Yer değiştirme akımı

Şablon:Elektromanyetizma Elektromanyetizmada yer değiştirme akımı elektrik yer değiştirme alanının değişim oranıyla tanımlanan bir niceliktir. Yer değiştirme akımının birimi akım yoğunluğu cinsinden ifade edilir. Yer değiştirme akımı gerçek akımlar gibi manyetik alan üretir. Yer değiştirme akımı hareketli yüklerin yarattığı bir elektrik akımı değil; zamana bağlı olarak değişim gösteren elektrik alanıdır. Maddelerde, atomun içerisinde bulunan yüklerin küçük hareketlerinin de buna bir katkısı vardır ki buna dielektrik polarizasyon denir.

Bu düşünce James Clerk Maxwell tarafından 1861'de yayınladığı Fiziksel Kuvvet Çizgileri ÜzerineŞablon:Kaynak belirt makalesinde elektriksel parçacıklarının dielektrik ortamdaki hareketi bağlamında açıklandı. Maxwell yer değiştirme akımını Ampère Devre Yasası'ndaki elektrik akımı ile toplayarak değiştirdi. Maxwell, 1865'te, bir makalesinde, Dinamik Elektromanyetik Alan Teorisi, bu değiştirilmiş Ampère Devre Yasası'nı kullanarak elektromanyetik dalga denklemini elde etti. Bu çalışmanın elektrik, manyetizma ve optiği birleştirmiş olmasından dolayı, bu olay genellikle fizik açısından tarihsel bir dönüm noktası olarak kabul edilmektedir. Yer değiştirme akımı terimi, Maxwell denklemlerini tamamlayan oldukça önemli bir katkı olarak kabul edildiği gibi birçok fenomeni, özellikle de elektromanyetik dalgaların varlığını açıklamaktadır.

Açıklama

Elektrik yer değiştirme alanı şöyle tanımlanmaktadır:

$𝑫={\epsilon }_0𝑬+𝑷.$

burada

ε₀: uzayın geçirgenlik katsayısı

E: elektrik alan şiddeti

P: ortam polarizasyon'u

Bu denklemin zamana göre türevi, dielektrik olarak iki bileşeni olan "yer değiştirme akımı"nı vermektedir:

${𝑱}_{𝑫}={\epsilon }_0\frac{\partial 𝑬}{\partial t}+\frac{\partial 𝑷}{\partial t}.$

Sağ taraftaki ilk terim madde ortamında ve boş uzayda verilmiştir. Bu terim, gerçek yük hareketini içermek zorunda değildir, fakat tıpkı hareketli yüklerin yarattığı gibi bir manyetik alan katkısına sahiptir. Bazı yazarlar "yer değiştirme akımı" adını sadece bu katkı için kullanırlar.

Sağ taraftaki ikinci terim ise dielektrik madde içerisindeki her bir moleküle ait polarizasyondur. Dielektrik malzemenin tek tek moleküllerin | sağ taraftaki ikinci terim kutuplaşma elektrik kutuplaşma ile ilişkilidir. Polarizasyon, uygulanan elektrik alan içerisinde moleküllerin içerisinde yüklerin az bir miktar hareket etmesine neden olur. Artı ve eksi yüklü parçacıkların molekül içerisinde birbirinden uzaklaşmaları polarizasyon P durumunun şiddetlenmesine neden olur. Bir polarizasyon durumunun değişmesi de bir yük hareketine karşılık gelir ve bu yüzden bir akımla eşdeğerdir.

Bu polarizasyon yer değiştirme akımıdır ve bu Maxwell tarafından ortaya atılmıştı. Maxwell, vakum ortamı için özel bir düzeltme yapmadı ve bu ortama bir madde ortamı gibi yaklaştı. Maxwell için, P etkisi basitçe D = ε_rε₀ E denklemindeki göreli geçirgenlik ε_r değişimiydi.

Yer değiştirme akımının modern açıklaması aşağıdadır.

İzotropik dielektrik durumu

Basit bir dielektrik malzemede temel denklem şunu sağlamalıdır:

$𝑫=\epsilon 𝑬,$

Burada geçirgenlik ε = ε₀ ε_r,

• ε_r dielektriğin göreli geçirgenliği ve
• ε₀ elektrik sabiti.

Bu denklemde, ε, dielektrik polarizasyon hesaplanması içindir.

skaler değer açısından yer değiştirme akımı elektrik akısı cinsinden de ifade edilebilir.

$I_{\mathrm{D}}=\epsilon \frac{\partial {\mathrm{\Phi }}_E}{\partial t}.$

ε cinsinden gösterimler sadece doğrusal izotropik malzemeler için doğrudur. Daha genel olarak ε yerine bir tensör kullanılabilir. Bu tensör elektrik alanına bağlı olabilir ve zamana bağlılık (dağılım) gösterebilir.

Doğrusal bir izotropik dielektrik için, polarizasyon P şöyle verilir:

$𝑷={\epsilon }_0{\chi }_e𝑬={\epsilon }_0({\epsilon }_r-1)𝑬$

burada χ_e olarak bilinen dielektrik için elektriksel alınganlıktır.

$\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0=(1+{\chi }_e){\epsilon }_0.$

Gereklilik

Bazı etkileri deneysel gözlem ile kabul edilmiş olan yer değiştirme akımı, elektromanyetizma teorisi için mantıksal tutarlılık gerekliliklerini sağlamaktadır.

Ampère devre yasasının genelleştirilmesi

Kapasitörlerdeki Akımlar

İki plakası arasından bir ortam bulunmayan kapasitörler düşünüldüğünde alındığında yer değiştirme akımı bir gereklilik olarak ortaya çıkmaktadır. Resimdeki şarj olan kondansatörü ele alalım. Devrede bulunan kapasitör iki plaka arasındaki elektrik alanın artırarak sol plakadan sağ plakaya yükleri taşımaktadır (kapasitörün dışındaki bir tel üzerinden). Aynı akım (I diyelim) sağ plaka gelir ve sol plakadan ayrılır. Akımın kondansatör üzerinden akmasına rağmen, hiçbir yük iki plaka arasındaki vakum üzerinden taşınmamaktadır. Bununla birlikte, plakalar arasında bir akım varmış gibi bir manyetik alan oluşur. Bunun açıklaması, vakum içerisinde "yer değiştirme akımının" I_D akması ve bu akımın bu bölgede Ampère Yasasına göre bir manyetik alan oluşturmasıdır.

Elektrikle yüklenen ve sol taraftaki plakayı çevreleyen hayali bir silindirik yüzeyi olan kapasitör. Sağ taraftaki yüzey R plakaların arasındaki boşlukta ve sol taraftaki yüzey L sol taraftaki plakanın solunda. Silindirin R yüzeyine herhangi bir iletim akımı girmezken I akımı L yüzeyinden ayrılıyor. Amper kanununun tutarlılığu gereği yer değiştirme akımı I_D = I, "R" yüzeyinin içinden akıyor.

${\oint }_C𝐁\mathit{\cdot }\mathrm{d}\mathit{\ell }={\mu }_0{I}_D.$

burada

• ${\oint }_C$, C eğrisi üzerinde kapalı çizgi integrali
• $𝐁$, manyetik alan, tesla biriminde.
• $\mathit{\cdot }$, vektörel nokta çarpımı.
• $\mathrm{d}\mathit{\ell }$, Cnin sonsuzküçük difarensiyel elemanı (yani, sonsuzküçük uzunluktaki bir çizgi elementine ve "C" eğrisine teğet yöndeki bir vektör').
• ${\mu }_0$, manyetik sabit, boş uzay geçirgenliği.
• $I_D$, C eğrisine bağlı yer değiştirme akımı

Plakalar arasındaki manyetik alanla plakaların dışındaki aynıdır. Bu yüzden yer değiştirme akımı teldeki iletim akımıyla aynı olmalıdır, yani,

$I_D=I,$

bu, akım kavramını, yük taşıma kavramının ötesine genişletmektedir.

Bu yer değiştirme akımı, kapasitörü yüklenmesiyle ilgilidir. Sol plakayı çevreleyen hayali silindirik yüzeyde bir akım düşünün. Silindirin sol yüzeyinden, L, dışarı doğru çıkan bir akım olsun, buna I diyelim, fakat sağ yüzeye, R, giren herhangi gerçek bir akım (yük taşınmasıyla oluşan) yoktur. Dikkat edin, kapasitörün yüklenme miktarı arttıkça plakalar arasındaki elektrik alan E şiddeti de artacaktır. Bu durum, plakalar arasındaki hiçbir dielektrik olmadığı varsayılarak Gauss yasası tarafından açıklanır:

$Q(t)={\epsilon }_0{\oint }_{𝒮}d𝒮\mathit{\cdot }𝑬(t),$

burada S hayali silindirik yüzeyi ifade eder. Düzgün bir elektrik alanı olan paralel plakalara sahip bir kapasitör olduğunu varsayalım ve plakaların uçları etrafındaki saçaklanma etkisini yok sayalım, burada şu sonuca ulaşırız:

$\frac{dQ}{dt}=𝐼={\epsilon }_0{\oint }_{𝒮}d𝒮\mathit{\cdot }\frac{\partial 𝑬}{\partial t}\approx -S{\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t},$

burada, yükler plakayı terk ettiği için işaret eksidir (yük azalmaktadır) ve yine burada S dediğimiz R yüzeyinin alanıdır. L yüzeyindeki elektrik alan sıfırdır; çünkü sağ taraftaki plakanın elektrik yükü miktarı sol plakadakiyle eşit ve zıt işaretli olduğu için birbirini götürmektedir. Kondansatör içinde elektrik alanın düzgün bir dağılım gösterdiği varsayılırsa yer değiştirme akım yoğunluğu' 'J_D, yer değiştirme akımının yüzey alanına bölünmesi ile bulunur:

$J_D=\frac{I_D}{S}=-\frac{I}{S}={\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t}=\frac{\partial D}{\partial t},$

burada I silindirik yüzeyi terk eden akımdır (bu değer −I_D değerin eşittir, çünkü iki akım toplamı sıfırı vermektedir.) ve J_D ise R silindirik yüzeyinden geçen birim alandaki akım yoğunluğudur.

Örnekte ∂S tarafından çevrelenen S₁ ve S₂ yüzeyleri gösterilmektedir. Ancak, S₁, mevcut iletim akımı tarafından delinmiş, S ₂ ise yer değiştirme akımı tarafından delinmiştir.

Bu sonuçları birleştirecek olursak, manyetik alan, Ampère yasası sayesinde, yer değiştirme akımı yoğunluğunun ve iletimsel akım yoğunluğunun bir yüzey üzerinden integrali şeklinde bulunur. Bu sonuçların birleştirilmesi, manyetik alan Ampère kanun kontür bir keyfi seçim ile yer değiştirme akım yoğunluğu terimi iletim akım yoğunluğu (Amper-Maxwell denklemi) eklenir sağlanan, ayrılmaz formunu kullanarak bulundu.

${\oint }_{\partial S}𝑩\cdot d\mathit{\ell }={\mu }_0\underset{S}{\int }(𝑱+{ϵ}_0\frac{\partial 𝑬}{\partial t})\cdot d𝑺$

Bu denklem der ki, manyetik alanın B bir düğüm ∂S etrafındaki integrali, akım yoğunluğunun J ve yer değiştirme akımının ε₀ ∂E / ∂t yüzey üzerinden integraline eşittir. Ampère-Maxwell denklemini S₁ yüzeyine uygularsak, şunu buluruz:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$

Ancak, bu kanunun $\partial S$ eğrisi tarafından sınırlandırılan ve plakalar arasında bulunan S₂ yüzeyine uygulanmasıyla, şu elde edilir:

$B=\frac{{\mu }_0{I}_D}{2\pi r}$

I akımına sahip bir tel ile kesişen herhangi bir yüzey Ampère yasası sayesinde olması gereken manyetik alanı verir. Ayrıca, aynı eğri tarafından çevrelenen, kapasitörün plakaları arasından geçen herhangi başka bir yüzeyden bir akım geçmemekte ve ε₀ ∂E / ∂t terimi iletimsel akımınınkine katkı olarak manyetik alan kaynağı oluşturmaktadır. Kondansatör plakalarındaki yük miktarının artmasıyla, bu plakalar arasındaki elektrik alan şiddeti de artmaktadır ve elektrik alnın değişim oranı yukarıda bulduğumuz B manyetik alnının gerçek değerini vermektedir.

Matematiksel formülasyon

Daha matematiksel bir tarzla, temel diferansiyel denklemlerle, aynı sonuçları elde edilebilir. Basitleştirmek için manyetik olmayan bir ortam düşünün, burada bağıl manyetik geçirgenlik birdir ve mıknatıslanma akımı yoktur. Bir hacmi terk eden akım, bu hacmin yük miktarının azalma oranına eşit olmak zorundadır. Diferansiyel formda, bu süreklilik denklemi şu hale gelir:

$\mathrm{\nabla }\mathit{\cdot }{𝑱}_{𝒇}=-\frac{\partial {\rho }_f}{\partial t},$

burada sol taraf serbest akım yoğunluğunun diverjansı, sağ taraf ise serbest yük yoğunluğunun azalma oranıdır. Ancak, Ampère yasası kendi orijinal haliyle şunu ortaya koyar:

$\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑩={\mu }_0{𝑱}_f,$

burada akım teriminin diverjansı süreklilik denklemine uymadığı için yok edilir. (Diverjansın yok edilmesi matematiksel özdeşliğin bir sonucudur. Yani rotasyonelin diverjansı her zaman sıfırdır.) Bu sorun, yer değiştirme akımı ilave edilerek kaldırılır:

$\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑩={\mu }_0(𝑱+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝑬}{\partial t})={\mu }_0({𝑱}_f+\frac{\partial 𝑫}{\partial t}),$

ve

$\mathrm{\nabla }\mathit{\cdot }\left(\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑩\right)=0={\mu }_0(\mathrm{\nabla }\cdot {𝑱}_f+\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\mathit{\cdot }𝑫),$

bu, Gauss yasası sayesinde süreklilik denklemiyle tutarlılık gösterir:

$\mathrm{\nabla }\mathit{\cdot }𝑫={\rho }_f.$

Dalga yayılımı

Bu eklenen yer değiştirme akımı, manyetik alan denkleminin rotasyoneliyle dalga yayılımını ortaya çıkarır.

${𝑱}_{𝑫}={ϵ}_0\frac{\partial 𝑬}{\partial t}$

Bu J formunu Ampère yasası içerisine yerleştirirsek ve bağlı ya da serbest akım yoğunluğunun J'ye bir katkısının olmadığını varsayarsak:

$\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑩={\mu }_0{𝑱}_{𝑫},$

şu sonuçla:

$\mathrm{\nabla }\mathit{\times }\left(\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑩\right)={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑬.$

Ancak,

$\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑬=-\frac{\partial }{\partial t}𝑩,$

dalga denklemini ortaya çıkarır:

$-\mathrm{\nabla }\mathit{\times }\left(\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑩\right)={\mathrm{\nabla }}^2𝑩={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝑩=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝑩,$

vektör özdeşliği kullanacak olursak, herhangi bir vektör alanı V(r, t) aşağıdaki denklemi sağlayacaktır:

$\mathrm{\nabla }\mathit{\times }\left(\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑽\right)=\mathrm{\nabla }\left(\mathrm{\nabla }\mathit{\cdot }𝑽\right)-{\mathrm{\nabla }}^2𝑽,$

ve manyetik alanın diverjansının sıfır olduğu bir gerçektir. Aynı dalga denklemi elektrik alanın rotasyoneli alınarak da bulunabilir:

$\mathrm{\nabla }\mathit{\times }\left(\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑬\right)=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\mathit{\times }𝑩=-{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}(𝑱+{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}𝑬).$

Eğer J, P ve ρ sıfırsa, sonuç şöyledir:

${\mathrm{\nabla }}^2𝑬={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝑬=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝑬.$

Elektrik alan genel şekilde ifade edilebilir:

$𝑬=-\mathrm{\nabla }\phi -\frac{\partial 𝑨}{\partial t},$

burada φ elektrik potansiyel (bu, Poisson denklemini sağlayacak şekilde seçilebilir) ve A vektör potansiyelidir. Sağ taraftaki ∇φ bileşeni Gauss yasası bileşenidir ve bu bileşen yukarıda verilen yük korunumu iddiasına dayanmaktadır. Sağ taraftaki ikinci terim ise elektromanyetik dalga denklemiyle alakalıdır; çünkü bu terim E'nin rotasyoneline katkı sunmaktadır. Çünkü vektör özdeşliğine göre gradyanın rotasyoneli sıfırdır, ∇φ' ifadesi ∇×E ifadesine bir katkı sunmamaktadır.

Tarih ve yorumlanması

Maxwell'in yer değiştirme akımı onun 1861'de yayınladığı 'Fiziksel Kuvvet Çizgileri Üzerine' makalesinin 3. bölümünde ortaya atılmıştı. Modern fizikteki az sayıda başlık da yer değiştirme akımı gibi karışıklıklara ve yanlış anlaşılmalara neden olmuştu. Bu durum Maxwell'in moleküler girdaplar denizini kullanmasının bir sonucuyken modern ders kitapları yer değiştirme akımının boş uzayda var olmasını temel alarak çalışıyorlar. Maxwell'in işlemlerindeki türetişleri, modern yer değiştirme akımı türetişleriyle tamamen farklıydı. Modern türetişler Ampère yasasındaki manyetik alanın ve süreklilik denkleminin elektrik yükleri için sağlanması üzerine kuruludur.

Maxwell'in gayesi yine kendisi tarafından (Bölüm 1, s.161)'de şöyle ifade edilmiş:

O, bir benzetmeyle düzeltmeyi gösterecek kadar da dikkatli:

Bölüm 3'te, yer değiştirme akımıyla alakalı olarak şöyle diyor:

Açıkça görülüyor ki, aynı giriş dielektrik polarizasyonda olsa da Maxwell mıknatıslanma üzerinden gidiyordu.

Maxwell, Newton'un sesin hızı için kullandığı denklemi (Kuvvet Çizgileri, Bölüm 3, denklem (132)) kullanarak şu sonuca vardı, "ışık aynı ortam içerisinde manyetik ve elektrik olgular sonucunda birbirine dik dalgalanmalara sahiptir."

Yukarıdaki denklemler yer değiştirme akımının manyetik açıklamasına işaret etse de, örneğin rotasyonelin diverjansı denklemi temel alınarak, Maxwell'in açıklaması en sonunda dielektriğin doğrusal polarizasyonuna vurgu yaptı.

Bazı sembollerin (ve birimlerin) değişimiyle: r → J, R → −E ve madde sabiti E⁻² → 4π ε_rε₀, bu denklemler şu şekli alır:

$J=\frac{d}{dt}\frac{1}{4\pi {\mathrm{E}}^2}𝐸=\frac{d}{dt}{\epsilon }_r{\epsilon }_0𝐸=\frac{d}{dt}𝐷.$

O, 1865'teki Elektromanyetik Alanın Dinamik Teorisi makalesinde elektromanyetik dalga denklemini yer değiştirme akımından türetti. Gauss yasası ve dielektrik yer değiştirmedeki Gauss terimini eleyerek ve dalga denklemini seleonidsel manyetik alan vektörü için türeterek sıfır olmayan diverjans problemine yaklaştı.

Maxwell'in polarizasyon üzerindeki vurgusu dikkatleri elektrik kapasitör devresine çevirdi. Bu, Maxwell'in yer değiştirme akımını, elektrik kapasitör devresindeki yük korunumunun sağlanması için düşündüğüne dair yaygın inanışlara yok açtı. Maxwell'in düşünüşü hakkında, O'nun, alan denklemlerinde mükemmel bir simetri olmasını arzuladığından tutalım da süreklilik denklemine uyumluluk elde etme arzusunun bulunduğuna kadar, birçok tartışmalı kanı vardır.

Maxwell'in makaleleri

• On Faraday's Lines of Force Maxwell's paper of 1855
• On Physical Lines of Force Maxwell's paper of 1861
• A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864

Konuyla ilgili yayınlar

• AM Bork Maxwell, Displacement Current, and Symmetry (1963)
• AM Bork Maxwell and the Electromagnetic Wave Equation (1967)

Ayrıca bakınız

• Elektromanyetik dalga denklemi
• Ampère yasası
• Sığa