Hacim integrali

Şablon:Kalkülüs Hacim integrali çok değişkenli kalkülüsteki çokkatlı integralin 3 boyutlu durumudur. Hacim integrali fizikte önemli bir yere sahiptir. Özellikle yoğunlukların hesabı için kullanılır.

Kartezyen koordinat sisteminde

Hacim integrali $D\subset R^3$ bölgesinde tanımlı $f(x,y,z)$ fonksiyonunun üç katlı integrali anlamına da gelir. Şu şekilde yazılır:

$\underset{D}{\iiint }f(x,y,z)dxdydz$

Bu integral silindirik koordinat sisteminde şöyle yazılır:

$\underset{D}{\iiint }f(p,\phi ,z)pdpd\phi dz$

Küresel koordinat sisteminde ise şöyle bir yazım mevcuttur:

$\underset{D}{\iiint }f(r,\theta ,\phi )r^{2}sin\theta drd\theta d\phi$

Örnek

$f(x,y,z)=1$

$\iiint f(x,y,z).dx.dy.dz$=$\iiint 1.dx.dy.dz$=$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx\underset{0}{\overset{1}{\int }}dy\underset{0}{\overset{1}{\int }}dz$=1

Fizikte

$m=\iiint \rho dV$

Burada $m$ kütle,$\rho$ kütle yoğunluğu (birimi=kg/m^3)

Aynı şekilde farklı büyüklüklerin yoğunluğu alınabilir.Örneğin,yük yoğunluğu gibi.