Devrik matris

Matematiğin bir alt dalı olan doğrusal cebirde, bir $A$ matrisinin devriği ya da transpozu bu matrisin satırları ile sütunları karşılıklı yer değiştirilmesiyle elde edilen matrise denilir. Devriği alınmış bir matrise devrik matris denilir. Bir $A$ matrisinin devriği genellikle transpoz karşılığından hareketle $A^t$ şeklinde ifade edilir; ancak, kullanılan diğer gösterimler arasında $A^{\text{'}}$, $A^{tr}$ ve $A^T$ de vardır. Bir matrisin devriği aşağıdaki biçimlerde elde edilebilir:

• $A$ matrisinin ana köşegene göre yansıması alınarak $A^t$ elde edilir,
• $A$ matrisinin satırları $A^t$ matrisinin sütünları olarak yazılarak elde edilir,
• $A$ matrisinin sütünları $A^t$ matrisinin satırları olarak yazılarak elde edilir.

$A^t$ matrisinin $(i,j)$ ögesi $A$ matrisinin $(j,i)$ ile gösterilen ögesine eşittir:

$[A^T{]}_{ij}=[A{]}_{ji}$

Eğer $A$ matrisi $m\times n$ bir matris ise $A^t$ matrisi $b\times m$ bir matristir. Bir sayılın (skaler) devriği yine o sayıldır.

Örnekler

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right].$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right].$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right].$

Özellikler

$A$, $B$ matrisleri ve $c$ sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. $(A^T{)}^T=A$

   Bir matrisin devriğinin devriği kendisidir.

2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

   Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.

3. ${\left(AB\right)}^T=B^T{A}^T$

   Matris çarpımının devriği yukardaki gibidir; matrislerin çarpımının sırası değişir ve iki matrisin de devriği alınır. Matris çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.

4. $(cA{)}^T=c{A}^T$

   Sayıl ile matris çarpımının devriği alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve matrisin devriği alınır. Sayılın devriği kendisine eşittir ve matris ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.

5. $\det (A^T)=\det (A)$

   Kare bir matris için matrisin determinantı ile o matrisin devriğinin determinantı aynıdır.

6. İki $a$ ve $b$ vektörünün, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

   $a\cdot b=a^{T}b$

   Bu çarpımda $a_i{b}^i$ şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada $i$ alt imi ve $i$ üst iminin aynı olması $i$ üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.
7. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

   Tersi alınabilir bir matrisin devriğinin de tersi alınabilir. Yukarıdaki $A$ matrisinin devriğinin tersi ile tersinin devriği birbirine eşittir. Herhangi bir matrisin tersinin devriğinin tersi kendisine eşittir. $A^{-T}$şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.

8. Eğer $A$ kare bir matris ise bu matrisin özdeğerleri ile devriklerinin özdeğerleri birbirine eşittir.