Bölme kuralı

Şablon:Kaynaksız Şablon:Hesap Bölme kuralı, kalkülüste diğer iki fonksiyonun bölümü şeklinde olan bir fonksiyonun türevinin hesaplanmasında kullanılır.

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{g(x)f^{\prime }(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$

İspat

Çarpma kuralı kullanılarak aynı ifade yeniden yazılıp çözüme geçilirse,

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}(f{g}^{-1})& =f^{\prime }{g}^{-1}+f(g^{-1}{)}^{\prime }\\ & =f^{\prime }{g}^{-1}+f(-1)g^{-2}{g}^{\prime }\\ & =\frac{g^2}{g^2}(f^{\prime }{g}^{-1}-f{g}^{-2}{g}^{\prime })\\ & =\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}\\ \end{array}$

ispatı yapılır. Burada dikkat edilmesi gereken bir husus $(g^{-1}{)}^{\prime }$ türevi hesaplanırken zincir kuralı kullanılmış olduğudur.

Örnekler

$(4x-2)/(x^2+1)$ ifadesinin türevi:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x-2)}{x^2+1}\right]& =\frac{(x^2+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^2+1{)}^2}\\ & =\frac{(4x^2+4)-(8x^2-4x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{-4x^2+4x+4}{(x^2+1{)}^2}\end{array}$

Yukardaki örnekte

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^2+1$

olarak seçmiştik. Benzer bir şekilde (x ≠ 0 iken) sin(x)/x² ifadesinin türevi aynı yöntemi kullanarak:

$\frac{\cos (x)x^2-\sin (x)2x}{x^4}$

olarak bulunur.