Taban (lineer cebir)

Aynı vektör iki farklı tabanla (mor ve kırmızı) gösteriliyor.

Lineer cebirde, taban, bir vektör uzayını tanımlamak için yeterli vektör kümesidir. Bir Şablon:Mvar vektör uzayının alt kümesi Şablon:Mvar bu uzayın tabanıysa, Şablon:Mvar'nin tüm elemanları Şablon:Mvar'nin elemanlarının biricik sonlu doğrusal birleşimleri şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal birleşimlerin katsayıları, vektörün Şablon:Mvar üzerindeki bileşenleri ya da koordinatları olarak adlandırılır. Taban Şablon:Mvar'nin elemanlarına taban vektörleri denir.

Başka bir deyişle, eğer Şablon:Mvar'nin elemanları doğrusal olarak bağımsızlarsa ve Şablon:Mvar'nin tüm elemanları bunların birer doğrusal birleşimiyse, Şablon:Mvar Şablon:Mvar'nin tabanıdır. Daha genel terimlerle, bir taban doğrusal olarak bağımsız bir germe kümesidir.

Bir vektör uzayının birçok tabanı olabilir; ancak tüm tabanlar aynı sayıda öğeye sahiptir ve bu sayıya vektör uzayının boyutu denir.

Tanım

Bir Şablon:Mvar vektör uzayının Şablon:Mvar alanı (mesela gerçel sayılar $R$ ya da karmaşık sayılar $C$) üzerinde tanımlı Şablon:Mvar tabanı, Şablon:Mvar'nin doğrusal olarak bağımsız alt kümesidir ve Şablon:Mvar'yi gerer. Yani Şablon:Mvar aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa tabandır:

• doğrusal bağımsızlık özelliği:

Şablon:Mvar'nin her sonlu alt kümesi $\{v_1,\dots ,v_m\}$ için, eğer bazı $c_1,\dots ,c_m(\in F)$ katsayıları için $c_1{v}_1+\cdots +c_m{v}_m=0$ ise $c_1=\cdots =c_m=0$ olmalıdır;

• germe özelliği:

Her $v(\in V)$ vektörü için, $v=a_1{v}_1+\cdots +a_n{v}_n$ eşitliğini sağlayan $a_1,\dots ,a_n(\in F)$ katsayıları ve $v_1,\dots ,v_n(\in B)$ vektörleri bulunabilir.

$a_i$ skalerleri Şablon:Math vektörünün Şablon:Math tabanındaki koordinatları olarak adlandırılır ve birinci özellik uyarınca biriciktir.

Sonlu tabana sahip bir vektör uzayı sonlu-boyutludur. Bu durumda, doğrusal bağımsızlık özelliğine bakılırken alt kümeye değil Şablon:Math'nin kendisine bakılır.

Sıklıkla taban vektörlerin sıralanması tercih edilir. Bu, özellikle oryantasyondan bahsedilirken ya da bir vektörün katsayıları tabanla eşleştirilirken anlatımı kolaylaştırır. Sıralanmanın tercih edildiği durumlara sıralı taban denir ve küme yerine dizi ya da benzeri bir nesneyle gösterilir.

Örnek

R²'nin standart tabanları. Mavi ve turuncu vektörler tabanın elemanlarıdır; Yeşil vektör, bu tabanların birleşimi şeklinde yazılabilir, dolayısıyla onlara doğrusal olarak bağımlıdır.

• Gerçel sayıların sıralı ikililerinden oluşan Şablon:Math kümesi, bileşen toplamı

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),$

ve skaler çarpım

$\lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),$ ($\lambda \in R$)

için bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayının basit bir tabanı, ya da standart tabanı, iki vektörden oluşur: Şablon:Math ve Şablon:Math. Çünkü, herhangi bir vektör Şablon:Math $\in$ Şablon:Math şu şekilde yazılabilir:

$v=a{e}_1+b{e}_2.$

Şablon:Math'nin tabanı olabilecek bir diğer vektör kümesi Şablon:Math ve Şablon:Math'den oluşur. Bu iki vektör bağımsızdır ve Şablon:Math'deki tüm vektörleri oluşturabilirler.