Bernşteyn eşitsizliği (analiz)

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Bernşteyn eşitsizliği veya Bernşteyn eşitsizlikleri, polinomların kapalı bir aralıkta ya da bölgede aldığı maksimum değerle aynı polinomların türevlerinin aynı kümede aldığı maksimum değerlerle ilişkin bir eşitsizliktir. Eşitsizliklerin yazıldığı kapalı aralığa ya da bölgeye göre değişik biçimleri mevcuttur.

Tarihçe

Eşitsizlikler adını Rus matematikçi Sergey Natanoviç Bernşteyn'den almaktadır. Bernşteyn, eşitsizliği trigonometrik polinomlar için, ilk başta da kosinüs toplamları biçiminde olan polinomlar için, 1912'de kanıtlamıştır. Bu kanıtı, Bernşteyn, yaklaşıklık teorisi üzerinde çalışırken vermiştir.Hem sinüs hem de kosinüs toplamları biçiminde olan polinomlar için, eşitsizlik Leopold Fejér tarafından 1914'te kanıtlanmıştır. Bernşteyn, bu sonuçları daha sonra Edmund Landau'dan öğrenmiştir. Değişik kanıtlar 1914 yılında Marcel Riesz tarafından da verilmiştir. George Pólya ve Gábor Szegő tarafından 1925 tarafından verilmiş bir başka kanıt da vardır.

Eşitsizliğin ifâdesi

Eşitsizlik, gerçel ve karmaşık değişkenli polinomlar içn farklı şekillerde görülebilir.

Trigonometrik polinomlar için

$a_n\ne 0$ ve $b_n\ne 0$ olmak üzere, gerçel sayılı bir

$p(t)=\sum _{k=0}^n(a_k\cos (kt)+b_k\sin (kt))$

polinomu için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:

$\underset{-\pi \le t\le \pi }{\max }|p^{\prime }(t)|\le n\underset{-\pi \le t\le \pi }{\max }|p(t)|.$

Karmaşık değişkenli durum

Eşitsizlik, birim diskteki karmaşık bir polinom fonksiyonunun maksimum fonksiyonun mutlak değerini yine bu fonksiyonun birim diskteki türevinin maksimum mutlak değeri ile ilişkilendiren bir eşitsizliktir ve en basit hâlinde şu şekilde görülebilir:

Herhangi bir $f(z)$ fonksiyonunun $|z|=1$ üzerindeki maximum mutlak değeri $\underset{|z|=1}{\max }|f(z)|$ tarafından ve bu fonksiyonun türevi de $f^{\prime }(z)$ tarafından gösterilsin. Derecesi $n$ olan her $p(z)$ polinomu için

$\underset{|z|=1}{\max }|p^{\prime }(z)|\le n\underset{|z|=1}{\max }|p(z)|$

eşitsizliği geçerlidir. Bu eşitsizliğin daha da iyileştirilmesi mümkün değildir ve eşitlik, ancak ve ancak $p(z)=\alpha z^n$ iken geçerlidir.

Yüksek mertebeli türevler için hâli

Yukarıda bahsedilen sonucun bir polinomların türevlerine arka arkaya k kere uygulanması sonucunda

$\underset{|z|\le 1}{\max }|p^{(k)}(z)|\le \frac{n!}{(n-k)!}\cdot \underset{|z|\le 1}{\max }|p(z)|$

elde edilir.

Benzer sonuçlar

Paul Erdős, $p(z)$ polinomunun $|z|<1$ içinde sıfır değeri olmadığı durumda $\underset{|z|=1}{\max }|p^{\prime }(z)|\le \frac{n}{2}\underset{|z|=1}{\max }|p(z)|$ sanıtladı. Bu sanıtı Peter Lax kanıtlamıştır.

Diğer taraftan, $k\ge 1$ iken, $p(z)$ polinomunun $|z|<k$ içinde sıfır değeri olmadığı durumda, $\underset{|z|=1}{\max }|p^{\prime }(z)|\le \frac{n}{1+k}\underset{|z|=1}{\max }|p(z)|$ olduğu M. A. Malik tarafından kanıtlanmıştır.

Ayrıca bakınız

• Markov kardeşler eşitsizliği
• Remez eşitsizliği

İlgili kaynaklar

• Şablon:Akademik dergi kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kitap kaynağı