Minkowski eşitsizliği

Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan $a_i$, $b_i$, i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir: ${(\sum _{i=1}^n(a_i+b_i{)}^p)}^{1/p}\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{1/p}+{\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^p\right)}^{1/p}$

Hölder eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir. Şablon:İlknot

üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' L^p uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki L^p(S) ögeleri f ve g olsun. ise L^p(S) içindeki f + gdir ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık, yani burada bazı $\lambda$ ≥ 0.için f = $\lambda$ g aşağıdaki norm ile verilir:

$\Vert f{\Vert }_p={(\int |f{|}^{p}d\mu )}^{1/p}$

Eğer p < ∞ veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}={\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{x\in S}|f(x)|.$

Minkowski eşitsizliği L^p(S) içinde üçgen eşitsizliğidir, aslında bu durumun daha genel durumu var,

$\Vert f{\Vert }_p=\underset{\Vert g{\Vert }_q=1}{\sup }\int |fg|d\mu ,1/p+1/q=1$

bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay

Hölder eşitsizliği gibi, Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

için tümgerçel (veya karmaşık) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n sayıları için ve burada n; S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı).

Kanıt

İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda

$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p).$

Nitekim, aslında burada $h(x)=x^p$ konveks üzerinde ${ℝ}^{+}$ ($p$ birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,

${|\frac{1}{2}f+\frac{1}{2}g|}^p\le {|\frac{1}{2}|f|+\frac{1}{2}|g||}^p\le \frac{1}{2}|f{|}^p+\frac{1}{2}|g{|}^p.$

Bunun anlamı

$|f+g{|}^p\le \frac{1}{2}|2f{|}^p+\frac{1}{2}|2g{|}^p=2^{p-1}|f{|}^p+2^{p-1}|g{|}^p.$

Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz $(\Vert f+g{\Vert }_p)$. Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.

$\Vert f+g{\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu$

$\le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$=\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le }({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}$

$=(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}.$

Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile $\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}.$ her iki taraf çarparız

Minkowski integral eşitsizliği

Varsayalımki (S₁,μ₁) ve (S₂,μ₂) are iki ölçüm uzayıs ve F : S₁×S₂ → R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Şablon:Harvard alıntıdir, Şablon:Harvard alıntı:

${[\underset{S_2}{\int }{|\underset{S_1}{\int }F(x,y)d{\mu }_1(x)|}^{p}d{\mu }_2(y)]}^{1/p}\le \underset{S_1}{\int }{(\underset{S_2}{\int }|F(x,y){|}^{p}d{\mu }_2(y))}^{1/p}d{\mu }_1(x),$

durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1 ve her iki taraf sonlu ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.

Eğer μ₁ iki nokta kümesi sayma ölçüsüS₁ = {1,2} ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒ_i(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir.

$\begin{array}{cc}\Vert f_1+f_2{\Vert }_p& ={[\underset{S_2}{\int }{|\underset{S_1}{\int }F(x,y)d{\mu }_1(x)|}^{p}d{\mu }_2(y)]}^{1/p}\le \underset{S_1}{\int }{(\underset{S_2}{\int }|F(x,y){|}^{p}d{\mu }_2(y))}^{1/p}d{\mu }_1(x)=\Vert f_1{\Vert }_p+\Vert f_2{\Vert }_p.\end{array}$

Ayrıca bakınız

• Mahler eşitsizliği
• Hölder eşitsizliği

Kaynakça

• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı.
• Şablon:Dergi kaynağı.
• Şablon:Springer
• Şablon:Web kaynağı