Mahler eşitsizliği

Matematikte Mahler eşitsizliği iki sonlu dizinin terim bazında toplanmasıyla elde edilen dizinin geometrik ortalamasının bu sonlu dizilerin ayrı ayrı geometrik ortalamalarının toplamından büyük olduğunu ifade eden bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, Minkowski eşitsizliği'nin sayma ölçüsü altında özel bir halidir ve Kurt Mahler'in adının taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$i=1,2,\cdots ,n$ için $a_i,b_i,$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere

$\prod _{k=1}^n(x_k+y_k{)}^{1/n}\ge \prod _{k=1}^n{x}_k^{1/n}+\prod _{k=1}^n{y}_k^{1/n}$

eşitsizliği sağlanır.

İspat

İlk olarak AO-GO eşitsizliği kullanılarak,

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{x_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{x_k}{x_k+y_k}$

ve

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{y_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{y_k}{x_k+y_k}.$

elde edilir. Daha sonra iki formül toplanarak,

$\prod _{k=1}^n{\left(\frac{x_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}+\prod _{k=1}^n{\left(\frac{y_k}{x_k+y_k}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}n=1$

olur. Sol taraftan $\prod _{k=1}^n(x_k+y_k{)}^{1/n}$ çekilerek istenen eşitsizlik elde edilir.

Ayrıca bakınız

• Minkowski eşitsizliği

Dış bağlantılar

• [1]Şablon:Webarşiv