Trigonometrik integral

Şablon:Ortala

Şablon:Ortala

Şablon:Ortala

Şablon:Ortala

Matematikte, trigonometrik integraller trigonometrik fonksiyonları içeren temel olmayan integrallerin ailesidir.

Sinüs integrali

Şablon:Ortala

Şablon:Ortala

Farklı sinüs integral tanımları şunlardır: $$\mathrm{Si}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$$ $$\mathrm{si}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt.$$

$\frac{\sin (t)}{t}$ integralinin sinc fonksiyonu ve aynı zamanda sıfırıncı küresel Bessel fonksiyonu olduğuna dikkat edin.

Çünkü Şablon:Math bir çift tam fonksiyon (holomorfik tüm karmaşık düzlem üzerinde), Şablon:Math tamdır, tektir ve tanımındaki integral, uç noktaları birleştiren herhangi bir yol boyunca alınabilir.

Tanım olarak Şablon:Math, Şablon:Math'in Şablon:Math'da değeri sıfır olan ters türevidir ve Şablon:Math ise Şablon:Math'da değeri sıfır olan ters türevidir. Aralarındaki fark Dirichlet integrali tarafından verilir, $$\mathrm{Si}(x)-\mathrm{si}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi }{2}\text{ veya }\mathrm{Si}(x)=\frac{\pi }{2}+\mathrm{si}(x).$$

Sinyal işlemede, sinüs integralinin salınımları sinc filtresi kullanıldığında aşırı salınım ve halkasal bozulmaya ve alçak geçiren filtre olarak kesilmiş bir sinc filtresi kullanıldığında frekans etki alanı bozulmaya neden olur.

Bununla ilgili Gibbs fenomeni vardır: Sinüs integrali, sinc fonksiyonunun Heaviside basamak fonksiyonu ile konvolüsyonu olarak kabul edilirse, bu Gibbs fenomeninin nedeni olan Fourier serisinin kesilmesine karşılık gelir.

Kosinüs integrali

Şablon:Ortala

Farklı kosinüs integral tanımları şunlardır: $$\mathrm{Cin}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt,$$ $$\mathrm{Ci}(x)=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos t}{t}dt=\gamma +\ln x-\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1-\cos t}{t}dt|\mathrm{Arg}(x)|<\pi \text{ için },$$

burada Şablon:Math Euler-Mascheroni sabitidir. Bazı metinlerde Şablon:Math yerine Şablon:Math kullanılır.

Şablon:Math, Şablon:Math ($x\to \mathrm{\infty }$ sıfıra eşit olan) ters türevidir. Bu iki tanım,

$\mathrm{Ci}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{Cin}(x)$

ile ilişkilidir. Şablon:Math bir çift, tam fonksiyondur. Bu nedenle, bazı metinler Şablon:Math'i birincil fonksiyon olarak ele alır ve Şablon:Math'yi Şablon:Math cinsinden türetir.

Hiperbolik sinüs integrali

Hiperbolik sinüs integrali şu şekilde tanımlanır:

$$\mathrm{Shi}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sinh (t)}{t}dt.$$

Sıradan sinüs integrali ile şu şekilde ilişkilidir:

$$\mathrm{Si}(ix)=i\mathrm{Shi}(x).$$

Şablon:Ortala

Hiperbolik kosinüs integrali

Hiperbolik kosinüs integrali şöyledir:

$$\mathrm{Chi}(x)=\gamma +\ln x+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\cosh t-1}{t}dt|\mathrm{Arg}(x)|<\pi \text{ için },$$

burada $\gamma$ Euler-Mascheroni sabitidir.

Aşağıdaki seri açılımına sahiptir:

$$\mathrm{Chi}(x)=\gamma +\ln (x)+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{96}+\frac{x^6}{4320}+\frac{x^8}{322560}+\frac{x^{10}}{36288000}+O(x^{12}).$$

Yardımcı fonksiyonlar

Trigonometrik integraller, "yardımcı fonksiyonlar" olarak adlandırılan terimlerle anlaşılabilir.

$$\begin{array}{ccccccc}f(x)& \equiv & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (t)}{t+x}dt& =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-xt}}{t^2+1}dt& =& \mathrm{Ci}(x)\sin (x)+[\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)]\cos (x),\\ g(x)& \equiv & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos (t)}{t+x}dt& =& \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t{e}^{-xt}}{t^2+1}dt& =& -\mathrm{Ci}(x)\cos (x)+[\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)]\sin (x).\end{array}$$

Bu fonksiyonlar kullanılarak trigonometrik integraller aşağıdaki gibi yeniden ifade edilebilir (bkz. Abramowitz & Stegun, s. 232)

$$\begin{array}{ccc}\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)=-\mathrm{si}(x)& =& f(x)\cos (x)+g(x)\sin (x),\text{ ve }\\ \mathrm{Ci}(x)& =& f(x)\sin (x)-g(x)\cos (x).\end{array}$$

Nielsen sarmalı

Şablon:Ortala

Şablon:Math parametrik grafiği ile oluşturulan spiral, Nielsen spirali olarak bilinir.

$$x(t)=a\times \mathrm{ci}(t)$$ $$y(t)=a\times \mathrm{si}(t)$$

Sarmal, Fresnel integrali ve Euler spirali ile yakından ilişkilidir. Nielsen spiralinin görüntü işleme, yol ve iz yapımı ve diğer alanlarda uygulamaları vardır.

Açılım

Trigonometrik integrallerin değerlendirilmesi için argümanın aralığına bağlı olarak çeşitli açılımlar kullanılabilir.

Asimptotik seri (büyük argüman için)

$$\mathrm{Si}(x)\sim \frac{\pi }{2}-\frac{\cos x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots )-\frac{\sin x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots )$$ $$\mathrm{Ci}(x)\sim \frac{\sin x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots )-\frac{\cos x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots ).$$

Bu seriler asimptotik ve ıraksaktır, ancak Şablon:Math değerinde tahminler ve hatta kesin değerlendirme için kullanılabilir.

Yakınsak seriler

$$\mathrm{Si}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}-\frac{x^7}{7!\cdot 7}\pm \cdots$$ $$\mathrm{Ci}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma +\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot 2}+\frac{x^4}{4!\cdot 4}\mp \cdots$$

Bu seriler herhangi bir kompleks Şablon:Mvar değerinde yakınsaktır, ancak Şablon:Math için seri başlangıçta yavaş yakınsayacak ve yüksek hassasiyet için birçok terim gerektirecektir.

Seri açılımının türetilmesi

Sinüsün Maclaurin serisi açılımından:$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\cdots$

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\cdots$$

$$\therefore \int \frac{\sin x}{x}dx=x-\frac{x^3}{3!\cdot 3}+\frac{x^5}{5!\cdot 5}-\frac{x^7}{7!\cdot 7}+\frac{x^9}{9!\cdot 9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot 11}+\cdots$$

Sanal argümanın üstel integral ile ilişki

$${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (-zt)}{t}dt\text{ for }\mathrm{\Re }(z)\ge 0$$

fonksiyonu üstel integral olarak adlandırılır. Bu integral, Şablon:Math ve Şablon:Math ile yakından ilişkilidir;

$${\mathrm{E}}_1(ix)=i(-\frac{\pi }{2}+\mathrm{Si}(x))-\mathrm{Ci}(x)=i\mathrm{si}(x)-\mathrm{ci}(x)\text{ for }x>0.$$

İlgili her bir fonksiyon, argümanın negatif değerlerindeki kesim dışında analitik olduğundan, bağıntının geçerlilik alanı genişletilmelidir (Bu aralığın dışında, Şablon:Math'nin tam sayı çarpanları olan ek terimler ifadede görünür).

Genelleştirilmiş integro-üstel fonksiyonun sanal argümanının durumları şunlardır:

$$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (ax)\frac{\ln x}{x}dx=-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}+\sum _{n\ge 1}\frac{(-a^2{)}^n}{(2n)!(2n{)}^2},$$ ki bu da, $$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{iax}\frac{\ln x}{x}dx=-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}-\frac{\pi }{2}i(\gamma +\ln a)+\sum _{n\ge 1}\frac{(ia{)}^n}{n!n^2}.$$ ifadesinin gerçek kısmıdır. Benzer şekilde, $$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{iax}\frac{\ln x}{x^2}dx=1+ia[-\frac{{\pi }^2}{24}+\gamma (\frac{\gamma }{2}+\ln a-1)+\frac{{\ln }^{2}a}{2}-\ln a+1]+\frac{\pi a}{2}(\gamma +\ln a-1)+\sum _{n\ge 1}\frac{(ia{)}^{n+1}}{(n+1)!n^2}.$$

Etkin değerlendirme

Yakınsak Taylor serilerinin Padé yaklaşımları, küçük argümanlar için fonksiyonları değerlendirmenin etkili bir yolunu sağlar. Rowe ve diğerleri (2015) tarafından verilen aşağıdaki formüller, Şablon:Math için Şablon:Math'dan daha doğrudur,

$$\begin{array}{ccc}\mathrm{Si}(x)& \approx & x\cdot \left(\frac{\begin{array}{c}1-4.54393409816329991\cdot 10^{-2}\cdot x^2+1.15457225751016682\cdot 10^{-3}\cdot x^4-1.41018536821330254\cdot 10^{-5}\cdot x^6\\ +9.43280809438713025\cdot 10^{-8}\cdot x^8-3.53201978997168357\cdot 10^{-10}\cdot x^{10}+7.08240282274875911\cdot 10^{-13}\cdot x^{12}\\ -6.05338212010422477\cdot 10^{-16}\cdot x^{14}\end{array}}{\begin{array}{c}1+1.01162145739225565\cdot 10^{-2}\cdot x^2+4.99175116169755106\cdot 10^{-5}\cdot x^4+1.55654986308745614\cdot 10^{-7}\cdot x^6\\ +3.28067571055789734\cdot 10^{-10}\cdot x^8+4.5049097575386581\cdot 10^{-13}\cdot x^{10}+3.21107051193712168\cdot 10^{-16}\cdot x^{12}\end{array}}\right)\\ & & \\ \mathrm{Ci}(x)& \approx & \gamma +\ln (x)+\\ & & x^2\cdot \left(\frac{\begin{array}{c}-0.25+7.51851524438898291\cdot 10^{-3}\cdot x^2-1.27528342240267686\cdot 10^{-4}\cdot x^4+1.05297363846239184\cdot 10^{-6}\cdot x^6\\ -4.68889508144848019\cdot 10^{-9}\cdot x^8+1.06480802891189243\cdot 10^{-11}\cdot x^{10}-9.93728488857585407\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\end{array}}{\begin{array}{c}1+1.1592605689110735\cdot 10^{-2}\cdot x^2+6.72126800814254432\cdot 10^{-5}\cdot x^4+2.55533277086129636\cdot 10^{-7}\cdot x^6\\ +6.97071295760958946\cdot 10^{-10}\cdot x^8+1.38536352772778619\cdot 10^{-12}\cdot x^{10}+1.89106054713059759\cdot 10^{-15}\cdot x^{12}\\ +1.39759616731376855\cdot 10^{-18}\cdot x^{14}\end{array}}\right)\end{array}$$

İntegraller, yardımcı fonksiyonlar aracılığıyla dolaylı olarak değerlendirilebilir. $f(x)$ ve $g(x)$ ile tanımlanır.

$$\mathrm{Si}(x)=\frac{\pi }{2}-f(x)\cos (x)-g(x)\sin (x)$$		$$\mathrm{Ci}(x)=f(x)\sin (x)-g(x)\cos (x)$$
veya eşdeğer olarak
$$f(x)\equiv [\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)]\cos (x)+\mathrm{Ci}(x)\sin (x)$$		$$g(x)\equiv [\frac{\pi }{2}-\mathrm{Si}(x)]\sin (x)-\mathrm{Ci}(x)\cos (x)$$

$x\ge 4$ için aşağıda verilen Padé rasyonel fonksiyonları $f(x)$ ve $g(x)$'e 10⁻¹⁶'dan daha az hata ile yaklaşır:

$$\begin{array}{ccc}f(x)& \approx & \frac{1}{x}\cdot \left(\frac{\begin{array}{c}1+7.44437068161936700618\cdot 10^2\cdot x^{-2}+1.96396372895146869801\cdot 10^5\cdot x^{-4}+2.37750310125431834034\cdot 10^7\cdot x^{-6}\\ +1.43073403821274636888\cdot 10^9\cdot x^{-8}+4.33736238870432522765\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+6.40533830574022022911\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\ +4.20968180571076940208\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.00795182980368574617\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+4.94816688199951963482\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\ -4.94701168645415959931\cdot 10^{11}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{c}1+7.46437068161927678031\cdot 10^2\cdot x^{-2}+1.97865247031583951450\cdot 10^5\cdot x^{-4}+2.41535670165126845144\cdot 10^7\cdot x^{-6}\\ +1.47478952192985464958\cdot 10^9\cdot x^{-8}+4.58595115847765779830\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+7.08501308149515401563\cdot 10^{11}\cdot x^{-12}\\ +5.06084464593475076774\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.43468549171581016479\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+1.11535493509914254097\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}\right)\\ & & \\ g(x)& \approx & \frac{1}{x^2}\cdot \left(\frac{\begin{array}{c}1+8.1359520115168615\cdot 10^2\cdot x^{-2}+2.35239181626478200\cdot 10^5\cdot x^{-4}+3.12557570795778731\cdot 10^7\cdot x^{-6}\\ +2.06297595146763354\cdot 10^9\cdot x^{-8}+6.83052205423625007\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.09049528450362786\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\ +7.57664583257834349\cdot 10^{12}\cdot x^{-14}+1.81004487464664575\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+6.43291613143049485\cdot 10^{12}\cdot x^{-18}\\ -1.36517137670871689\cdot 10^{12}\cdot x^{-20}\end{array}}{\begin{array}{c}1+8.19595201151451564\cdot 10^2\cdot x^{-2}+2.40036752835578777\cdot 10^5\cdot x^{-4}+3.26026661647090822\cdot 10^7\cdot x^{-6}\\ +2.23355543278099360\cdot 10^9\cdot x^{-8}+7.87465017341829930\cdot 10^{10}\cdot x^{-10}+1.39866710696414565\cdot 10^{12}\cdot x^{-12}\\ +1.17164723371736605\cdot 10^{13}\cdot x^{-14}+4.01839087307656620\cdot 10^{13}\cdot x^{-16}+3.99653257887490811\cdot 10^{13}\cdot x^{-18}\end{array}}\right)\end{array}$$

Ayrıca bakınız

• Logaritmik integral fonksiyonu
• Tanc fonksiyonu
• Tanhc fonksiyonu
• Sinhc fonksiyonu
• Coshc fonksiyonu

Kaynakça

• Şablon:Abramowitz Stegun ref

Konuyla ilgili okumalar

• Şablon:Cite arXiv
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Dlmf

Dış bağlantılar

• Şablon:MathWorld
• Şablon:Springer
• Şablon:Springer