Brune teoremi

Brune teoremi, bir orta düzey Prusya memuru olan muhasebeci Ernst Wilhelm Brune (1790?-1860?)^[1] tarafından bulunan ve 1841 yılında Berlin'de yayınlanan, dörtgenlerle ilgili bir temel geometri teoremidir. Teorem, Öklid düzleminde bir dışbükey dörtgeninin yapıcı bir şekilde aynı alana sahip dört kısmi dörtgene nasıl bölünebileceği problemini ele alır ve yanıtlar.^[2]

Teoremin formülasyonu

Teorem şu şekilde formüle edilebilir:^[2]

Öklid düzleminde keyfi bir $A B C D$ dışbükey dörtgeni verilir. $M$ ve $N$ , $A C$ ve $B D$ köşegenleri üzerinde yer alan iki orta noktadır.

$M$ ve $N$ noktalarından diğer köşegene paralel çizilir, $O$ noktası iki köşegen merkezinden çizilen doğruların kesişme noktasıdır. $O$ noktasının $M = N$ 'de olması durumunda $A B C D$ bir paralelkenardır.

Sonra:

$O$ noktası, dörtgenin dört kenarının orta noktaları ile birleştirilirse, $A B C D$ dörtgeni, her biri $A B C D$ dörtgeninin $\frac{1}{4}$ alanına sahip olan dört alt dörtgene bölünmüş olur.

İspat

$A B C D$ herhangi bir düzensiz dörtgen ve $E, F, G, H$ ise bu dörtgenin kenarlarının orta noktaları olsun. Öyle bir $K$ noktası vardır ki;

S_{A H K E} = S_{E K F B} = S_{K H D G} = S_{K G C F} = (\frac{1}{4} S_{A B C D})

$A, B, C, D, I$ 'nın sırasıyla $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, p$ koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım. Sonra,

𝐒_{A H K E} = \frac{1}{2} (𝐩 - 𝐩_{1}) \times \frac{𝐩_{2} - 𝐩_{4}}{2} = \frac{1}{4} (𝐩 - 𝐩_{1}) \times (𝐩_{2} - 𝐩_{4})

,

𝐒_{E K F B} = \frac{1}{4} (𝐩_{3} - 𝐩_{1}) \times (𝐩_{2} - 𝐩) = \frac{1}{4} (𝐩 - 𝐩_{2}) \times (𝐩_{3} - 𝐩_{1})

,

𝐒_{K H D G} = \frac{1}{4} (𝐩_{3} - 𝐩_{1}) \times (𝐩 - 𝐩_{4}) = \frac{1}{4} (𝐩_{4} - 𝐩) \times (𝐩_{3} - 𝐩_{1})

,

𝐒_{K G C F} = \frac{1}{4} (𝐩_{3} - 𝐩) \times (𝐩_{2} - 𝐩_{4})

.

Aşağıdaki ifade kolayca görülebilir:

𝐒_{A H K E} + 𝐒_{K G C F} = \frac{1}{2} 𝐒_{A B C D}

,

𝐒_{E K F B} + 𝐒_{K H D G} = \frac{1}{2} 𝐒_{A B C D}

bu nedenle $p$ 'nin iki bileşenini belirlemek için tam olarak iki doğrusal denklem vardır;

𝐒_{A H K E} - 𝐒_{K G C F} = 0

,

𝐒_{E K F B} - 𝐒_{K H D G} = 0

Ve denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir;

(2 𝐩 - 𝐩_{1} - 𝐩_{3}) \times (𝐩_{2} - 𝐩_{4}) = 0

,

(2 𝐩 - 𝐩_{2} - 𝐩_{4}) \times (𝐩_{3} - 𝐩_{1}) = 0

Bu, aşağıdaki ifadeye eşittir:

𝐩 = \frac{𝐩_{1} + 𝐩_{3}}{2} + λ (𝐩_{2} - 𝐩_{4}) = \frac{𝐩_{2} + 𝐩_{4}}{2} + μ (𝐩_{3} - 𝐩_{1}), λ, μ \in ℝ

$K$ 'nin geometrik tanımı şimdi açık olmalıdır: $K$ noktası, köşegenlerin kesişme noktasının ( $M = A C \cap B D$ ), köşelerin ağırlık merkezi $P$ 'ye göre yansımasıdır/simetrisidir.

Kaynakça

Notlar

Şablon:Kaynakça

Konuyla ilgili yayınlar

Wetzel, John E. "Squares in triangles." The Mathematical Gazette 86.505 (2002): ss. 28-34.

↑ Möglicherweise E. W. Brune nach Maximilian Simon, Über die Entwicklung der Elementargeometrie im 19. Jh., Jb DMV, 1. Ergänzungsband, 1906, s. 256 (Register). E. W. Brune ist auch als Pionier von Sterbetafeln in Deutschland bekannt (Crelle J. 1837, S. 58).
↑ ^2,0 ^2,1 Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, s. 66

[1] Möglicherweise E. W. Brune nach Maximilian Simon, Über die Entwicklung der Elementargeometrie im 19. Jh., Jb DMV, 1. Ergänzungsband, 1906, s. 256 (Register). E. W. Brune ist auch als Pionier von Sterbetafeln in Deutschland bekannt (Crelle J. 1837, S. 58).

[FJPR_01-2] 2,0 ^2,1 Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, s. 66

[1]

[2]

Brune teoremi

İçindekiler

Teoremin formülasyonu

İspat

Kaynakça

Notlar

Konuyla ilgili yayınlar

Gezinti menüsü

Brune teoremi

Teoremin formülasyonu

İspat

Kaynakça

Notlar

Konuyla ilgili yayınlar

Gezinti menüsü

Ara