Poligama fonksiyonu

Matematik'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m + 1). türevi olarak tanımlanır.

${\psi }^{(m)}(z)={\left(\frac{d}{dz}\right)}^m\psi (z)={\left(\frac{d}{dz}\right)}^{m+1}\ln \mathrm{\Gamma }(z).$

Burada

$\psi (z)={\psi }^{(0)}(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

digama fonksiyonu'dur ve $\mathrm{\Gamma }(z)$ gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani ${\psi }^{(1)}(z)$ bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir.

Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)$	${\psi }^{(0)}(z)$	${\psi }^{(1)}(z)$	${\psi }^{(2)}(z)$	${\psi }^{(3)}(z)$	${\psi }^{(4)}(z)$

Integral gösterimleri

Poligama fonksiyonunun integral gösterimi

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{(m+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^m{e}^{-zt}}{1-e^{-t}}dt$

Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır.

Tekrarlayan ilişki

tekrarlayan ilişki

${\psi }^{(m)}(z+1)={\psi }^{(m)}(z)+(-1{)}^{m}m!z^{-(m+1)}.$ şeklindedir.

Çarpım teoremi

çarpım teoremi $m>1$ için

$k^m{\psi }^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}{\psi }^{(m-1)}(z+\frac{n}{k})$ olarak verilir.

ve $m=0$,için digama fonksiyonu adı verilir;

$k(\psi (kz)-\log (k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi (z+\frac{n}{k}).$

Seri gösterimi

Poligama fonksiyonu seri gösterimi

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{m+1}}$

m > 0 ve z herhangi bir negatif tam sayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı

${\psi }^{(m)}(z)=(-1{)}^{m+1}m!\zeta (m+1,z).$

Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tam sayı olmak zorunda değildir. bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen,

$1/\mathrm{\Gamma }(z)=z{\text{e}}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n}){\text{e}}^{-z/n}$. Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir.

Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\text{e}}^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{\text{e}}^{z/n}$

Böylece, gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi:

$\ln \mathrm{\Gamma }(z)=-\gamma z-\ln (z)+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{z}{n}-\ln (1+\frac{z}{n}))$

Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak ${\psi }^{(n)}(z)=\frac{d^{n+1}}{d{z}^{n+1}}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=-\gamma {\delta }_{n0}-\frac{(-1{)}^{n}n!}{z^{n+1}}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}{\delta }_{n0}-\frac{(-1{)}^{n}n!}{(k+z{)}^{n+1}}$ şeklinde verilebilir.

Burada ${\delta }_{n0}$ Kronecker delta'sıdır.

Taylor serisi

Burada Taylor serisi z = 1 değeri için

${\psi }^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{m+k+1}(m+k)!\zeta (m+k+1)\frac{z^k}{k!},$

ve |z| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . See section §6.4 Şablon:Webarşiv