Birebir fonksiyon

Matematikte birebir fonksiyon, eşitlikleri birbirine haritalayan bir fonksiyondur.

$f:X⟶Y$, $X$'ten $Y$'ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her $x_1,x_2\in X$ için $f(x_1)=f(x_2)$ eşitliği $x_1=x_2$ eşitliğini gerektiriyorsa, yani $X$'in iki değişik elemanı $Y$'nin aynı elemanına gidemiyorsa, o zaman $f$ fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.

Örneğin, $f(x)=x^2$ kuralıyla tanımlanan $f:ℝ⟶ℝ$ fonksiyonu birebir değildir çünkü - yine - örneğin $f(-5)=f(5)$ eşitliği sağlanır; öte yandan gene $g(x)=x^2$ kuralıyla tanımlanan $g:{ℝ}^{\ge 0}⟶ℝ$ fonksiyonu birebirdir.

Birebir fonksiyonlar fonksiyonların bileşkesi altında kapalıdır, yani eğer $f:X⟶Y$ ve $g:Y⟶Z$ birebir iki fonksiyonsa o zaman $g\circ f$ fonksiyonu da - kolayca kanıtlanabileceği üzere - birebirdir.

Eğer $f:X⟶Y$ ve $g:Y⟶Z$ iki fonksiyonsa ve $g\circ f$ (bkz. bileşke) birebirse o zaman $f$ fonksiyonu birebirdir. Nitekim, eğer $x_1,x_2\in X$ için $f(x_1)=f(x_2)$ ise, o zaman her iki tarafı da $g$'de değerlendirerek, $g(f(x_1))=g(f(x_2))$ elde ederiz, yani $(g\circ f)(x_1)=(g\circ f)(x_2)$. Buradan da $g\circ f$ birebir olduğundan $x_1=x_2$ çıkar.

Cantor'un kümeler kuramına göre eğer $X$'ten $Y$'ye giden birebir bir fonksiyon varsa, $X$'in $Y$'den "daha az" ya da eşit sayıda elemanı olduğunu söyleyebiliriz ve bunu $|X|\le |Y|$ olarak yazarız. Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi'ne görre $|X|\le |Y|$ ve $|Y|\le |X|$ ise $|X|\simeq |Y|$'dır, yani $X$ ile $Y$ arasında bir eşleme vardır.

Ayrıca bakınız

• Örtmeyen fonksiyon
• Eşleme
• Cantor-Bernstein-Schröder Teoremi