
\end{array}</math>

==Nielsen sarmalı==
[[Dosya:Nielsen's spiral.png|küçükresim|{{Ortala|[[Nielsen sarmalı]]}}]]

{{math|si , ci}} parametrik grafiği ile oluşturulan [[spiral]], Nielsen spirali olarak bilinir.

<math display="block">x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)</math>
<math display="block">y(t) = a \times \operatorname{si}(t)</math>

Sarmal, [[Fresnel integrali]] ve [[Euler spirali]] ile yakından ilişkilidir. Nielsen spiralinin görüntü işleme, yol ve iz yapımı ve diğer alanlarda uygulamaları vardır.<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Gray|başlık=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces.|url=https://archive.org/details/moderndifferenti0000gray|yayıncı=|yıl=1993|isbn=|yer=Boca Raton|sayfalar=[https://archive.org/details/moderndifferenti0000gray/page/119 119]}}</ref>

==Açılım==
Trigonometrik integrallerin değerlendirilmesi için argümanın aralığına bağlı olarak çeşitli açılımlar kullanılabilir.

=== Asimptotik seri (büyük argüman için)===
<math display="block">\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} 
 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)</math>
<math display="block">\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.</math>

Bu seriler [[Asimptotik seri|asimptotik]] ve ıraksaktır, ancak {{math|ℜ(''x'') ≫ 1}} değerinde tahminler ve hatta kesin değerlendirme için kullanılabilir.

===Yakınsak seriler===
<math display="block">\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots</math>
<math display="block">\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2} + \frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots</math>

Bu seriler herhangi bir kompleks {{mvar|x}} değerinde yakınsaktır, ancak {{math|{{Mutlak değer|''x''}} ≫ 1}} için seri başlangıçta yavaş yakınsayacak ve yüksek hassasiyet için birçok terim gerektirecektir.

=== Seri açılımının türetilmesi ===
Sinüsün Maclaurin serisi açılımından:<math display=“block”>\sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!} + \cdots</math>

<math display="block">\frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\cdots</math>

<math display="block">\therefore\int \frac{\sin\,x}{x}dx = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\cdots </math>

==Sanal argümanın üstel integral ile ilişki==
<math display="block">\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad~\text{ for }~ \Re(z) \ge 0 </math>

fonksiyonu [[üstel integral]] olarak adlandırılır. Bu integral, {{math|Si}} ve {{math|Ci}} ile yakından ilişkilidir;

<math display="block">
\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ for }~ x > 0 ~.
</math>

İlgili her bir fonksiyon, argümanın negatif değerlerindeki kesim dışında analitik olduğundan, bağıntının geçerlilik alanı genişletilmelidir (Bu aralığın dışında, {{math|''π''}}'nin [[tam sayı]] çarpanları olan ek terimler ifadede görünür).

Genelleştirilmiş integro-üstel fonksiyonun sanal argümanının durumları şunlardır:

<math display="block">
\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2} ~,
</math>
ki bu da, 
<math display="block">
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x}\,dx = 
-\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} 
-\frac{\pi}{2}i\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2}  ~.
</math>
ifadesinin gerçek kısmıdır. Benzer şekilde,
<math display="block">
\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\,dx = 
 1 + ia\left[ -\frac{\pi^2}{24} + \gamma \left( \frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right]
 + \frac{\pi a}{2} \Bigl( \gamma+\ln a - 1 \Bigr) 
 + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}~.
</math>

==Etkin değerlendirme==
Yakınsak [[Taylor serisi|Taylor serileri]]nin [[Padé yaklaşımı|Padé yaklaşımları]], küçük argümanlar için fonksiyonları değerlendirmenin etkili bir yolunu sağlar. Rowe ve diğerleri (2015)<ref name=RoweEtAl2015>{{dergi kaynağı |soyadı1=Rowe |ad1=B. |yazarları-göster=etal |başlık=GALSIM: The modular galaxy image simulation toolkit |dergi=Astronomy and Computing |yıl=2015 |cilt=10 |sayfa=121 |doi=10.1016/j.ascom.2015.02.002 |arxiv=1407.7676 |bibcode=2015A&C....10..121R|s2cid=62709903 }}</ref> tarafından verilen aşağıdaki formüller, {{math|0 ≤ ''x'' ≤ 4}} için {{math|10<sup>-16</sup>}}'dan daha doğrudur,

<math display="block">\begin{array}{rcl}
\operatorname{Si}(x) &\approx & x \cdot \left( 
\frac{
\begin{array}{l}
1 -4.54393409816329991\cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 1.15457225751016682\cdot 10^{-3} \cdot x^4 - 1.41018536821330254\cdot 10^{-5} \cdot x^6 \\
~~~ + 9.43280809438713025 \cdot 10^{-8} \cdot x^8 - 3.53201978997168357 \cdot 10^{-10} \cdot x^{10} + 7.08240282274875911 \cdot 10^{-13} \cdot x^{12} \\
~~~ - 6.05338212010422477 \cdot 10^{-16} \cdot x^{14}
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1.01162145739225565 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 4.99175116169755106 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 1.55654986308745614 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 3.28067571055789734 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 4.5049097575386581 \cdot 10^{-13} \cdot x^{10} + 3.21107051193712168 \cdot 10^{-16} \cdot x^{12}
\end{array}
}
\right)\\
&~&\\
\operatorname{Ci}(x) &\approx & \gamma + \ln(x) +\\
&& x^2 \cdot \left(
\frac{
\begin{array}{l}
-0.25 + 7.51851524438898291 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 - 1.27528342240267686 \cdot 10^{-4} \cdot x^4 + 1.05297363846239184 \cdot 10^{-6} \cdot x^6 \\
~~~ -4.68889508144848019 \cdot 10^{-9} \cdot x^8 + 1.06480802891189243 \cdot  10^{-11} \cdot x^{10} - 9.93728488857585407 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1.1592605689110735 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 6.72126800814254432 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 2.55533277086129636 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 6.97071295760958946 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 1.38536352772778619 \cdot 10^{-12} \cdot x^{10} + 1.89106054713059759 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
~~~ + 1.39759616731376855 \cdot 10^{-18} \cdot x^{14} \\
\end{array}
}
\right)
\end{array}</math>

İntegraller, [[yardımcı fonksiyon]]lar aracılığıyla dolaylı olarak değerlendirilebilir. <math>f(x)</math> ve <math>g(x)</math> ile tanımlanır.

{|
|<math display="block">\operatorname{Si}(x)=\frac{\pi}{2}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)</math>
|  
|<math display="block">\operatorname{Ci}(x)=f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x) </math>
|-
|colspan="3" align="center"| <small>''veya eşdeğer olarak''</small> 
|-
|<math display="block">f(x) \equiv \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x)\right] \cos(x) + \operatorname{Ci}(x) \sin(x)</math>
|  
|<math display="block">g(x) \equiv \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x)\right] \sin(x) - \operatorname{Ci}(x) \cos(x)</math>
|}

<math>x \ge 4</math> için aşağıda verilen [[Padé yaklaşımı|Padé rasyonel fonksiyonları]] <math>f(x)</math> ve <math>g(x)</math>'e 10<sup>−16</sup>'dan daha az hata ile yaklaşır:<ref name=RoweEtAl2015/>

<math display="block">\begin{array}{rcl}
f(x) &\approx & \dfrac{1}{x} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 7.44437068161936700618 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.96396372895146869801 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.37750310125431834034 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1.43073403821274636888 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.33736238870432522765 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 6.40533830574022022911 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 4.20968180571076940208 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.00795182980368574617 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 4.94816688199951963482 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 4.94701168645415959931 \cdot 10^{11} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 7.46437068161927678031 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.97865247031583951450 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.41535670165126845144 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1.47478952192985464958 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.58595115847765779830 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 7.08501308149515401563 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 5.06084464593475076774 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.43468549171581016479 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 1.11535493509914254097 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
& &\\
g(x) &\approx & \dfrac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 8.1359520115168615 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.35239181626478200 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} +3.12557570795778731 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2.06297595146763354 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 6.83052205423625007 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.09049528450362786 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 7.57664583257834349 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.81004487464664575 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 6.43291613143049485 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 1.36517137670871689 \cdot 10^{12} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 8.19595201151451564 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.40036752835578777 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3.26026661647090822 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2.23355543278099360 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 7.87465017341829930 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.39866710696414565 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 1.17164723371736605 \cdot 10^{13} \cdot x^{-14} + 4.01839087307656620 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 3.99653257887490811 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
\end{array}</math>

==Ayrıca bakınız==
*[[Logaritmik integral fonksiyonu]]
*[[Sinc fonksiyonu#Tanc|Tanc fonksiyonu]]
*[[Hiperbolik fonksiyon#Tanhc|Tanhc fonksiyonu]]
*[[Hiperbolik fonksiyon#Sinhc|Sinhc fonksiyonu]]
*[[Hiperbolik fonksiyon#Coshc|Coshc fonksiyonu]]

== Kaynakça==
{{Kaynakça|25em}}

* {{Abramowitz Stegun ref|5|231}}

== Konuyla ilgili okumalar ==
* {{cite arXiv |first1=R.J. |last1=Mathar |eprint=0912.3844 |title=Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(''i{{pi}}x'')·''x''<sup>1/''x''</sup> between 1 and ∞ |year=2009 |class=math.CA |at=Appendix B}}
* {{kitap kaynağı |soyadı1=Press |ad1=W.H. |soyadı2=Teukolsky |ad2=S.A. |soyadı3=Vetterling |ad3=W.T. |soyadı4=Flannery |ad4=B.P. |yıl=2007 |başlık=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |seri=3rd  |yayıncı=Cambridge University Press |yayınyeri=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |kısım=Section&nbsp;6.8.2 – Cosine and Sine Integrals |bölümurl=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300}}
* {{web kaynağı |ad=Dan |soyadı=Sloughter |url=http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf |başlık=Sine Integral Taylor series proof |website=Difference Equations to Differential Equations}}
* {{dlmf |id=6 |title=Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals |first=N.M. |last=Temme}}

==Dış bağlantılar==
* {{MathWorld|SineIntegral|title=Sine Integral}}
* {{springer|title=Integral sine|id=p/i051650}}
* {{springer|title=Integral cosine|id=p/i051370}}

[[Kategori:Trigonometri]]
[[Kategori:Özel fonksiyonlar]]
[[Kategori:Özel hipergeometrik fonksiyonlar]]
[[Kategori:İntegral]]