Digama fonksiyonu

kompleks düzlem'de $\psi (s)$ Digama fonksiyonu renkli bir $s$ noktasına karşı kodlanan değer $\psi (s)$. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

$\psi (x)=\frac{d}{dx}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ₀(x), ψ⁰(x) veya $ϝ$ (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

Burada H_n is the n 'inci harmonik sayıdır ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım

$\psi (n+\frac{1}{2})=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^n\frac{2}{2k-1}$

Integral Gösterimleri

integral gösterimi

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}})dt$ şeklindedir.

$x$ reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

$\psi (s+1)=-\gamma +\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^s}{1-x}dx$

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü

Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

$\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{z}{n(n+z)}\right),z\ne -1,-2,-3,...$

Taylor serisi

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir, . Burada

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\zeta (k+1)(-z{)}^k$,

yakınsaklık için |z|<1. Burada, $\zeta (n)$ Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi

Digama için Newton serisi Euler integral formülü ile :

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$

Burada $(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$ binom katsayısı'dır.

Refleksiyon formülü

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \left(\pi x\right)$

Özyineleme formülü

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

$\psi (x+1)=\psi (x)+\frac{1}{x}$

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir, bu nedenle

$\mathrm{\Delta }[\psi ](x)=\frac{1}{x}$

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir,

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

burada $\gamma$ Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

$\psi (x+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{k}-\frac{1}{x+k})$

Gauss toplamı

Digama'nın Gaussian toplam formu

$\frac{-1}{\pi k}\sum _{n=1}^k\sin \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\psi \left(\frac{n}{k}\right)=\zeta (0,\frac{m}{k})=-B_1\left(\frac{m}{k}\right)=\frac{1}{2}-\frac{m}{k}$ şeklindedir.

Tam sayılar için $0<m<k$. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve $B_n(x)$ 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

$\sum _{n=1}^k\psi \left(\frac{n}{k}\right)=-k(\gamma +\log k),$

ve genelleştirilmiş şekli

$\sum _{p=0}^{q-1}\psi (a+p/q)=q(\psi (qa)-\ln (q)),$

Burada q 'nun doğal sayı ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi

Pozitif tam sayılar m ve k (m < k) şartıyla, digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

$\psi \left(\frac{m}{k}\right)=-\gamma -\ln (2k)-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{m\pi }{k}\right)+2\sum _{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil }\cos \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\ln (\sin \left(\frac{n\pi }{k}\right))$

Hesaplama & yaklaşıklık

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

$\psi (x)=ln(x)-\frac{1}{2x}-\frac{1}{12x^2}+\frac{1}{120x^4}-\frac{1}{252x^6}+O\left(\frac{1}{x^8}\right)$

veya

$\psi (x)=ln(x)-\frac{1}{2x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (1-2n)}{x^{2n}}$

$\psi (x)=ln(x)-\frac{1}{2x}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B(2n)}{2n(x^{2n})}$

n tam sayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve $\zeta (n)$ Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

$\psi (1)=-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{2}\right)=-2\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{\pi }{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln 3-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}-3\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{\pi }{2}\sqrt{3}-2\ln 2-\frac{3}{2}\ln (3)-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{8}\right)=-\frac{\pi }{2}-4\ln 2-\frac{1}{\sqrt{2}}\{\pi +\ln (2+\sqrt{2})-\ln (2-\sqrt{2})\}-\gamma$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Trigama fonksiyonu

Kaynakça

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. See section §6.4Şablon:Webarşiv
• Şablon:Mathworld

Dış bağlantılar

• CephesŞablon:Webarşiv - C and C++ language special functions math library
• [1] Şablon:Webarşiv - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1