Trigonometrik polinom

Şablon:Ortala

Sayısal analiz ve matematiksel analiz alt alanlarında, bir trigonometrik polinom, sin(nx) ve cos(nx) fonksiyonlarının sonlu bir doğrusal kombinasyonu olup n bir veya daha fazla doğal sayı değerini alır. Gerçel değerli fonksiyonlar için, katsayılar gerçel sayılar olarak alınabilir. Kompleks katsayılar için, böyle bir fonksiyon ile sonlu bir Fourier serisi arasında bir fark yoktur.

Trigonometrik polinomlar, örneğin periyodik fonksiyonların interpolasyonuna uygulanan trigonometrik interpolasyonda yaygın olarak kullanılır. Ayrıca ayrık Fourier dönüşümünde de kullanılırlar.

Gerçel değerli durum için trigonometrik polinom terimi analoji kullanmak olarak görülebilir: sin(nx) ve cos(nx) fonksiyonları polinomlar için monomial basise benzer. Karmaşık durumda trigonometrik polinomlar $e^{ix}$'in pozitif ve negatif kuvvetleri tarafından yayılır, yani $x\mapsto z:=e^{ix}$ değişkenlerin değişimi altında $z$'de Laurent polinomudur.

Tanım

Aşağıdaki biçimde herhangi bir T fonksiyonu,

$$T(x)=a_0+\sum _{n=1}^N{a}_n\cos (nx)+\sum _{n=1}^N{b}_n\sin (nx)(x\in ℝ)$$

katsayıları $a_n,b_n\in ℂ$ ve en yüksek dereceli katsayılardan en az biri $a_N$ ve $b_N$ sıfır olmayan, N dereceli bir “karmaşık trigonometrik polinom” olarak adlandırılır. Euler formülü kullanılarak polinom, $c_n\in ℂ$ olmak üzere şu şekilde yeniden yazılabilir:

$$T(x)=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}^{inx}(x\in ℝ).$$

Benzer şekilde, $a_n,b_n\in ℝ$ katsayıları ve $a_N$ ve $b_N$ katsayılarından en az birinin sıfır olmaması veya eşdeğer olarak, $c_n\in ℝ$ ve $c_n={\overline{c}}_{-n}$ tüm $n\in [-N,N]$ için,

$t(x)=a_0+\sum _{n=1}^N{a}_n\cos (nx)+\sum _{n=1}^N{b}_n\sin (nx)(x\in ℝ)$

N dereceli bir reel trigonometrik polinom olarak adlandırılır.Şablon:SfnŞablon:Sfn

Özellikler

Bir trigonometrik polinom, reel doğru üzerinde periyodu Şablon:Tmath'nin bir böleniyle periyodik bir fonksiyon veya birim çember üzerinde bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

Trigonometrik polinomlar, birim çember üzerindeki sürekli fonksiyon uzayında düzgün norm ile yoğundur; bu Stone-Weierstrass teoreminin özel bir durumudur. Daha somut olarak, her sürekli Şablon:Tmath fonksiyonu ve her Şablon:Tmath için bir trigonometrik Şablon:Tmath polinomu vardır, öyle ki $|f(z)-T(z)|<ϵ$ tüm Şablon:Tmath değerleri için. Fejér teoremi, Şablon:Tmath Fourier serisinin kısmi toplamlarının aritmetik ortalamalarının, Şablon:Tmath'nin çember üzerinde sürekli olması koşuluyla Şablon:Tmath'ye düzgün bir şekilde yakınsadığını belirtir; bu kısmi toplamlar Şablon:Tmath'ye yaklaşmak için kullanılabilir.

Derecesi Şablon:Tmath olan bir trigonometrik polinom, sıfır fonksiyonu olmadığı sürece Şablon:Tmath reel aralığında maksimum Şablon:Tmath köke sahiptir.

Fejér-Riesz teoremi

Fejér-Riesz teoremi, tüm $x\in ℝ$ için $t(x)>0$'ı sağlayan her pozitif reel trigonometrik polinom $$t(x)=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}^{inx},$$ için, başka bir (genellikle “karmaşık”) trigonometrik $q(x)$ polinomunun modül karesi olarak temsil edilebileceğini belirtir, öyle ki:Şablon:Sfn $$t(x)=|q(x){|}^2=q(x)\overline{q}(x).$$ Ya da eşdeğer olarak, tüm $\zeta \in 𝕋$ için $w(\zeta )\ge 0$ koşulunu sağlayan $w_n\in ℂ$ olmak üzere, her Laurent polinomu $$w(z)=\sum _{n=-N}^N{w}_n{z}^n,$$ bazı $p(z)$ polinomları için aşağıdaki şekilde yazılabilir:Şablon:Sfn

$$w(\zeta )=|p(\zeta ){|}^2=p(\zeta )\overline{p}(\overline{\zeta }),$$

Kaynakça

• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kitap kaynağı
• Şablon:Kaynak.