Young evrişim eşitsizliği

Matematikte Young evrişim eşitsizliği iki fonksiyonun evrişimiyle alakalı bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, William Henry Young'ın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Öklid uzaylarında

$1\le p,q,r\le \mathrm{\infty }$ olmak üzere $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1$$ özelliği sağlansın. $f$ fonksiyonu $L^p({ℝ}^d)$ Lebesgue uzayında ve $g$ fonksiyonu $L^q({ℝ}^d)$ Lebesgue uzayında ise $$\Vert f*g{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$ eşitsizliği vardır. Burada, yıldız işareti ile evrişim kastedilmiştir.

Eşdeğer olarak, $p,q,r\ge 1$ ve $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=2$ ise, o zaman $$|\underset{{ℝ}^d}{\int }\underset{{ℝ}^d}{\int }f(x)g(x-y)h(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y|\le {(\underset{{ℝ}^d}{\int }|f{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\underset{{ℝ}^d}{\int }|g{|}^q)}^{\frac{1}{q}}{(\underset{{ℝ}^d}{\int }|h{|}^r)}^{\frac{1}{r}}.$$

Genelleştirmeleri

Young eşitsizliğinin ${ℝ}^d$nin yerine bir $G$ unimodüler grubu konulduğu doğal bir genelleştirmesi vardır. Eğer $\mu$, $G$ üzerinde çifte değişmez bir Haar ölçüsü ise ve $f,g:G\to ℝ$ veya $ℂ$ integrallenebilir fonksiyonlar ise $f*g$ fonksiyonu, yani evrişim, $$f*g(x)=\underset{G}{\int }f(y)g(y^{-1}x)\mathrm{d}\mu (y)$$ tanımlanabilir. O zaman, bu durumda, Young eşitsizliğinin ifadesi şöyle olur: $p,q,r\in [1,\mathrm{\infty }]$ ve $$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1$$ olmak üzere, $f\in L^p(G,\mu )$ ve $g\in L^q(G,\mu )$ için $$\Vert f*g{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$ eşitsizliği vardır.

Eşdeğer olarak, $p,q,r\ge 1$ ve $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=2$ ise, o zaman $$|\underset{G}{\int }\underset{G}{\int }f(x)g(y^{-1}x)h(y)\mathrm{d}\mu (x)\mathrm{d}\mu (y)|\le {(\underset{G}{\int }|f{|}^p)}^{\frac{1}{p}}{(\underset{G}{\int }|g{|}^q)}^{\frac{1}{q}}{(\underset{G}{\int }|h{|}^r)}^{\frac{1}{r}}.$$

${ℝ}^d$, Lebesgue ölçüsü (ki istenen Haar ölçüsüdür) altında, aslında yerel tıkız Abelyen grup (ve bu yüzden unimodüler grup) olduğu için, bu yukarıda bahsedilenler gerçekten genelleştirme sayılır.

Bu genelleştirme daha da iyileştirilebilir: $G$ ve $\mu$ daha önceki gibi olsun ve $1<p,q,r<\mathrm{\infty }$ sayılarının $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}+1$ eşitliğini sağladığı varsayılsın. O zaman, her $f\in L^p(G,\mu )$ ve $G$ üzerinde tanımlı ölçülebilir ve zayıf $L^q$ uzayı $L^{q,w}(G,\mu )$'nün elemanı olan her $g$ fonksiyonu için $f*g\in L^r(G,\mu )$ olur ve $$\Vert f*g{\Vert }_r\le C\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_{q,w}$$ eşitsizliği vardır.

Ayrıca bakınız

• Minkowski eşitsizliği

Dışa bağlantılar

• Young's Inequality for Convolutions (ProofWiki)