Paralelkenar yasası

Bir paralelkenar üzerinde kenarlar mavi, köşegenler ise kırmızı ile gösterilmiştir.

Matematikte paralelkenar yasasının en temel formu (ayrıca paralelkenar özdeşliği denir), temel geometriye aittir. Yasa, paralelkenarın tüm kenarlarının karelerinin toplamının köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.

Teoremin açıklaması

Yandaki gösterimdeki paralelkenarın kenarları; (AB), (BC), (CD) ve (DA)'dır. Öklidci geometriden beri, paralelkenarın karşılıklı kenarları mutlaka eşit olmalıdır. Yani, (AB) = (CD) ve (BC) = (DA)'dır.

Yasa şu şekilde ifade edilebilir,

$2(AB{)}^2+2(BC{)}^2=(AC{)}^2+(BD{)}^2$

Paralel kenarın dikdörtgen olması durumunda ise köşegenler eşit olmalıdır (AC) = (BD) yani,

$2(AB{)}^2+2(BC{)}^2=2(AC{)}^2$

İfade, dört kenarı eşit olmayan genel dörtgenler içinse Pisagor teoremine indirgenebilir,

$(AB{)}^2+(BC{)}^2+(CD{)}^2+(DA{)}^2=(AC{)}^2+(BD{)}^2+4x^2.$

burada x köşegenlerinin orta noktasını birleştiren çizginin uzunluğudur. Şemada görüldüğü gibi, paralelkenar için x = 0 ve genel formül paralelkenar yasasındakine eşdeğerdir.

İç çarpım uzayları içinde paralelkenar kanunu

Paralelkenar kanunu içinde ilgili vektörler.

Bir normlu uzayı içinde paralelkenar kanununun durumu normlarla ilişkili bir denklemdir:

$2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2=\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2.$

Bir iç çarpım uzayı içinde, norm iç çarpım kullanımı belirleniyor:

$\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩.$

Tanımın bir sonucu olarak, bir iç çarpımlı uzay içinde paralelkenar kanunu bir cebrik özdeşliktir, iç çarpımın özellikleri kullanılarak kolayca kurulmuştur:

$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩,$

$\Vert x-y{\Vert }^2=⟨x-y,x-y⟩=⟨x,x⟩-⟨x,y⟩-⟨y,x⟩+⟨y,y⟩.$

bu iki bağıntı ekleniyor:

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2⟨x,x⟩+2⟨y,y⟩=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2,$

olarak gereklidir.

Eğer x yye ortogonal ise, $⟨x,y⟩=0$ ve alınan bir toplamın normu için yukarıdaki denklem:

$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2,$

Bu pisagor teoremidir.

Normlu vektör uzaylarını paralelkenar kanunu karşılar

En gerçek ve karmaşık normlu vektör uzayları iç çarpımlı değildir, ama tüm normlu vektör uzaylarının normları var (tanımı ile).Örneğin, bir ortak kullanılan norm p-normdur:

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{1/p},$

$x_i$ burada $x$ vektörünün bileşenleridir.

Verilen bir norm, yukarıda paralelkenar kanununun iki tarafını teke evriltilebilir. Dikkat çekici gerçektir şudur ki paralelkenar kanunu tutarlı ise, o zaman standart bir iç çarpım, alışılmış bir yolla ortaya çıkmalıdır. Özel olarak, bu p-norm'un ancak ve ancak p = 2,Öklidyen norm veya standard norm gibi-adlandırılması uygundur.

Herhangi norm için paralelkenar kanunu karşılar (bu zorunlu olarak bir iç çarpım normudur), iç çarpım üreten norm polarizasyon özdeşliğinin bir sonucu olarak tekliktir. Gerçek durum içinde, polarizasyon özdeşliği ile veriliyor:

$⟨x,y⟩=\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{4},$

veya, eşdeğerliği, ile:

$\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2}{2}\text{ veya }\frac{\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{2}.$

karmaşık durum içinde aşağıdaki ile veriliyor:

$⟨x,y⟩=\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{4}+i\frac{\Vert ix-y{\Vert }^2-\Vert ix+y{\Vert }^2}{4}.$

Örneğin, p-norm ile p = 2 ve gerçel vektörler $x,y$ kullanılıyor, iç çarpımın evirtimi için süreç aşağıdadır:

$\begin{array}{cc}⟨x,y⟩& =\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{4}\\ & =\frac{1}{4}[\sum |x_i+y_i{|}^2-\sum |x_i-y_i{|}^2]\\ & =\frac{1}{4}[4\sum x_i{y}_i]\\ & =(x\cdot y),\end{array}$

bu iki vektörlerin standart nokta çarpımıdır.

Ayrıca bakınız

• Apollonius teoremi
• Birleşmeli özellikler
• Polarizasyon özdeşliği

Dış bağlantılar

• The Parallelogram Law Proven Simply at Dreamshire blogŞablon:Webarşiv
• The Parallelogram Law: A Proof Without Words Şablon:Webarşiv at Cut-the-Knot
• Proof of Parallelogram Law Şablon:Webarşiv at PlanetMath
• A generalization of the "Parallelogram Law/Identity" to a Parallelo-hexagon and to 2n-gons in General - Relations between the sides and diagonals of 2n-gons (Douglas' Theorem) Şablon:Webarşiv at Dynamic Geometry Sketches Şablon:Webarşiv, an interactive dynamic geometry sketch.