Beşgensel sayı

İlk 6 beşgensel sayının gösterimi.

Bir beşgensel sayı, üçgensel veya karesel sayıların beşgene uyarlanmış halidir. nŞablon:'inci beşgensel sayı p_n, her kenarı 1'den n'ye kadar noktadan oluşan ve bir köşesi ortak olan (n - 1) beşgenin birbirinden farklı noktalarının sayısına eşittir.

$n\ge 1$ için şu formül ile gösterilir:

$p_n=\frac{n(3n-1)}{2}=\frac{3n^2-n}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+3(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})$

İlk bazı beşgensel saylar şöyledir:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... Şablon:OEIS.

Genelleştirilmiş beşgensel sayılar

Genelleştirilmiş beşgensel sayılar p_nŞablon:'de n için 0, 1, 2, 3... yerine 0, 1, -1, 2, -2, 3... yazılırsa elde edilir.

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... Şablon:OEIS

Genelleştirilmiş beşgensel sayılar, sayıların pozitif tam sayıların toplamı halinde yazılabilme sayısını gösteren partition fonksiyonu $p(n)$'in indirgenmesinde görülür:

$\sum _{0\le p_m\le n}(-1{)}^{m}p(n-p_m)=0=p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)...$

Beşgensel sayı testi

Bir x doğal sayısının beşgensel olup olmadığını anlamak için

$n=\frac{1+\sqrt{1+24x}}{6}$

sayısının bir doğal sayı olup olmadığına bakılabilir. Eğer n bir doğal sayıysa x, nŞablon:'inci beşgensel sayıdır.

Üretim fonksiyonu

Beşgensel sayılar için üretim fonksiyonu

$\frac{x(2x+1)}{(1-x{)}^3}=x+5x^2+12x^3+...$

şeklinde yazılabilir.

Bazı özellikler

• Her beşgensel sayı, bir üçgensel sayının 1/3Şablon:'üdür.
• Her pozitif tam sayı 5 tane beşgensel sayı kullanılarak yazılabilir.
• 4 adet beşgensel sayı kullanılarak yazılamayan sadece 6 pozitif tam sayı vardır:

9, 21, 31, 43, 55 ve 89 Şablon:OEIS

Tam kare beşgensel sayılar

Bazı beşgensel sayılar aynı zamanda tam karedirler. İlk tam kare beşgensel sayılar şunlardır:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... Şablon:OEIS

Ayrıca bakınız

• Üçgensel sayı
• Karesel sayı
• Altıgensel sayı
• Çokgensel sayılar