İngiliz bayrağı teoremi

Şablon:Ortala

Şablon:Ortala

Öklid geometrisinde, İngiliz bayrağı teoremi, $ABCD$ dikdörtgeni içinde bir $P$ noktası seçilirse, $P$'den dikdörtgenin iki karşıt köşesine olan Öklid mesafelerinin karelerinin toplamının, diğer iki karşıt köşenin toplamına eşit olduğunu söyler. Denklem olarak aşağıdaki şekilde gösterilir:

$A{P}^2+C{P}^2=B{P}^2+D{P}^2.$

Teorem ayrıca dikdörtgenin dışındaki noktalar için ve daha genel olarak Öklid uzayındaki bir noktadan uzaya gömülü bir dikdörtgenin köşelerine kadar olan mesafeler için de geçerlidir. Daha genel olarak, bir $P$ noktasından paralelkenarın iki karşıt köşesine kadar olan uzaklıkların karelerinin toplamı karşılaştırılırsa, iki toplam genel olarak eşit olmayacak, ancak iki toplamın farkı $P$ noktasının seçimine değil yalnızca paralelkenarın şekline bağlı olacaktır.

Teorem, Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak da düşünülebilir. $P$ noktasını dikdörtgenin dört köşesinden herhangi birine yerleştirmek, dikdörtgenin köşegeninin karesini, Pisagor teoremi olan dikdörtgenin genişliğinin ve uzunluğunun karelerinin toplamına eşit olarak verir.

Teoremin ispatı

Şablon:Ortala

Şekilde gösterildiği gibi, $AB$, $BC$, $CD$ ve $AD$ kenarlarıyla sırasıyla $W$, $X$, $Y$ ve $Z$ noktalarında birleşen dik çizgileri $P$ noktasından dikdörtgenin kenarlarına çizin; bu dört nokta $W$, $X$, $Y$ ve $Z$, bir ortodiyagonal dörtgen köşelerini oluşturur. Pisagor teoremini $\mathrm{△}AWP$ dik üçgenine uygulayarak ve $WP=AZ$ olduğunu göz önünde bulundurarak,

• $A{P}^2=A{W}^2+W{P}^2=A{W}^2+A{Z}^2$

bulunur ve benzer bir argüman ile $P$'den diğer üç köşeye olan mesafelerin uzunluklarının kareleri şu şekilde hesaplanabilir:

• $P{C}^2=W{B}^2+Z{D}^2$,
• $B{P}^2=W{B}^2+A{Z}^2$ve
• $P{D}^2=Z{D}^2+A{W}^2$.

Bu nedenle:

$\begin{array}{cc}A{P}^2+P{C}^2& =(A{W}^2+A{Z}^2)+(W{B}^2+Z{D}^2)\\ & =(W{B}^2+A{Z}^2)+(Z{D}^2+A{W}^2)\\ & =B{P}^2+P{D}^2\end{array}$

İsimlendirme

Şablon:Ortala

Bu teorem ismini, $P$'den dikdörtgenin köşelerine doğru olan doğru parçaları çizildiğinde, ispatta kullanılan dikey çizgilerle birlikte, tamamlanan şeklin bir şekilde Birleşik Krallık Bayrağına benzemesinden alır.

Konuyla ilgili yayınlar

• Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: İngiliz bayrağı teoreminin ilginç bir uygulaması Şablon:Webarşiv . Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Cilt 4 (2015), sayı 1, s. 31-34.
• Martin Gardner, Dana Richards (ed.): Kısa Bulmacalar ve Sorunlar Devasa Kitabı. WW Norton, 2006,Şablon:ISBN, s. 147, 159 (problem 6.16)
• Carl Joshua Quines, (December 4, 2018), Obscure geometry theorems, Makale Şablon:Webarşiv
• Ananth Shyamal, Divya Shyamal, Kevin Yang ve Reece Yang, (2020), Iowa City Math Circle Handouts- Quadrilaterals, s. 7, Makale Şablon:Webarşiv

Dış bağlantılar

• Geogebra - British flag theorem Şablon:Webarşiv
• Artofproblemsolving.com'da İngiliz Bayrak Teoremi Şablon:Webarşiv
• The British Flag Theorem and Viviani’s TheoremŞablon:Ölü bağlantı
• Microsoft'un Dikdörtgen Köşeler Mülakat Sorusunu Çözebilir misiniz? Şablon:Webarşiv (video, 5:41 dk.)
• Genius Tutorials - BRITISH FLAG THEOREM (video, 4:47 dk)