Trigama fonksiyonu

kompleks düzlem'de Trigama fonksiyonu ${\psi }_1(z)$ Renkli nokta $z$ 'ye karşı kodlanan değer ${\psi }_1(z)$. koyu renkler sıfıra yakın değerlerdir ve tonlar argument olarak kodlanmıştır.

Matematik'te, trigama fonksiyonu, ψ₁(z), olarak gösterilen ikincil poligama fonksiyonu'dur ve tanımı

${\psi }_1(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$.

Bu tanıma dayanarak

${\psi }_1(z)=\frac{d}{dz}\psi (z)$

burada ψ(z) digama fonksiyonu'dur. Seri toplamı olarak da tanımlanabilir.

${\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+n{)}^2},$

özel bir durumu Hurwitz zeta fonksiyonu'dur.

${\psi }_1(z)=\zeta (2,z).$

Not son iki formülde 1-z doğal sayı değildir..

Hesaplama

Bir çift integral gösterimi

${\psi }_1(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dy}{y}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{x^{z-1}dx}{1-x}$

geometrik seri toplamı için kullanılan bir formül. Kısmi integrasyonla:

${\psi }_1(z)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{z-1}\ln x}{1-x}dx$

Asimtotik açılım Bernoulli sayıları yardımıyla olur

${\psi }_1(1+z)=\frac{1}{z}-\frac{1}{2z^2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}}$.

Tekrarlama ve refleksiyon formulleri

The trigamma fonksiyonuna karşı gelen tekrarlama ilişkisi:

${\psi }_1(z+1)={\psi }_1(z)-\frac{1}{z^2}$

ve refleksiyon formülü:

${\psi }_1(1-z)+{\psi }_1(z)={\pi }^2{\csc }^2(\pi z).$

Özel değerler

Trigama fonksiyonunun bazı özel değerleri:

${\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)={\pi }^2+8K$

${\psi }_1\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{2}$

${\psi }_1(1)=\frac{{\pi }^2}{6}$

Burada K gösterimi Catalan sabiti'dir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Gama fonksiyonu
• Digama fonksiyonu
• Poligama fonksiyonu
• Catalan sabiti

Kaynakça

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. See section §6.4Şablon:Webarşiv
• Eric W. Weisstein. Trigamma Function -- from MathWorld--A Wolfram Web ResourceŞablon:Webarşiv