Düzgün limit teoremi

Şablon:Öksüz Matematikte düzgün limit teoremi, sürekli fonksiyonlardan oluşan herhangi bir fonksiyon dizisinin düzgün limitinin yine sürekli fonksiyon olduğunu belirten önemli bir sonuçtur.

Teoremin ifadesi

$X$ topolojik uzay, $Y$ metrik uzay ve $f_n:X\to Y$ ise $f:X\to Y$ fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyon dizisi olsun. Düzgün limit teoremine göre, eğer dizideki $f_n$ fonksiyonlarından her biri sürekli ise, o zaman, $f$ fonksiyonu da süreklidir.

Teoremde düzgün yakınsaklık koşulu noktasal yakınsaklık ile değiştirildiğinde sonuç artık geçerli olmayacaktır. Örneğin, $X=[0,1]$, $Y=ℝ$ ve $f_n:X\to Y$ ise $f_n(x)=x^n$ olarak verilsin. O zaman, her $n$ için $f_n$ fonksiyonu süreklidir. Ancak, $[0,1)$ aralığından olan $x$ değerleri için limit fonksiyonu $0$ değeri alırken, $x=1$ değeri için limit fonksiyonu $1$ değeri alacaktır. Bu yüzden, limit fonksiyonu $x=1$ noktasında sürekli değildir.

Eğer düzgün yakınsaklık yerine noktasal yakınsaklık varsayılırsa, o zaman yeşil fonksiyonlar kırmızı ile gösterilen ve sürekli olmayan bir fonksiyona yakınsar. Bu durum yakınsaklık düzgün değilse ortaya çıkar.

Bir başka örnek ise yandaki şekilde verilmiştir: $X=[0,\pi ]$, $Y=\mathbb{[}0,1]$ ve $f_n:X\to Y$ ise $f_n(x)={\sin }^n(x)$ olarak verilsin. O zaman, her $n$ için $f_n\left(\frac{\pi }{2}\right)={\sin }^n\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ olur. Ancak, diğer noktalar için (yâni, $x\ne \frac{\pi }{2}$ için), $\sin (x)<1$ olacaktır. Böylece, $x\ne \frac{\pi }{2}$ için, ${\sin }^n(x)$ değerleri $0$'a yakınsayacaktır. O zaman, limit fonksiyonu, $x\ne \frac{\pi }{2}$ noktaları için $0$ olan, $x=\frac{\pi }{2}$ noktasında ise $1$ değeri alan ve bu yüzden $x=\frac{\pi }{2}$ noktasında sürekli olmayan bir fonksiyon olur.

Fonksiyon uzayları açısından bakılacak olursa, düzgün limit teoremi, topolojik uzay $X$ten metrik uzay $Y$ye tanımlanan tüm sürekli fonksiyonların uzayı olan $C(X,Y)$'nin düzgün metrik altında $Y^X$ uzayının kapalı bir altkümesi olduğunu söyler. Eğer, $Y$ tam bir metrik uzaysa, o zaman $C(X,Y)$ de tam bir metrik uzay olur. Dahası, $Y$ Banach uzayı ise, o zaman, $C(X,Y)$ uzayı düzgün norm altında Banach uzayı olur.

Teoremde, süreklilik ifadesi düzgün süreklilik ile değiştirildiğinde, düzgün limit teoremi yine geçerlidir. Diğer deyişle, $X$ ve $Y$ metrik uzaysa ve $f_n:X\to Y$ dizisi düzgün sürekli fonksiyonlardan oluşan ve bir $f$ fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyonlar dizisi ise, o zaman, $f$ de düzgün süreklidir.

Kanıt

$f$nin sürekliliğini kanıtlamak için, her $\epsilon >0$ sayısı ve her $x\in X$ için, $x$'in bir $U$ komşuluğunu bulmalıyız; öyle ki

$d_Y(f(x),f(y))<\epsilon ,\mathrm{\forall }y\in U$

olsun. o zaman, keyfi bir $\epsilon >0$ sayısı verilsin. Fonksiyon dizisinin düzgün yakınsak olduğu varsayıldığı için,

$d_Y(f_N(t),f(t))<\frac{\epsilon }{3},\mathrm{\forall }t\in X$

eşitsizliğini sağlayacak bir $N$ sayısı vardır. Ayrıca, fonksiyon dizisindeki fonksiyonların her biri sürekli olduğu için, her $x\in X$ için

$d_Y(f_N(x),f_N(y))<\frac{\epsilon }{3},\mathrm{\forall }y\in U$

eşitsizliğinin sağlandığı bir $U$ komşuluğu vardır. Son adım olarak, üçgen eşitsizliği kullanılarak

$\begin{array}{cc}{d}_Y(f(x),f(y))& \le d_Y(f(x),f_N(x))+d_Y(f_N(x),f_N(y))+d_Y(f_N(y),f(y))\\ & <\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon ,\mathrm{\forall }y\in U\end{array}$

elde edilir. Böylelikle, kanıtın en başında gösterilmek istenen eşitsizlik elde edilmiş olur. Bu yüzden, limit fonksiyonu $f$ süreklidir.

Karmaşık analizde düzgün limit teoremi

Karmaşık analizde, düzgün limit teoreminin varsayımlarının değiştirilmiş halleriyle görülen değişik çeşitlemeleri vardır.

Teorem.$\mathrm{\Omega }$ karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun. $f_n:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon holomorf ise ve bu dizi $\mathrm{\Omega }$nın her tıkız altkümesinde bir $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman $f$ de $\mathrm{\Omega }$ üzerinde holomorf olur. Üstelik, bu fonksiyon dizisindeki fonksiyonların türevlerinden oluşan $(f{\text{'}}_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ dizisi de $\mathrm{\Omega }$nın her tıkız altkümesinde $f^{\prime }:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ fonksiyonuna düzgün yakınsar.

Teorem.$\mathrm{\Omega }$ karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun. $f_n:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon yalınkat ise ve bu dizi $\mathrm{\Omega }$nın her tıkız altkümesinde bir $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman $f$ de $\mathrm{\Omega }$ üzerinde holomorf olur. Üstelik, $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ fonksiyonu ya yalınkattır ya da sabittir.

Kaynakça

• E. M. Stein, R. Shakarchi (2003). Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2), Princeton University Press.
• E. C. Titchmarsh (1939). The Theory of Functions, 2002 Reprint, Oxford Science Publications.