Apollonius teoremi

Şablon:Renk / Şablon:Renk alanlar = Şablon:Renk alan

Özel bir durum olarak Pisagor teoremi: Şablon:Renk alan = Şablon:Renk alan

Geometri'de, Apollonius teoremi, üçgenin bir kenarortay uzunluğunu kenarlarının uzunluklarıyla ilişkilendiren bir teoremdir.

"Herhangi bir üçgenin herhangi iki kenarının karelerinin toplamının, üçüncü kenarı ikiye bölen kenarortayın karesi ile üçüncü kenarın yarısının karesinin toplamının iki katına eşit olduğunu" belirtir.

Özellikle, herhangi bir Şablon:Math üçgeninde, Şablon:Math bir kenarortay ise,

$|AB{|}^2+|AC{|}^2=2(|AD{|}^2+|BD{|}^2).$

Bu, Stewart teoreminin özel bir durumudur. Şablon:Math olan bir ikizkenar üçgen için, kenarortay Şablon:Math, Şablon:Math'ye diktir ve teorem, Şablon:Math (veya Şablon:Math) üçgeni için Pisagor teoremi'ne indirgenir. Bir paralelkenar'ın köşegenlerinin birbirini ikiye böldüğü gerçeğinden, teorem paralelkenar yasasına eşdeğerdir.

Teorem adını, antik Yunan matematikçi Pergeli Apollonius'dan almıştır.

İspat

Şablon:Ortala

Teorem, Stewart'ın teoreminin özel bir durumu olarak veya vektörler kullanılarak kanıtlanabilir (bkz. Paralelkenar yasası). Aşağıdaki ise kosinüs yasasını kullanan bağımsız bir kanıttır.

Üçgenin kenarları Şablon:Math ve kenarortay Şablon:Math, Şablon:Math kenarına çekilmiş olsun. Kenarortayın oluşturduğu Şablon:Math segmentlerinin uzunluğu Şablon:Math olsun, böylece Şablon:Math Şablon:Math'nin yarısı olur. Şablon:Math ve Şablon:Math arasında oluşan açılar θ ve θ′ olsun, burada θ Şablon:Math ve θ′ , Şablon:Math'yi içerir. O zaman θ′ , θ ve cos θ′ = −cos θ ifadesinin tamamlayıcısıdır. θ ve θ′ için kosinüs teoremi şunu belirtir:

$\begin{array}{cc}{b}^2& =m^2+d^2-2dm\cos \theta \\ c^2& =m^2+d^2-2dm\cos {\theta }^{\prime }\\ & =m^2+d^2+2dm\cos \theta .\end{array}$

gereken sonucu elde etmek için birinci ve üçüncü denklemler eklenir ve;

$b^2+c^2=2(m^2+d^2)$

bulunur.

Kaynakça

• Douglas, A. J. (1981). A generalization of Apollonius' theorem. The Mathematical Gazette, 65(431), ss. 19-22.
• Pedoe, D. (1967). On a theorem in geometry. The American Mathematical Monthly, 74(6), ss. 627-640.
• Bulwahn, L. (2020). Stewart’s Theorem and Apollonius’ Theorem. Belge Şablon:Webarşiv

Dış bağlantılar

• Şablon:PlanetMath
• David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics Şablon:Webarşiv. s. 27